神奇的“慣性力”

吳 濱 詹 凱

(1.北京市101中學 2.首都師范大學附屬中學)

在普通高中物理教學與學習中,很少涉及慣性力這個概念,因為高中課程標準中不涉及不同參考系中相對運動的定量計算,更不會探討兩個做相對加速運動的參考系中物體的運動關聯或動力學的相關問題.然而這部分內容在強基考試、物理競賽中卻是運動學、動力學問題的重點和核心內容.如果一個學生想系統學習強基知識或者物理競賽內容,那慣性力常常是他們遇到的第一個難點.

在實際教學中,我們曾經嘗試讓學生自學慣性力的內容,然后提出一個問題:“能講講科里奧利力是怎么回事嗎?”學生答曰:“哦,就是微分微出來的一個力!”筆者只能報以一笑.誠然,慣性力確實有其抽象的一面,與中學課內所學過的力不同,慣性力似乎找不到其“施力者”,這就讓初學者丈二和尚摸不著頭腦.然而地球在繞太陽公轉,自己也在自轉,所以地球就是一個天然的轉動參考系.想要搞清楚地球上發生的一些神奇現象,慣性力又是繞不開的概念.

本文不打算從煩瑣的數學角度出發,嚴格推導出慣性力,這樣過于抽象.我們將分別從平動加速的車中小球的運動和轉動的圓盤上小球的運動兩個簡單實例出發,讓讀者真正“看到”慣性力的存在,再去探討汽車加速前進、落體偏東、傅科擺、潮汐的形成等一些實際問題.

1 什么“力”讓車中的小球動起來?

如圖1所示,在小車上放置一光滑的水平桌面,再將質量為m的小球放在水平桌面上,桌面上除小球(小球的線度遠遠小于小車的橫向線度)之外別無他物,即小球水平方向合力為零.然后突然使小車向右對地做加速運動,小球如何運動呢?

圖1

地面上的觀察者認為:小球將靜止在原地,符合牛頓第一定律;車上的觀察者覺得:小球以－aS的加速度相對于小車做加速運動.

我們假設車上的人熟知牛頓運動定律,尤其對“加速度是由力引起的”印象至深,以致在任何場合下,他都強烈地要求保留這一認知,于是車上的人說:小球之所以相對小車有－aS的加速度,是因為受到了一個指向左方的作用力,且力的大小為maS,物理上把這個力命名為慣性力.

以下推導引入慣性力后,就可以使非慣性系中的觀察者仍可以用牛頓運動定律的語言和公式來解釋小球的運動,因而具有“實用性”的意義.慣性力使非慣性系中牛頓運動定律方程的形式,與以地面為參考系的牛頓運動定律在數學上完全等效.

設a為質量為m的一質點對地的加速度,aS為某參考系S′對地的加速度,F為該質點所受合力.

由牛頓第二定律得F＝ma,質點m相對參考系S′的加速度a′＝a－aS,兩式聯立得F＝ma′＋maS,移項得F－maS＝ma′,其中“－maS”可以看成一個力,叫作平移慣性力,它與真實力的合成使質點產生相對新參考系的加速度a′.

要正確理解“慣性力”需要把握以下要點:1)慣性力不是物體間的相互作用.因此,沒有反作用力,實質上,從慣性系來看,它只不過是物體慣性的表現.2)慣性力的大小等于研究對象的質量m與非慣性系的加速度aS的乘積,而方向與aS相反,即f*＝－maS.3)我們把牛頓運動定律成立的參考系叫慣性系,不成立的參考系叫非慣性系.設一個參考系相對絕對空間加速度為aS,物體相對此參考系的加速度為a′,牛頓運動定律可以寫成F＋f*＝ma′,其中F為物體受到的“真實的力”,f*為慣性力,是個“假力”.4)如果研究對象是剛體,則慣性力等效作用點在質心處.

總之,在非慣性系中,牛頓運動定律不再成立.為了形式上仍能利用牛頓運動定律,在相對慣性系做勻加速直線運動的非慣性系中分析物體受力時,除了各種原慣性系受到的力外,認為任何物體都還受到一個慣性力－maS.這樣牛頓運動定律仍可使用,aS為此非慣性系相對慣性系的加速度.

2 加速前進的車能不能“飛起來”?

例1(2019年清華領軍)轎車通常有前輪驅動和后輪驅動兩種,當轎車啟動時,下列說法正確的是( ).

圖2

A.前輪驅動時,轎車前輪部分微微下沉

B.前輪驅動時,轎車后輪部分微微下沉

C.后輪驅動時,轎車前輪部分微微下沉

D.后輪驅動時,轎車后輪部分微微下沉

E.無論是前輪驅動還是后輪驅動,轎車整體都會微微下沉

解析此題我們可以在汽車參考系中分析.汽車參考系是非慣性系,需要引入慣性力f*＝－ma,則汽車在此參考系靜止.如圖3 所示,若轎車為后輪驅動,啟動時,后輪受到的摩擦力Ff1向前,前輪受到的摩擦力Ff2向后,假設轎車的重心位于兩輪間的O點.設前后輪間距為L,O點距地面高度為h.由受力平衡得f*＋Ff2＝Ff1,選前輪與地面的接觸點為支點,由力矩平衡得f*·h＝FN2·L,a越大,慣性力f*越大,FN2越大,所以轎車后輪部分微微下沉.同理,若轎車為前輪驅動時,轎車也是后輪部分微微下沉.選項B、D 正確.

圖3

點評在進行質點的力與運動的分析時,需考慮慣性力;在分析剛體的轉動問題,考慮力矩時也需要加上慣性力的力矩.同學們也可以自行思考,當轎車啟動加速度多大時,前輪會離開地面?

3 轉動的小球受到哪些力?

例2圖4所在平面為某慣性系S的一個平面,S′系繞著過O′點垂直于圖平面的固定軸相對于S系勻速旋轉,角速度為ω,圖中圓象征S′系中垂直于轉軸的一個平面.

圖4

(1)若質點隨S′一起旋轉,在S′系中,需要引入怎樣的慣性力才能讓質點在該系中靜止?

(2)若質點在S系中靜止,此時質點相對于S′系做勻速圓周運動.還需要引入怎樣的慣性力,才能讓質點在S′系中轉動?

解析(1)設質點m靜止在此平面上,相對于圓心的徑矢為r′.質點在S系中做勻速圓周運動,加速度a和真實力分別為a＝－ω2r′,F＝ma＝－mω2r′,相對于S′系有a′＝0,F′＝ma′＝0.

S′系必須認可真實力F的存在,于是需要引入FC＝mω2r′,使得F′＝F＋FC＝0,FC方向與r方向相同,背離旋轉中心,稱為慣性離心力,簡稱離心力.

(2)設質點m相對S系靜止,測得質點所受真實力F＝0.在S′系中,質點在如圖5中所示的虛線中做圓周運動,向心加速度為a′＝－ω2r′,合力F′需等于圓周運動向心力F′心,即有F′＝F′心＝ma′＝－mω2r′,質點所在位置r′對應的離心力為FC＝mω2r′.于是如圖5所示,在S′系中為質點引入虛擬力FCor＝－2mω2r′,才可使得F′＝F＋FC＋FCor＝ma′成立.

圖5

FCor由法國學者科里奧利(G.Coriolis)于1835年首先提出,故命名為科里奧利力.科里奧利力因質點相對于S′系運動而引入,上面的表達式卻未能表現質點運動因素,所以要試著將其改造.按通常習慣,在右手系中將角速度ω矢量化為ω,方向垂直于圖平面向上,質點相對于S′系的速度v′方向也已在圖中示出,大小為ωr′,可得v′×ω＝－ω2r′,科里奧利力便可改述成FCor＝2mv′×ω.

點評慣性離心力是勻速旋轉非慣性系S′需引入的第一類虛擬力,這種力僅由S′系中質點所在位置r′確定.為易于闡述,特取質點相對S′系處于靜止的特殊狀態引入慣性離心力,結果則適用于質點在S′系中可取的任何運動狀態.科里奧利力與慣性離心力不同,一方面,這兩個慣性力是兩種不同的慣性力,另一方面科里奧利力中出現的速度v′,指的是物體相對于轉動參考系運動時的相對速度.另外還需注意科里奧利力的方向的判斷需要用到矢量叉乘的規律.利用科里奧利力和慣性離心力,可以解釋很多在地球上發生的“神奇”現象.

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4 自由下落的物體為什么“打偏了”?

例3(2018年北京卷)根據高中所學知識可知,做自由落體運動的小球,將落在正下方位置.但實際上,赤道上方200m 處無初速度下落的小球將落在正下方位置偏東約6cm 處,這一現象可解釋為,除重力外,由于地球自轉,下落過程小球還受到一個水平向東的“力”,該“力”與豎直方向的速度大小成正比,現將小球從赤道地面豎直上拋,考慮對稱性,上升過程該“力”水平向西,則小球( ).

A.到最高點時,水平方向加速度和速度均為零

B.到最高點時,水平方向加速度和速度均不為零

C.落地點在拋出點東側

D.落地點在拋出點西側

解析由于該“力”與豎直方向的速度大小成正比,所以從小球拋出至運動到最高點的過程中,該“力”逐漸減小到零,將小球的上拋運動沿水平方向和豎直方向分解,由于上升階段,水平分運動是向西的變加速運動(水平方向加速度大小逐漸減小),故小球到最高點時速度不為零,水平向西的速度達到最大值,故選項A 錯誤;小球到最高點時豎直方向的分速度為零,由題意可知小球這時不受水平方向的力,故小球到最高點時水平方向加速度為零,選項B 錯誤;下降階段,由于受水平向東的力,小球的水平分運動是向西的變減速運動(水平方向加速度大小逐漸變大),故小球的落地點在拋出點西側,選項C 錯誤,選項D 正確.

一般情況下,在地球參考系中,慣性離心力和科里奧利力并不大,雖然引起的相對誤差較小,但還是能在一些現象中體現出來.我們可以用科里奧利力解釋“北半球的河流對右岸沖刷得較厲害,而南半球的河流則對左岸沖刷較厲害”這一現象.地球自西向東轉,其角速度矢量ω由南指向北,在北半球垂直地面的分量向上,從而v×ω總指向運動方向v的右邊.在南半球ω垂直地面的分量向下,從而v×ω總指向運動方向v的左邊,故北半球的河流沖刷右岸,南半球的河流沖刷左岸.

例4(2020年北大強基)單擺在擺動過程中,其擺動平面會逐漸發生轉動(進動),這是因為( ).

A.地心引力不均勻

B.月球對地球的潮汐力

C.地球在自轉,造成地轉偏向力

D.以上都不對

解析單擺振動時,振動面依理應保持不變,但因地球在自轉,在地面上的觀察者,不能發覺地球在轉,但在相當長的時期內,卻發現擺的振動面不斷偏轉.從力學的觀點來看,這也是由于受到了科里奧利力影響的緣故.上述能顯示地球自轉的裝置,是1851年傅科在巴黎首先制成的,在傅科擺實驗中,人們看到,擺動過程中擺動平面沿順時針方向緩緩轉動,擺動方向不斷變化.擺在擺動平面方向上并沒有受到外力作用,擺動的空間方向不會改變,因而可知,這種擺動方向的變化是觀察者所在的地球轉動的結果.觀察者看到的是相對轉動參考系運動的現象,從而有力地證明了地球是在自轉.選項C正確.

點評傅科擺放置的位置不同,擺動情況也不同.在北半球時,擺動平面順時針轉動;在南半球時,擺動平面逆時針轉動.而且緯度越高,轉動速度越快,在赤道上的擺幾乎不轉動.

5 到底什么是“引潮力”?

地球上海水的周期性漲落稱為潮汐.月球和太陽都對地球上的海水有引力作用,潮汐主要是月球對海水的引力造成的.潮汐現象的特點是每晝夜有兩次漲落潮,即在地表離月球最近和最遠的地方形成漲潮,而在地月連線兩側處于落潮.如果說潮汐是萬有引力引起的,那么太陽對海水的引力比月球對海水的引力大180倍,為什么是月球對潮汐起主要作用呢? 地—月系統在引力的相互作用下圍繞著共同的質點O旋轉.在地心參考系這個非慣性系中,各地海水所受相對地心這個非慣性系的有效作用力,即引潮力,相當于“真實的月球引力”和“慣性離心力”的合成,其中慣性離心力等于物體質量和月球對地球引力在地球球心處所產生的加速度的乘積,方向沿月地的連線向外.

如果研究各處的有效作用力,計算較為復雜,不妨先考慮離月球最遠和最近的兩處,如圖6所示,研究地球上A、B兩地質量為Δm的海水,設地球半徑為R地,地心與月心的距離為r地月,月球質量為M月,則海水所受慣性力F慣＝Δma,因為月球對地球引力所產生的加速度,所以

圖6

A處引潮力

其他地方的引潮力由于引力和慣性離心力不在同一直線上,要運用平行四邊形定則分析.各處的引潮力在地表分布如圖7所示,它把地球表面的海水沿地月連線方向拉長成為一個橢球,離月球最近和最遠處形成海水的高峰,地月連線兩側形成海水的低谷.各處引潮力的大小均與地月間的距離三次方成反比.隨著地球的自轉,一晝夜之間有兩個高峰和兩個低谷掃過每個地方,形成兩次高潮和兩次低潮.

圖7

同理可以分析計算太陽的引潮力,經計算可知,太陽引潮力與日地間距離的三次方成反比.代入相關數據可知,太陽引潮力大小約為月球引潮力的一半.當太陽的引潮力和月球的引潮力同向疊加時,則為大潮;當太陽的引潮力與月球引潮力反向疊加時,則為小潮.由此可見,引潮力不能僅僅歸結為月球的作用,否則無法解釋大潮、小潮現象.

牛頓發現引力規律距今僅有300多年,但我國古代的勞動人民發現潮汐的規律已經有上千年的歷史了.先人這樣的細心觀察與總結,激勵著我們熱愛科學、崇尚科學.

(完)