對經典力學中的軌道角動量和自轉角動量的探討

林正喆，陳 熙

(西安電子科技大學 物理與光電工程學院，陜西 西安 710071)

通常在量子力學教科書中對自旋角動量的規范的說法是：自旋角動量是量子力學中的一個新的自由度，沒有經典對應[1-6]. 把自旋歸結為經典的轉動是不合適的.實際上，經典力學中存在軌道角動量和自轉角動量的概念. 對具有幾何形狀的物體的空間運動，軌道角動量指的是其質心運動的角動量，自轉角動量指的是其繞自身質心旋轉的角動量.我們有必要在經典力學中建立兩種角動量的嚴格理論，并對一些實際的體系進行研究.本文試圖闡述經典力學中的軌道角動量和自轉角動量的嚴格理論框架，并通過一些例子總結出完善的經典力學角動量理論.

1 經典力學中的軌道角動量和自轉角動量

在力學中，先對單個質點的角動量進行定義，而后給出質點系的總角動量.在慣性系中，質點系相對于坐標原點O的總角動量為

(1)

(2)

(3)

其中第1項表示系統質心繞坐標原點運動的角動量，稱作軌道角動量.第2項為系統內各個質點相對于質心的角動量之和，與系統繞其質心的運動有關，稱為自轉角動量.該式對慣性系中任意質點系的運動成立，可應用于剛體力學.該式給出了與量子力學中角動量類似的形式，將總角動量分解為軌道角動量與自轉角動量的和.

圖1 質點的位置和速度相對于質心坐標系的分解

2 總角動量分解的應用意義

對剛體的一般運動，通過將體系的運動分解為質心的平動和繞質心的轉動兩部分進行分析.設第i個質點受到的合外力為Fi，按質心運動定理有

(4)

對系統繞質心的轉動，按質心系角動量定理有

(5)

對于剛體，將式(5)中的繞質心角動量用轉動慣量張量和角速度矢量表達之后，這兩個式子構成可完備求解的方程組.對系統的總角動量式(3)運用角動量定理則有

(6)

3 軌道角動量和自轉角動量在力學問題中的應用

3.1 重對稱陀螺的運動

下面利用軌道角動量和自轉角動量的概念，建立對重對稱陀螺運動的一種描述方法.如圖2所示，質量為m，O點與地面相接觸的重對稱陀螺.C為其質心.以O點為坐標原點，質心位置為rC.陀螺以角速度ω繞其對稱軸自轉，自轉軸與z軸夾角為θ.陀螺繞z軸進動的角速度為Ω.

圖2 重對稱陀螺

為了描述角動量，在陀螺質心C上建立χ-ζ坐標系(圖2).其中ζ沿陀螺對稱軸方向.陀螺質心C繞O點的軌道角動量為

(7)

陀螺的自轉為兩種轉動的合成，其一是自身以角速度ω繞ζ軸的旋轉，其二是進動引起的以角速度Ω繞z軸的旋轉.由于對稱性，χ、ζ軸為陀螺的慣性主軸.陀螺的自轉角動量為

Ls=Iζ(ω+Ωcosθ)eζ+IχΩsinθeχ

(8)

總角動量L=Lo+Ls的水平分量(沿x軸)為

Lx=Iζ(ω+Ωcosθ)sinθ-

(9)

重力對O點力矩為mgrCsinθ.若陀螺處在穩定的(無章動)進動狀態，則根據角動量定理mgrCsinθ=ΩLx得

(10)

式(10)的解為無章動進動Ω所需滿足的條件.若Ω小于該方程的解，則陀螺自轉軸向下運動以補償不足的角動量變化率dL/dt，同時Lx增大.Lx增大到一定程度以后將遏制陀螺自轉軸的向下運動，并反過來朝上運動.此過程反復，形成章動.

通過重對稱陀螺模型，可使學生深入理解經典力學中的軌道角動量與自轉角動量概念.在日后學習量子力學時，學生將經典力學的自轉角動量和量子力學中的自旋角動量概念相互比較，認識其異同.在經典力學中建立軌道角動量與自轉角動量概念，使其理論構架更加完善，并使學生對角動量建立全面的認識.

3.2 兩個邊緣相接觸的轉盤

如圖3所示，將兩個正在旋轉的、半徑分別為R和r旋轉的轉盤邊緣相互接觸，二者發生摩擦，在經過一段時間后達到穩定運動狀態.設二者均為均質圓盤，質量分別為M和m，初始角速度為Ω0和ω0，不計兩個輪軸的摩擦，計算達到穩定運動狀態后二者的角速度.

圖3 兩個邊緣相互接觸的轉盤

(11)

(12)

(13)

可根據式(11)驗證式(13)成立.雖然式(13)不足以用來求解體系運動過程，但通過以上討論可加深對力學中角動量原理的理解.

3.3 平行軸定理

剛體轉動慣量的平行軸定理也是與總角動量分解相關聯的一個例子.如圖4所示，一個質量為m、繞O軸旋轉角速度為ω的剛體，設C為其質心、OC兩軸距離為d，則剛體繞O軸的總角動量可分解為

L=mωd2+ICω

(14)

其中第1項為質心繞O軸的軌道角動量，第2項為剛體繞其質心的自轉角動量，IC為繞C軸的轉動慣量.設L=Iω，則可得剛體繞O軸的轉動慣量為

I=IC+md2

(15)

即平行軸定理.由此可看到，總角動量的分解自然地與平行軸定理相自洽.

圖4 繞O軸旋轉的剛體，C為其質心

4 結論

軌道角動量和自轉角動量的概念可從經典力學中得到.事實上，在人們建立量子力學自旋概念的過程中，借助了經典的自轉角動量概念.角動量作為力學中的重要概念，有必要對其進行深入的理論闡述.本文建立了經典力學中質點系的軌道角動量和自轉角動量的概念，使經典力學的理論體系更加完備.