一類具有導數型非線性記憶項和變系數耗散的廣義Tricomi方程全局解的非存在性

歐陽柏平

(廣州華商學院 數據科學學院, 廣州 511300)

0 引 言

考慮如下導數型非線性記憶項和變系數耗散的廣義Tricomi方程全局解的非存在性問題：

(1)

其中

Γ為第二類Euler積分,p>1,ε>0,l≥0, Δ是Laplace算子,μ為非負實數.目前具有如下形式的Tricomi方程解的爆破等性態研究受到廣泛關注[1-5]:

(2)

當1pcrit時, 其存在全局解[6-11].文獻[12]討論了如下衰減型波動方程解的爆破問題:

(4)

證明了當

時其Cauchy問題解的爆破, 并得到了生命跨度估計：

其中k∈[0,1),μ為非負數.文獻[13]研究了更一般的Euler-Poisson-Darboux-Tricomi方程解的爆破問題：

(5)

給出了問題(5)中具有衰減性的阻尼項和質量項對解爆破的影響, 同時得到了其Cauchy問題解的生命跨度估計, 其中p>1,ε>0,l>-1, Δ是Laplace算子,μ,ν2均為非負實數.

本文采用基于Bessel方程和迭代方法以及相關的泛函分析方法, 首先考慮問題(5)中當ν=0、 右邊項為導數型非線性記憶項時解的爆破問題, 主要研究導數型非線性記憶項對其Cauchy問題爆破解的非局部影響以及變系數對其爆破解的影響.根據實際應用, 在非局部影響中, 本文側重于越近的信息影響越大, 故其影響因子取為(t-s)-γ.其次, 由于問題(4)中t-2k(k∈[0,1)), 故文獻[12]研究了衰減情形下其Cauchy問題解的爆破問題.本文考慮t2l(l≥0), 即增長情形下問題(1)解的爆破問題.并考慮對解的非局部影響.即通過構造若干泛函, 用基本的泛函分析技巧, 先給出該泛函需要滿足的基本不等式框架, 再利用迭代方法得到其解的爆破及其生命跨度估計.記

1 主要結果

定義1假設(u0,u1)∈H1(n)×L2(n).若對于u∈C([1,T),H1(n))∩C1([1,T),L2(n))并且n), 有

應用分部積分, 進一步化簡式(6)為

本文主要結果如下：

定理1設(u0,u1)∈H1(n)×L2(n)為非負緊致函數, 支集包含于半徑為R(R>0)的球BR上, 1

p2((l+1)(n-1)+μ-l)-p(2(1-γ)+μ+3+(l+1)(n-4))-2(l+1)=0.

2 定理1的證明

本文主要采用迭代的思路完成定理1的證明.為此需先構造若干能量泛函U(t),F(t),G(t), 然后利用這些能量泛函得到問題(1)的迭代框架和第一下界, 進而得到本文結果.設

其中Φ=Φ(s,x)是下列方程的正解:

Φss+μs-2Φ=s2lΔΦ+μs-1Φs.

(11)

式(7)中, 取φ=φ(s,x)=1, 其中(s,x)∈[1,t]×n且|x|≤R+Al(s), 可推出

由式(8)和式(12), 有

(13)

對式(13)關于t求導數, 進一步化簡得

(14)

積分式(14), 有

借助已知條件和H?lder不等式, 可得

(16)

其中c0=c0(n,p,l)>0.結合式(15),(16), 得到U(t)的迭代框架.即

其中c1>0.

下面研究U(t)的第一下界.為此, 首先給出正光滑函數[14]：

Ψ(x)有下列性質：

取Φ=Φ(s,x)=λ(s)Ψ(x), 結合式(11), 易得

λ″+μs-2λ=s2lλ+μs-1λ′.

(18)

做變換η=wl(s), 化簡式(18)有

(19)

再做變換

化簡整理得

(20)

λ(s)=s(μ+1)/2Km(wl(s)).

(21)

由此得方程(11)的正解為

Φ(s,x)=λ(s)Ψ(x)=s(μ+1)/2Km(wl(s))Ψ(x).

(22)

由波方程的有限傳播速度可知,u具有緊支集, 因此Φ的支集條件可以去掉.將式(7)中Φ替換φ, 并注意到式(9), 可得

記

下面證明I>0.

由式(21), 有

λ′(t)=μt(μ-1)/2Km(wl(t))-t(1+μ)/2+lKm+1(wl(t)).

(24)

由第二類Bessel函數關系式

得

λ′(1)=μKm(wl(1))-Km+1(wl(1)),

μλ(1)-λ′(1)=Km+1(wl(1))>0,

λ(1)=Km(wl(1))>0.

故I>0.

重寫式(23), 得

(25)

(26)

對式(26)積分, 并化簡可得

(27)

(28)

因此, 存在t0>1,m1,m2>0,t≥t0, 使得

m1e-2wl(t)tμ-l≤λ2(s)≤m2e-2wl(t)tμ-l.

(29)

由式(27),(29), 得

其中c1為正數,t≥2t0.

由Φ(s,x),F(t),G(t)的定義, 有

(31)

結合式(23),(31), 得

(32)

對式(32)關于t求導數, 得

利用式(18), 進一步化簡式(33)得

(34)

(35)

對式(35)進行積分, 有

結合式(29),(36), 當t≥2t0時, 有

其中c2,c3>0.

對式(10)泛函G(t), 并應用H?lder不等式, 有

(38)

(39)

又由Φ的漸近性[14], 可得

其中C0,C1,C2>0.

將式(40)代入式(39), 并化簡整理得

其中C3>0,t≥2t0.聯立式(15),(41), 對于t≥t1,t1=2t0, 可推出U(t)的第一下界, 即

取

重寫式(42), 得

U(t)≥K0t-α0(t-t1)σ0.

(43)

下面由式(17)的迭代框架及式(43)的第一下界, 再利用對U(t)進行迭代完成定理1的證明.令

U(t)≥Kjt-αj(t-Ljt1)σj,

(44)

其中{Kj}j∈′,{αj}j∈′,{σj}j∈為非負實序列,t≥Ljt1.序列{Lj}j∈定義為

聯立式(17),(44), 有

其中t≥Lj+1t1.式(45)表明式(44)對j+1成立.同時, 由式(45)得

由式(47),(48)可推出αj,σj的表達式, 即

(50)

由式(50), 易知

(51)

又

(52)

下面結合式(50)～(52)及式(46)估計Kj, 即

(53)

對式(53)兩邊取對數, 并結合遞推關系, 可得

取j0∈, 使得

于是, 當j≥j0時, 由式(54)可推出

(55)

其中E=E(u0,u1,n,p,l,μ,γ)>0.

由對數的性質和式(55), 易得

Kj≥exp{pjlog(Eεp)}.

(56)

由Lj和L定義, 當j→∞時有Lj→L.從而下式成立:

U(t)≥Kjt-αj(t-Lt1)σj.

(57)

聯立式(49),(50)及(56),(57), 對于j≥j0,t≥t1, 有

式(59)對數函數中t的指數為

取10.

令ε0=ε0(u0,u1,n,p,l,μ,γ)>0, 使得

于是當j→∞時, 可推出式(59)中U(t)的下界爆破.從而可得問題(1)不存在全局解.同時, 可得問題(1)的另一個結果, 即u的生命跨度估計為