談古代計時器“碑漏”與磁永動機

劉延柱

(上海交通大學工程力學系，上海 200240)

自2005年開始，北京的鼓樓展出了一種利用銅球在銅管內循環滾動的古老計時儀器。因木制長方體的外觀形同石碑而稱為“碑漏”。這個古老的機械鐘曾在唐、宋、金、元時期用于計時。南宋薛季宣著《浪語集》稱碑漏的發明人是唐代僧人文誥。又據《元史·齊履謙傳》中的記載：

“都城刻漏，舊以木為之，其形如碑，故曰‘碑漏’，內設曲筒，鑄銅為丸，自碑首轉行而下，鳴鐃以為節?！?/p>

碑漏自元代以后已失傳七百年，無實物留存。北京鐘鼓樓文保所與蘇州古代天文計時儀器研究所合作，歷時一年復原成功。使失傳的古代科技發明成功再現，為中國的科技發展史增添了新篇章[1]（圖1）。

圖1 北京鼓樓重置的碑漏（引自網絡）

碑漏是木制的長方體，高2.2 m，寬1.4 m。內部安置13根銅管，自上而下按 “之” 字形排列（圖2）。最上端設投球孔通向第一根銅管，管內儲存多個銅球。銅球受機構控制在指定時刻依次落入下方銅管，經12根銅管曲折下滾，每根管內滾動時間為2 s，歷時24 s后墜落，敲擊銅鐃發出清脆響亮聲音報時。同時牽動機構使下一個球出發，兩球之間相隔24 s。150個球滾完歷時1 h，一晝夜需滾球3 600個。

圖2 碑漏內部的銅管（引自網絡）

各種計時儀器的運作均基于自激振動原理。碑漏也不例外，其恒定的能源來自重力，能量輸入的調節由銅球在銅管內的運動實現。為具體分析此運動過程，設銅球的質量為m，半徑為R，銅管相對水平軸的傾斜角為α，接觸點的摩擦力為F（圖3），列寫沿銅管中心軸x的動量定理

圖3 銅球在銅管內的受力圖

均質球體的中心慣性矩為2mR2/5，設銅球的角速度為ω，列寫其相對質心O的動量矩定理

設銅球相對銅管作無滑動的純滾動，其質心速度v與角速度ω滿足v =ωR約束條件。從式(1)和式(2)消去F和ω，導出銅球質心的加速度a= dv/dt =(5/7)gsinα，即重力加速度沿x軸分量的5/7倍。銅球自管端從零速度開始以勻加速度a向下滾動，設管長為l，到達末端x =l所費時間ts由x=at2/2導出，得到

可見滾動時間ts僅取決于銅管的長度和傾斜角，與銅球的質量和半徑無關。任何不同材料和大小的實心球在管內滾完全程的時間均完全相同。從圖片目測，取α = 7.5°，l= 1.5 m代入式（3），算出ts=1.8 s?？紤]銅球在末端處發生撞擊和落入下根銅管所需時間，增加0.2 s，則銅球在每根管內的滾動時間為2 s，與設計要求一致。

以銅球質心的坐標x和速度v= dx/dt組成相平面，作出銅球在管內運動的相軌跡。將速度為零的出發點作為相平面的原點。將dv/dt=g·sinα與dx/dt=v二式相除消去dt，化作vdv=(gsinα)dx，積分后得到相軌跡v2= (2gsinα)x為拋物線。在銅管末端x=l處，銅球與擋板相撞。若為完全塑性碰撞，則速度突變為零。成為自由落體落入下根管的起點。相點在A點沿與縱軸平行的直線向下與橫軸相交于B點，沿橫軸回到下根管的原點。然后周而復始，在下根管內再次出發，重復上述過程。將不同銅管內的運動合并為同一條相軌跡，即構成封閉的極限環，形成自激振動（圖4）。銅球與擋板相撞落入下管的動作與釋放新球滾入銅管的牽動機構起了能量調節器的作用。

圖4 銅球運動在相平面內形成的極限環

無獨有偶，曾在13世紀歐洲的“永動機” 發明熱中出現過的一個典型的永動機設計，竟然與我們祖先創造的碑漏不謀而合[2]（圖5）。這個機器將碑漏的“之”字形小球滾道改成沿一個圓輪的徑向安裝。處于上方位置的小球靠重力沿凹槽向下滾動，與末端的槽壁碰撞后停在下方，加大了與轉軸的距離。圓輪因兩邊小球力臂的差異而形成推動圓輪旋轉的動力。當小球轉到另一側時，重力又迫使小球滾動回到原位置，如此循環不止。若圓輪確能如發明者設想的那樣旋轉不停，小球的運動應具有與圖4相同的相平面極限環。但小球在凹槽內滾動時的摩擦以及與圓輪的碰撞均不可避免產生能量耗散。圓輪必越轉越慢直至靜止，不可能實現永動。

圖5 想象中的一種 “永動機”

據記載，有位16世紀的意大利教授對這種“永動機” 做了改進。他提出利用磁鐵的吸力使下落后的小鐵球沿凹槽向上滾動至原位，以補償摩擦力的能量損耗，使機器實現永動。時至今日，這個 “磁永動機” 的設想仍吸引了不少業余發明家的興趣，不少人自稱已實驗成功（圖6）。實際上這類機器能不停旋轉，是利用了永久磁鐵吸力的推動，已不能稱之為永動機，而是一種將磁能轉換為機械能的裝置。即使所設計的實驗能維持較長時間運轉，最終也會因磁性的損耗而趨于終止。

圖6 “磁永動機”（引自網絡）

這種 “磁永動機” 雖不是想象中的真正永動機，但因具有自激振動固有的定時性，也可以用來計時。只要當小球與圓盤碰撞時，如碑漏那樣發出報時信息，就能形成與碑漏類似的機械鐘了。