致密油藏壓裂水平井產量預測

宋俊強，李曉山，王碩，顧開放，潘虹，王鑫

（中國石油 新疆油田分公司 勘探開發研究院，新疆 克拉瑪依 834000）

致密油藏壓裂水平井產量初期遞減快，后期遞減慢，呈現兩段或多段式遞減特征，導致單一經驗模型產量預測難度大且準確度低；而準確預測單井產量是提高開發效果及經濟效益的基礎。

現有的產量預測方法包括經驗法[1-2]、現代產量遞減分析法[3]、神經網絡學習法[4]和數值模擬法[5-6]。這些方法大多以統計數據為基礎，只考慮產量隨時間的變化，難以匹配壓裂水平井的多流態生產特征[7-8]，無法準確評價水平井全生命周期產量。因此，基于不同經驗遞減模型適用條件，前人提出了一系列組合模型。如按遞減率變化速率相等處為組合點的組合模型，但是出現遞減率相同的節點必須有足夠長的生產時間，難以實現不同生產階段的產量預測[9]；以產量為組合點，雖然預測模型跳躍現象明顯減弱，但不符合遞減率連續性特征，同時早期階段也無法預測[10]；將不同模型賦予不同的權重，建立目標函數，通過最優化算法，確定最佳的預測方法組合，雖可適用于不同的生產階段，但失去了各模型的物理意義，且增大了擬合難度[11]。

筆者從經驗遞減模型與流態的關聯性出發，提出了以邊界控制流時間為節點的新型組合模式，同時根據節點處的產量相等和遞減率相等，推導出了新型分段產量預測模型，并給出了邊界控制流時間及該模型的求解方法，可預測不同生產階段的單井全生命周期產量。

1 產量預測模型的推導

根據Arps 產量遞減模型[12]，當遞減指數為0 時，可特殊化為指數遞減，其特點是單位時間內產量下降與產量成比例，即遞減率為定值，為現場常用模型，其產量和時間的關系為

指數遞減的遞減率：

而借鑒的SEPD 模型，則是一個基于經驗的公式[13]，其表達式如下：

該模型的遞減率：

前人通過對不同經驗遞減模型與滲流流態特征相關性研究，總結不同經驗模型的適用階段[14]。其中，Arps 遞減模型以邊界控制流為主導，主要適用于生產后期產量擬合預測；SEPD 模型以不穩定流和過渡流為主導，主要適用于生產前期產量預測；兩者的組合節點可用邊界控制流時間控制[15-16]。本文采用指數模型與SEPD模型進行組合：

為了使模型連續，使2 個模型在節點處的遞減率、產量全都相等，可推出指數模型的初始產量、遞減率與SEPD模型參數的相關公式：

將（6）式代入（5）式，形成改進后的新型分段遞減模型：

2 模型節點的求取

2.1 邊界控制流時間的確定

諸多學者對致密油藏壓裂水平井的滲流規律進行了研究，普遍把壓裂水平井的流動階段劃分為早期線性流階段、擬徑向流階段、復合線性流階段和邊界控制流階段[7-8]。理論上，利用經驗模型進行產量預測，其預測結果與油井生產歷史中的流態階段有關，不同流態階段的預測結果不同。邊界控制流作為壓裂水平井在線性流之后常表現出的一種流動特征，其在物質平衡時間與規整化產量的雙對數曲線上為斜率等于-1的直線。

物質平衡時間：

規整化產量：

在變壓生產時的物質平衡時間與規整化產量的雙對數曲線上，可將線性流斜率為-1/2的切線與邊界控制流斜率為-1 的切線的交點作為邊界控制流時間點（圖1），但該交點對應的時間為物質平衡時間，需進一步轉化為實際生產下的邊界控制流時間，才能運用于新型分段遞減模型[13-14]。研究表明，到達邊界控制流后期，產量較低，累計產量降低，物質平衡時間快速增加，實際生產時間的變化速度較物質平衡時間的變化速度小，導致實際生產時間隨物質平衡時間在后期變的較為平緩。這種特征與Langmuir 吸附曲線形態相似，可用其建立物質平衡時間與實際生產時間的關系，再將判別出的物質平衡時間條件下邊界控制流時間代入擬合公式，即可獲取實際生產下的邊界控制流時間（圖2）：

綜上所述，可針對已到達邊界控制流時間的生產井進行判別計算，構建廣義回歸神經網絡（GRNN）學習數據體。

2.2 基于GRNN算法的邊界控制流時間預測

依據邊界控制流時間的確定方法，只能判斷已達到邊界控制流時間的晚期生產井，對未達到邊界控制流時間的生產井需要進行預測，才能使用（7）式進行分段產量預測。油藏開始受到邊界控制流影響的時間和油藏半徑有關，并且與擴散常數成反比，邊界控制流時間的簡易計算公式為[17]

對致密油藏壓裂水平井而言，其井控半徑與水平井段長度、壓裂級數、裂縫半長以及井距具有一定的相關性，而裂縫半長與壓裂液體積、支撐劑量相關?？紤]原油黏度和綜合壓縮系數在同一油藏變化不大，壓裂水平井的邊界控制流時間可用孔隙度、滲透率、水平井段長度、壓裂級數、井距、壓裂液體積和支撐劑量的非線性函數表示。

GRNN 是一種以非線性回歸為基礎的神經網絡模型[18]，具有數據樣本的要求較少，概率意義明確，具較好的泛化能力，可逼近任意類型的函數[19]，因此可采用GRNN對邊界控制流時間進行預測。

本文在GRNN 學習過程中，輸入層單元為孔隙度、滲透率、水平井段長度、壓裂級數、井距、壓裂液體積和加砂量7 種；模式層中神經元節點數k為學習樣本數，其神經元傳遞函數：

求和層有2 個神經元，分別為Pi的算術求和神經元與加權求和神經元；輸出層只有1 個單元，即邊界控制流時間，其值為加權求和神經元與算術求和神經元的比值。

上述學習過程中最主要的參數為光滑因子，其較小時導致模型無法收斂，較大時易出現過擬合現象[20]，因此通常設置其取值范圍為0～1。光滑因子優化通常采用果蠅算法、粒子群算法、蝙蝠算法等，考慮粒子群算法具有較高的準確度[20-21]，本文采用該算法。

粒子群算法是模擬鳥類覓食，用一群粒子來實現全局搜索尋優智能算法[21]，每個粒子具有位置、速度和適應度3 個特征屬性。粒子在空間中運動，通過跟蹤、比較新粒子與個體極值和群體極值的適應度，來獲取最優；其速度與位置的變化可通過（13）式和（14）式計算；適應度函數按計算實際值與預測值之間的均方差處理。

粒子速度：

粒子位置：

適應度：

本算法中粒子為GRNN 的平滑因子，具體粒子群算法優化GRNN算法的實現過程如下。

①考慮樣本數據之間存在量綱差，為避免產生較大誤差，對輸入樣本進行歸一化處理：

②設定粒子數目、權重因子、學習因子、循環迭代次數、最大速度、最小速度和粒子位置，隨機初始化粒子位置和速度。

③將歸一化后的學習樣本和初始化粒子位置（粒子位置即光滑因子）代入GRNN 中，訓練GRNN 模型，確定適應度值。

④更新粒子的個體極值和群體極值，優化粒子位置和速度，確定新粒子的位置。

⑤判斷適應度值是否滿足結束條件，若不滿足，重復步驟②—④；若滿足，輸出粒子位置，并將其映射到GRNN中，訓練GRNN模型。

⑥訓練完成后，將預測參數帶入優化的GRNN中，計算預測值（表1）。

表1 邊界控制流時間的學習樣本及模型預測結果比較Table 1.Learning samples and model prediction results for BDF time

3 產量預測模型應用評價

3.1 模型的預測流程及求解方法

根據推導的新型分段產量預測模型及邊界控制流時間確定方法，提出了新型分段產量模型的評價預測流程。該模型以流態劃分為基礎，未達到邊界控制流時，可利用前期的生產數據采用SEPD 模型用迭代試差和最小二乘法直接擬合出模型參數[13]；達到邊界控制流時間后，采用全局連續的分段最小二乘法曲線擬合求解。

迭代試差和最小二乘法擬合求解方法：①將分段模型中的SEPD模型兩端取雙對數，變成lnq與tn的關系；②假設n為定值，可用生產數據構建出lnq與tn的關系，即用最小二乘法擬合得出特定n下的擬合度；③n的取值范圍為0～1，n按0.001步長不斷迭代，可求出不同n下的擬合度；④通過比較擬合度，可求出lnq與tn的最佳線性擬合關系下的n，通過最佳線性關系的斜率與截距可求出相應的參考產量及特征弛豫時間；⑤將求出的參考產量、特征弛豫時間及預測的邊界控制流時間代入（7）式，求出新型分段產量預測模型。

全局連續的分段最小二乘法擬合求解方法：①將分段模型（7）式進行兩端雙對數處理，變成線性函數；②按照（17）式構建擬合均方差誤差函數f（qo,n,τ）；③假設n為定值，可用邊界控制流時間前的實際數據構建出lnq與tn的線性關系后，采用最小二乘法擬合得出特定n下的參考產量及特征松弛時間；④將特定n下的參考產量、特征松弛時間、預測的邊界控制流時間及實際對應的產量代入誤差函數f（qo,n,τ），求出其誤差；⑤將n以0.001的步長迭代，計算出不同n下的誤差函數，求出擬合誤差函數最小時的模型參數，即為分段模型擬合度最佳的參數。

擬合誤差函數：

3.2 實例分析

以瑪湖油田早期壓裂水平井MH6004 井為例，進行模型分析。該井孔隙度為11.4%，滲透率為2.80 mD，水平井段長度為938 m，壓裂級數為12，井距為400 m，壓裂液體積為13 535 m3，加砂量為836 m3。設定粒子數目為30，權重因子為0.6，學習因子為2，循環迭代100 次，最大速度為0.01，最小速度為-0.01，粒子最大值為1，粒子最小值為0.01；計算得出的光滑因子為0.011 8，邊界控制流時間為807 d。

為降低生產波動的影響，將生產數據按月平均日產油量處理，按常規產量預測方法，用指數式擬合達到邊界控制流之后的生產數據，設計平均產油1 t/d為廢棄產量，預測累計產油量達4.30×104t。同時利用本文模型、SEPD 模型、指數模型分別按邊界控制流之前的早期階段（2～25 月）及邊界控制流之后（2～33 月）擬合預測，對比不同預測方法所得結果的差異（圖3、圖4）。結果表明：針對早期與到達邊界控制流后，在相同擬合階段下，本文模型比SEPD 模型和指數模型的擬合度高，其預測誤差小于5%（表2），而SEPD 模型預測產量明顯偏高，指數模型預測產量偏低。造成該現象的原因是SEPD模型以不穩定流和過渡流為主導，擬合預測時遞減率逐漸減小，但實際生產過程到邊界控制流后遵循指數規律，遞減率幾乎不發生變化，導致其預測結果比常規方法大；指數模型較適用于生產中后期的邊界控制流階段，而壓裂水平井生產前期主要以裂縫的線性流和不穩定流為主，產量從迅速下降到緩慢下降轉變，導致利用指數擬合時，遞減 率較大，預測產量偏低。

表2 不同模型預測結果對比Table 2.Comparison of prediction results from different models

4 結論

（1）SEPD 模型以不穩定流和過渡流為主導，指數模型以邊界控制流為主導，進而通過2 個模型在邊界控制流時間處的產量相等和遞減率相等，推導得到了以邊界控制流時間為節點的新型分段產量預測模型。

（2）提出了物質平衡時間與真實生產時間的擬合轉換關系，形成了生產條件下邊界控制流時間確定方法；同時邊界控制流時間與地質、工程等參數具有非線性相關特征，可通過GRNN 算法，根據相關已知參數進行早期井邊界控制流時間的預測。

（3）以邊界控制流時間為節點的新型分段產量預測模型，對于早期及到達邊界控制流后的晚期生產井，均具有較高的預測精度，可解決SEPD模型及指數模型預測結果偏高或偏低的問題。

符號注釋

c1、c2——學習因子；

Ct——綜合壓縮系數，MPa-1；

d、m、α、β——相關擬合系數；

Di——遞減初期遞減率，d-1；

Dt——遞減率，d-1；

E——適應度，即均方差；

Gbest——群體極值；

k——神經元節點數，正整數；

K——滲透率，mD；

M——樣本個數；

n——時間指數，無因次，范圍為0～1；

NP——累計產油量，m3；

pr——地層壓力，MPa；

pwf——井底流壓，MPa；

Pi——模式第i層的輸出；

Pbest——個體極值；

q——產油量，m3；

qi——遞減初期產油量，t/d；

qo——參考產量，t/d；

q（ti）——ti時間下的真實產量，t/d；

r1、r2——分別為［0，1］的隨機數；

re——井控半徑，m；

t——時間，d；

tcd——物質平衡時間，d；

telf——邊界控制流時間，d；

tmax——實際生產最大時間，d；

tture——實際生產時間，d；

vi——第i次循環時當前粒子的速度；

vi+1——第i+1次循環時當前粒子的速度；

xi——第i次循環時當前粒子的位置；

xi+1——第i+1次循環時當前粒子的位置；

X——神經網絡輸入變量；

Xi——第i個神經元對應的學習樣本；

-Xi——歸一化后的第i個神經元對應的學習樣本；

Yi——第i個預測學習樣本值；

yi——第i個真實學習樣本值；

φ——孔隙度，%；

μ——黏度，mPa·s；

σ——光滑因子；

τ——特征弛豫時間，d；

ω——權重因子，一般取0.4～0.9；

Δp——壓差，MPa。