PT 對稱極化子凝聚體系統中的穩定孤子及其調控*

陳禮元 高超 林機 李慧軍

(浙江師范大學物理系,金華 321004)

通過構造外勢與泵浦的空間分布,設計了一維非相干泵浦激子極化凝聚體系統滿足的 PT 對稱模型.在弱非線性效應情況下,確定了體系的 PT 對稱相變點,展現了線性譜的特征.在正常非線性效應情況下,找到了零背景的亮孤子、零背景的多極暗孤子、非零背景的多極對稱暗孤子、對稱破缺暗孤子、非零背景的凹陷、凸起暗孤子,并討論了外勢虛部與非均勻泵浦對孤子輪廓與孤子穩定性的影響.通過分析孤子的輪廓與穩定性,厘清了 PT 對稱外勢與非均勻泵浦之間的競爭關系,給出激發各種亮、暗孤子的方案,并界定了這些孤子的存在與穩定區域.最后,通過調制 PT 對稱外勢虛部實現了對 PT 對稱破缺暗孤子的調控,揭示了極化子凝聚體系統在全光開關等光信息處理方面的潛在應用.

1 引言

耗散、增益的存在不可避免地導致物理系統的非厄米性,激發了學者們的廣泛興趣[1].1998 年Bender 和Boettcher[2]發現宇稱-時間(PT)對稱的非厄米系統存在實本征譜,從而將傳統量子理論推廣到了復域.該結論要求勢函數滿足V(x)=V ?(-x)(實部偶對稱,虛部奇對稱),且其虛部系數必須在某一臨界值以下,即PT對稱相變點或PT對稱破缺點以下.PT對稱系統的獨特性質包括非正交的本征模與對稱破缺點的出現等.2008 年,Musslimani 等[3]將PT對稱概念引入光學系統,PT對稱勢通過復折射率n(x)=nR(x)+inI(x) 實現.近年來,在光學[4-11]、LRC 電路[12,13]、超材料[14,15]和冷原子[16-21]等系統中已經實現了周期、非周期PT對稱勢,并發現了許多奇特現象.在線性系統中,處于PT對稱相(破缺點之下)的光束具有功率振蕩[5,22]、相干完美吸收[15]等特性;在破缺點附近出現雙折射現象[5,22];而在破缺相可實現單向波傳播[4]、損耗誘導透明[6]、激光的單模操控[8,21]等.而在非線性系統中,強非線性效應可導致光在破缺相單向傳輸[10],飽和增益非線性效應使得光在對稱相和破缺相均可單向傳輸[11],這些非線性效應均可激發多種穩定的孤子.尋求一個PT對稱破缺點可控制、各種非線性效應易實現的系統成為研究PT對稱系統特性的熱點問題.

近年,由于二維量子阱激子與微腔光子形成的極化子凝聚體系統具有壽命短、有效質量輕[23,24]、相互作用強、凝聚溫度高、增益與耗散共存[25]、以及操控性強等特性受到大家關注,不僅成為超冷原子氣體—玻色-愛因斯坦凝聚體 (BEC) 的合適替代品,而且也成為設計下一代實用量子器件與光信息處理器件的理想平臺[26,27].由非相干泵浦驅動的極化子BEC 系統相干機理清晰,可通過注入大失諧泵浦場、采用大角度光驅動、電場注入極化子等手段實現,使其成為實驗與理論研究熱點.該系統集動能、外勢、增益、耗散、Kerr 非線性、飽和非線性、非局域等7 種效應于一體,存在多種非線性效應相互競爭,泵浦與外勢相互影響,非線性增益與常數耗散共存.極化子BEC 系統的復雜性雖給研究其非線性特性帶來了困難,但也為發現各種新穎性質提供了可能.

目前,在均勻泵浦系統得到的暗孤子、旋量渦旋和螺旋波[28-30]等非線性模均不穩定.引入外勢可以激發豐富非線性模,如諧振勢激發渦旋[31]、周期勢阱存在帶隙暗孤子[32]、復周期外勢和高斯缺陷勢誘導出暗孤子[33,34]以及有限深勢阱中發現暗孤子和反暗孤子[35].外勢可起到束縛作用,激發豐富的非線性模,但在平衡增益耗散方面不作貢獻.為平衡增益與耗散,引入非均勻泵浦,給出了宇稱孤子[36]、暗孤子[37]、亮孤子[38]、槽型局域態[39]和多渦旋結構[40]等.同時引入外勢與非均勻泵浦,發現了亮孤子和渦旋[41]、帶隙孤子[42]、空間斑圖[43]以及旋量暗孤子鏈[44].非均勻泵浦本質也是提供外勢,可獲得豐富非線性模,但無法有效平衡增益耗散,故達不到穩定非線性模的目的.

在不同體系中設計PT對稱模型始終是學者感興趣的課題.對處于均勻穩態的耦合極化子BEC系統中的PT相變已有研究,2015 年Lien 等[45]討論了處于PT對稱相的多穩態;2016 年Chestnov等[46]討論了體系永久的拉比振蕩.利用極化子BEC體系固有的增益耗散,通過構造外勢與泵浦場空間分布設計PT對稱外勢引起學者關注.2019 年馬學凱等[47]在強外勢且弱非線性近似下通過引入空間調制的外勢與泵浦設計了近似的PT對稱晶格,并研究了可控的高速極化波.2020 年賈春玉和梁兆新[48]引入滿足PT對稱的非相干泵浦場,討論了體系的暗孤子.此時庫密度具有與泵浦場相同的PT對稱性,但由于庫密度既出現在外勢的實部,也出現在外勢的虛部中,所以導致模型整體不具有PT對稱性.以上兩個方案的缺陷,致使探討極化子BEC 非線性特性的PT對稱模型一直未見報道.

本文首先引入由常數與高斯函數構成的復合泵浦[49],有效平衡體系固有的增益耗散[49],然后引入滿足PT對稱的外勢,設計出滿足PT對稱的極化子BEC 模型.在弱非線性效應情況下,求得體系的PT對稱相變點,進而展示線性譜的特征.在正常非線性效應情況下,利用預條件牛頓共軛梯度法[50]找到了體系在不同非均勻泵浦情況下的零背景亮孤子與多種類型暗孤子,討論了PT對稱外勢對孤子穩定性的影響,并發現復合泵浦有效平衡增益損耗是孤子穩定的必要條件.通過分析孤子的輪廓與穩定性,厘清PT對稱外勢與非均勻泵浦之間的競爭關系,給出激發六種暗孤子和一種亮孤子的參數區域,并通過演化與線性穩定性分析界定了這些孤子的穩定區間.最后,通過實時調控PT對稱外勢虛部,達到了操控對稱破缺孤子的目的,進而揭示了該體系在全光開關等方面的潛在應用價值.

本文安排如下: 第2 部分給出研究的模型及其在弱非線性效應情況下的線性譜;第3 部分找到了體系在不同非均勻泵浦時的亮、暗孤子解,并討論了它們的穩定性;第4 部分通過研究非均勻泵浦以及PT對稱外勢對孤子輪廓及其穩定性的影響,確定了多種孤子的相圖及其穩定區間,并給出操控孤子的方案;最后一部分給出結論.

2 PT 對稱極化子BEC 的模型及其在弱非線性效應情況下的性質

2.1 理論模型

在平均場理論框架下,非相干泵浦極化子BEC序參量滿足驅動-耗散的廣義Gross-Pitaevskii (GP)方程.考慮系統的非平衡特性,引入速率方程刻畫非凝聚的熱庫[26].此時,可用耦合方程

來描述一維納米線系統中凝聚體運動[51].其中Ψ和nR分別表示極化子BEC 波函數和庫密度;m*表示極化子BEC 的有效質量;Vext表示凝聚體感受到的外勢;gC和gR分別表示凝聚體自相互作用和庫與凝聚體間相互作用;γR和γC分別表示凝聚體和庫密度的損耗率;R表示從熱庫到凝聚的受激散射率;Pu(x)=P0+表示復合的非相干泵浦,它由連續場P0和高斯波組成[49].PT對稱外勢有兩大類[3],一大類為全空間調制的周期外勢;另一大類是局部空間調制的非周期勢,如Scarff II 型勢.線性系統中,高斯型外勢的本征函數模式豐富,致使在非線性系統中激發豐富的非線性模成為可能[52],與Scarff II 型外勢比較,高斯型外勢在實驗上更易于實現、方便調控,故本文選擇如下的高斯型PT對稱外勢[3,4,21,53,54]:

它滿足Vext(x)=,其中的Vr和Vi分別表示外勢實部、虛部的強度,?表示復共軛.

對方程(1)和(2)無量綱化可得

絕熱近似下,由方程(5)可得n=,代入方程(4),外勢部分由

貢獻,式中泵浦場P(ξ)不僅出現在實部-V-σ1|u|2-(σ2P(ξ))/(1+σ6|u|2)中,同時也出現在虛部 i[(σ3P(ξ))/(1+σ6|u|2)-σ4] 中,不利于通過設計泵浦場構造PT對稱勢.文獻[47]中提出,用奇對稱周期函數與常數構成的泵浦場和偶對稱的周期外勢V設計PT對稱勢,為滿足對稱性,做了弱非線性效應|u|2≈0 與V?σ2P(ξ)≈0 的近似,此時,偶對稱的周期外勢V貢獻實部,奇對稱的周期泵浦貢獻虛部,從而獲得周期調制的PT對稱極化子BEC 模型.很顯然,該模型在考慮非線性效應時不再滿足PT對稱性.而文獻[48]中,直接選取常數與PT對稱的Scarff II 型函數構成泵浦場,由上述分析可知,此時模型無法滿足PT對稱性.故設計具有PT對稱外勢的極化子BEC 非線性模型具有難度.為了尋求突破,本文首先借助復合的非相干泵浦平衡增益損耗[49],其中常數σ7主要用于平衡常數耗散σ4,非均勻部分σ8exp (-ξ2/w2)用來平衡由非線性激發引起的增益或耗散,平衡效果可用增益耗散強度I=來刻畫;進而引入PT對稱的外勢 (3)構造出滿足PT對稱的模型(4).

為尋找方程(4)和(5)中的非線性穩態,設u(ξ,s)=ψ(ξ)eiβs,庫密度n(ξ,s)=n′(ξ),可得

其中,β為化學勢,n′=.根據文獻[29]選取參數σ1=-1,σ2=0.3,σ3=0.5,σ4=0.1,σ6=4,σ9=1.

2.2 弱非線性激發的線性譜

首先考慮弱非線性激發的情況.當Ψ為弱場時,方程(6)可退化為線性方程:

選取連續泵浦P(ξ)=σ7=σ4/σ3,此時方程(7)完全滿足PT對稱性.

取ξ0=1,w=0.45.圖1(a)給出外勢V的輪廓圖,可清楚地看到它的實部 Re(V) 關于ξ偶對稱,虛部 Im(V)關于ξ奇對稱[3],ξ＞0 部分為增益區,ξ＜0部分為耗散區.利用傅里葉配置法[50]可以得到方程(7) 的線性譜.圖1(b)給出了化學勢β的虛部隨W的變化曲線.從圖1(b)可知,當外勢虛部較小時,化學勢為純實數,隨著虛部的增加,當W＞0.78 時化學勢的虛部出現,可知W=0.78 是該系統的PT對稱相變點或PT對稱破缺點.圖1(c)給出W=0.1 時的線性譜,可以發現該譜中包含連續譜和一個離散的本征值,是純實譜,插圖給出了離散本征值對應的本征函數,發現它的實部關于ξ偶對稱,虛部關于ξ奇對稱.圖1(d)給出了W=0.9時的線性譜.此時,連續譜仍然存在,但出現了一對互為復共軛的離散本征值,發生了PT對稱破缺[53-56].

圖1 弱非線性激發的線性譜 (a) 參數取 w=0.45,ξ0=1,W=1 時 PT 對稱外勢的輪廓圖;(b) 線性譜中的虛部最大值隨W 的變化曲線;(c) W=0.1 和(d) W=0.9 時的線性譜以及離散本征值對應本征函數的虛實部Fig.1.Linear spectrum of weakly nonlinear excitations: (a) Profile of PT symmetrical potential.Here,w=0.45,ξ0=1,and W=1;(b) Im (β)max as a function of W; (c),(d) linear spectrum for W=0.1,W=0.9 and the discrete eigenvalues corresponding to the imaginary and real parts of the eigenfunction,respectively.

3 不同非均勻泵浦時的孤子解及其穩定性

本節考慮正常非線性激發時可能存在的孤子解及其穩定性.利用預條件牛頓共軛梯度法[50],可獲得方程(4)的孤子解及其功率P=,當孤子在非零的均勻背景上激發時采用歸一化功率P=,其中表示均勻背景的值.一旦得到孤子解ψ,便可以引入擾動以及,得到擾動本征模式v1,v2和v3滿足的本征值問題[49],求得擾動模式的本征值λ.當λ的實部大于零時孤子不穩定.此外,也通過分步傅里葉演化的方法驗證所得孤子的穩定性.下面考慮不同非均勻泵浦時的孤子解及其穩定性.

3.1 非均勻泵浦 σ8＜0 時的孤子解

本節討論非均勻泵浦σ8＜0 的情況,選取β=0.1.從平衡增益耗散的角度,飽和增益項σ3n′=.當σ8＜0 時飽和增益項的分子會出現凹陷,此時適宜激發暗孤子.圖2(a)給出了偶極暗孤子(藍實線)以及三極暗孤子(紅虛線)的功率隨非均勻泵浦強度σ8的變化曲線,圖2(b)中計算了這些暗孤子的穩定性,圖2(c)分析了增益耗散強度I=隨σ8的變化曲線.可以發現此時系統的增益耗散達到有效平衡.當取圖2(a)—(c)中點d—g 對應的參數時,圖2(d1)—(g1)給出了暗孤子的輪廓|ψ|(紅實線)與相位?(藍色點虛線)的圖像.當W=0.1 時得到偶極暗孤子,從圖2(d1)和圖2(e1)中的輪廓圖可知,兩個偶極暗孤子的相位均發生兩次躍遷,躍遷位置對應于偶極暗孤子的兩個谷,且ξ→±∞時,相位值相等,即相位差?(-∞)-?(+∞)=0 .當|σ8|較小時,從圖2(d1)可以看到,偶極暗孤子的兩個谷幾乎是對稱的,稱為PT對稱孤子[57];而隨著|σ8|的增大,暗孤子輪廓不再對稱,如圖2(e1)所示,這種孤子稱為PT對稱破缺孤子[57],即孤子的對稱破缺,此時孤子的能量主要分布在增益區.當W=0.05時,圖2(f1)和圖2(g1)分別給出了功率更高的三極對稱破缺暗孤子與三極對稱暗孤子,此時相位發生三次躍遷,并且相位差為?(-∞)-?(+∞)=π.為證明線性穩定性分析結果的可靠性,取孤子解加10%的隨機擾動作為初值進行演化.演化結果如圖2(d2)—(g2)所示.圖2(d2)給出圖2(d1)中PT對稱孤子的演化結果,可以看到它在ξ方向上呈現周期振蕩,但卻是穩定的束縛解.如圖2(e2)所示,對稱破缺孤子也可以穩定傳播.圖2(f2)給出不穩定三極對稱破缺暗孤子的演化結果,可以看到隨著演化時間推移,暗孤子右側的一極向右側偏移并發生耗散,余下的兩極變為偶極暗孤子.圖2(g2)給出穩定三極對稱暗孤子的穩定演化結果.所有演化結果與圖2(b)中的穩定性分析結果一致.

圖2 非均勻泵浦強度 σ8＜0 時的暗孤子解 (a)—(c)分別為暗孤子的功率、穩定性和增益耗散強度隨 σ8 的變化曲線;(d1)—(g1)是取圖(a)—(c)中字母d—g 相應的W 和 σ8 時孤子的輪廓 |ψ| (紅實線) 以及相位? (藍色點虛線)的圖像;(d2)—(g2)是孤子演化的結果,圖中,左側是演化結果的投影,右側是特定時刻s 的演化結果Fig.2.Dark solitons for inhomogeneous pumping σ8＜0 : (a)—(c) Power,stability and total gain loss intensity curves of the dark solitons as a function of σ8,respectively;(d1)—(g1) profiles of the dark solitons with different σ8 and W marked by the letter d—g in the panels (a)—(c) respectively,the red solid line (blue dashed-dotted line) denotes the profile |ψ| (phase ?);(d2)—(g2) projections and profiles of the evolution results.In the left panels,the projections of the evolution are shown.The profiles and phases of evolution at the special time s marked by the green line of the left panels are shown in the right panels.

由以上結果可以發現,偶極暗孤子的穩定區間更寬;調節PT對稱外勢的虛部W可以找到更多類型的暗孤子;調節非均勻泵浦強度σ8可以獲得對稱孤子與對稱破缺孤子,而孤子的對稱性(分為對稱或對稱破缺孤子)與穩定性無關.通過進一步的數值模擬發現,偶數極的暗孤子相位差為零,奇數極的暗孤子相位差為 π.

3.2 非均勻泵浦 σ8=0 時的孤子

本節考慮非均勻泵浦σ8=0 的情況,選取β=0.1.由前面的分析可知,這種情況下非線性增益與線性耗散無法平衡,激發和穩定孤子變得困難,此時得到的暗孤子和亮孤子不穩定[49].然而,現考慮模型中存在PT對稱外勢,形成了PT對稱外勢V與飽和增益項σ3n′之間的相互競爭,使得激發和穩定非線性模具有了可能性.

圖3(a)和圖3(b)給出了孤子的功率、穩定性隨PT對稱外勢虛部W的變化曲線,圖3(c)分析了增益耗散強度I隨W的變化曲線.由圖3(a)和圖3(b)可知,W較小時孤子的功率與穩定性曲線變化較為平緩,當W增大到 0.54 時,孤子的功率曲線陡然上升,同時線性穩定性曲線 Re(λ) 突變到0.02,孤子變得不穩定.而從圖3(c)可以發現,增益耗散強度I整體較小,但在W=0.54 處出現極值,結合穩定性分析結果,W=0.54 為孤子穩定性的相變點.當取圖3(a)—(c)中點d—f 對應參數時,給出如圖3(d1)—(f1)所示的孤子輪廓(紅實線)與相位(藍色點虛線)圖.從圖3(d1)可以看出,該孤子具有暗孤子的典型特征—相位躍遷,但輪廓卻是兩邊凸起中間凹陷,這個顯著特征使得非線性飽和增益與常數耗散平衡成為可能,該方案也為尋找極化子BEC 體系中的穩定暗孤子提供了一個新方向.隨著W的增大,暗孤子中心逐漸升高,如圖3(e1)所示,并且在左側背景處出現了凹陷,這也為增益耗散平衡作了貢獻.隨著W的進一步增加,出現了圖3(f1)所示的孤子,此時中心的谷突變成為峰,但相位躍遷特征仍然保留,是一種新型的暗孤子.從相位變化來看,三個暗孤子在中心位置都有一個 π 相位的躍遷,但?(-∞)-?(+∞)=0 .圖3(d2)—(f2)給出了演化結果.從這些結果可知,孤子在W較小時能穩定傳輸;當W超過某一閾值(W= 0.54)時,孤子初始時刻的形狀完全變形.這種情況下,孤子穩定性的相變點小于線性情況下的PT對稱破缺點W=0.78,這是多種效應相互競爭導致的結果.

圖3 均勻泵浦情況下的暗孤子 (a)—(c)分別為孤子的功率、穩定性和增益耗散強度隨W 的變化曲線;(d1)—(f1)是取圖(a)—(c)中字母d—f 相應的W 和 σ8 時孤子的輪廓 |ψ| (紅實線) 和相位?(藍色點虛線) 的圖像;(d2)—(f2)是孤子演化的結果,圖中,左側是演化結果的投影,右側是特定時刻s 的演化結果Fig.3.Dark solitons for homogeneous pumping: (a)—(c) Power,stability and total gain loss intensity curves of the dark soliton as a function of W;(d1)—(f1) profiles of the dark soliton marked by the letter d—f in the panels (a)—(c) respectively,the red solid line(blue dashed-dotted line) denote the amplitude |ψ| (phase ?);(d2)—(f2) projections and profiles of the evolution results.In the left panels,the projections of the evolution are shown.The profiles and phases of evolution at the special time s marked by the green line of the left panels are shown in the right panels.

由以上結果可以發現,調制孤子自身輪廓可以用來平衡飽和增益項的增益耗散,它可作為尋找穩定暗孤子的另一種方案.此外,在非零均勻背景上暗孤子的輪廓豐富多樣,可以是傳統的凹陷,也可以是雙峰,還可以是凸起.

3.3 非均勻泵浦 σ8＞0 時的孤子解

本節討論非均勻泵浦σ8＞0 的情況.從平衡增益耗散的角度看,當σ8＞0 時飽和增益項的分子會出現凸起,此時適宜激發亮孤子.在方程(6)中,σ1＜0,若只存在自相互作用非線性效應,只能激發暗孤子.但該體系中既有自相互作用的Kerr非線性效應,還有凝聚體與熱庫間相互作用的飽和非線性效應,這兩種非線性效應之間的競爭使得激發亮孤子成為可能.和其他典型的耗散系統類似,這里的化學勢只能選一些孤立的值[58],如β=0.6 .為激發零背景的亮孤子,平衡飽和增益項和常數耗散項,需取σ3=0.2 以降低背景.

圖4(a)—(c)分別給出了亮孤子的功率、穩定性和增益耗散強度隨σ8的變化曲線.藍實線(紅虛線)表示W=0.1 (W=0.5)的結果.從圖4(c)可知,亮孤子的增益耗散強度I比暗孤子大,但|I|的值都小于 0.05.結合圖4(b)可以發現,|I|值小并不能保證孤子的穩定,但如果|I|值很大,孤子一定不穩定,這可以作為判斷孤子穩定的必要條件.當取圖4(a)—(c)中點d—g 對應參數時,在圖4(d1)—(g1)中給出了亮孤子的輪廓.對比4 張圖的參數可以發現,隨著σ8的增加,為了平衡增益耗散,孤子的振幅增加,但隨著W的增加,孤子的寬度變窄,并出現圖4(a)所示的功率變小.圖4(d2)—(g2)給出了演化結果.從圖4(d2)和圖4(e2)可知,功率較大的這組亮孤子可以穩定傳輸.在圖4(f2)中,亮孤子在演化過程中雖然輪廓沒有變形,但振幅明顯降低,證明該孤子不穩定.而在圖4(g2)中,亮孤子在演化過程中雖呈現周期振蕩[59-61],但孤子形狀、振幅均保持不變,證明此孤子穩定.

圖4 非均勻泵浦 σ8＞0 時的亮孤子 (a)—(c)分別為亮孤子的功率、穩定性和增益損耗強度隨 σ8 的變化曲線;(d1)—(g1)是取圖(a)—(c)中字母d—g 相應的W 和 σ8 時孤子的輪廓;(d2)—(g2) 是孤子演化的結果,圖中,左側是演化結果的投影,右側是特定時刻s 的演化結果Fig.4.Bright solitons for inhomogeneous pumping σ8＞0 : (a)—(c) Power,stability,and total gain loss intensity curves of the bright soliton as a function of σ8 ;(d1)—(g1) profiles of the bright solitons marked by the letter d—g in the panels (a)—(c) respectively;(d2)—(g2) projections and profiles of the evolution results.In the left panel,the projections of the evolution results are shown.The profiles of evolution at the special times s marked by the green line of the left panels are shown in the right panels.

由以上結果可以發現,在極化子BEC 系統中,只需調控σ8的正負即可實現暗孤子到亮孤子的相變,而改變σ8與W的大小可實現對孤子振幅和寬度的調控.

4 外勢與非均勻泵浦對孤子的影響及其調控

為厘清PT對稱外勢與非均勻泵浦之間的競爭關系,本節將詳細討論外勢與非均勻泵浦對孤子類型以及孤子穩定性的影響,仔細探究外勢對孤子的調控.

4.1 外勢與非均勻泵浦對孤子及其穩定性的影響

本小節討論外勢與非均勻泵浦對孤子的影響.第3 節中,通過改變非均勻泵浦強度σ8可獲得多種類型暗孤子以及亮孤子.為了獲得更豐富的結果,同時改變參數σ8與W,獲得了多種類型的孤子,并研究了它們的穩定性.

圖5(a)給出了各種類型孤子在參數W與σ8區域的分布圖.當σ8＞0 時,為激發零背景上的孤子并平衡增益耗散,選3.3 節所用參數.在σ8＜0時,為激發均勻背景上的暗孤子,選3.1 節所用參數.圖5(a)給出7 類孤子,第3 節給出了分布在區域III,IV 和σ8=0 的3 種孤子.通過線性穩定性分析結合數值演化,圖5(b)界定了這7 種孤子的穩定區域,其中紅線左側為穩定區域.當取圖5(a)和圖5(b)中點c—h 對應參數時,在圖5(c)—(h)中給出了孤子的演化結果.圖5(c)所示為分布在區域I 中的穩定零背景偶極暗孤子的演化結果,從相位圖中可以發現該孤子中存在兩次相位躍遷.圖5(d)給出了分布在區域II 中的穩定零背景(單極)暗孤子的演化結果,存在一次相位躍遷.圖5(e)是分布在區域V 中的穩定對稱破缺暗孤子的演化結果.可以看到,孤子的能量主要集中在右側,與PT對稱外勢虛部的增益區一致,且存在一次相位躍遷.雖然此時非相干泵浦強度σ8不大,但是較大的W是孤子對稱性發生破缺的主要原因,據我們所知,這類對稱破缺暗孤子[3,5,54,56]還未被報道.圖5(f)給出了分布在區域VI 中的穩定單極暗孤子的演化結果,這類暗孤子是最經典的暗孤子,也被稱為黑孤子.圖5(g)和圖5(h)給出兩類不穩定孤子的演化結果.可以發現,隨著時間增長,暗孤子的輪廓變形明顯,相位躍遷的特征消失.

圖5 孤子類型與孤子穩定區域分布圖 (a) 7 種孤子在參數W 與 σ8 區域的分布圖;(b) 穩定孤子在參數W 與 σ8 區域的分布圖;(c)—(h) 圖 (a),(b) 中字母c—h 相應的不同參數所對應孤子的演化結果,圖中,左側是演化結果的投影,右側是特定時刻s 孤子輪廓和相位的演化結果Fig.5.Phase diagram for soliton types and stability: (a) Phase diagram of seven types of solitons as the functions of W and σ8 ;(b) phase diagram of stability regions for seven types of solitons;(c)—(h) projections and profiles of the evolution results of solitons marked by the letter c—h in the panels (a) and (b) respectively.In the left panels,the projections of the evolution are shown.The profiles and phases of evolution at the special time s marked by the green line of the left panels are shown in the right panels.

由以上結果可知,可以通過調節非均勻泵浦強度與外勢虛部得到多種類型孤子,包括零背景亮、暗孤子,均勻背景的多極對稱、對稱破缺孤子,這些孤子的穩定性受外勢虛部的影響較大.整體而言,外勢虛部的增大不利于孤子的穩定性.

4.2 PT 對稱外勢對孤子的調控

求解過程中不僅找到了多種穩定的對稱破缺孤子,而且還發現對稱破缺孤子的空間分布完全依賴于PT對稱外勢虛部的空間分布,即孤子的分布依賴于外勢的增益耗散區域的空間分布.如果實時調控PT對稱外勢的分布,勢必會引起孤子空間分布的變化,從而達到操控孤子的目的,這為我們操控孤子提供了一種新思路.

對于穩定的對稱破缺孤子,只需要對PT對稱外勢的虛部進行空間上的反轉,即進行W=W·(-1)round(s/400)的操作(round 是一個取整函數),就可實現對孤子的控制.實驗上對應于每 218 ns(相當于s=400)對PT對稱外勢進行一次對稱翻轉,即W變成-W.圖6 給出了操控3 類對稱破缺暗孤子的結果.圖6(a)為取W=0.4,σ8=-0.5時暗孤子的演化圖,可發現孤子輪廓隨著外勢變化迅速翻轉,響應時間在ns 量級,同時相位躍遷的特征始終保持.圖6(b)給出取W=0.52,σ8=-0.13時對稱破缺孤子的演化.圖6(c)給出取W=0.1,σ8=-0.5時對稱破缺偶極暗孤子的演化.

圖6 調控外勢虛部時對稱破缺孤子的演化結果 (a)W=0.4,σ8=-0.5 時暗孤子的演化結果;(b)W=0.52,σ8=-0.13 時暗孤子的演化結果;(c)ξ0=3,W=0.1,σ8=-0.5時暗孤子的演化結果Fig.6.Evolution results of symmetry breaking solitons by controlling the imaginary part of PT potential: (a) The evolution results of dark soliton with W=0.4,σ8=-0.5 ;(b) the evolution results of dark soliton with W=0.52,σ8=-0.13;(c) the evolution results of dark soliton with ξ0=3,W=0.1,σ8=-0.5.

從以上結果可知,可以通過調制PT對稱外勢的虛部,達到操控對稱破缺孤子的目的,進而實現極化子BEC 在全光開關等光信息處理方面的應用.

5 結論

本文通過引入由常數與高斯函數構成的復合泵浦和PT對稱外勢,設計了一維非相干泵浦激子極化凝聚體系統滿足的PT對稱模型.首先在弱非線性效應情況下,通過分析線性譜的特征,給出了體系的PT對稱相變點.在正常非線性效應情況下,通過調節泵浦和PT對稱外勢虛部,找到了零背景的亮孤子、零背景的多極暗孤子、非零背景的多極對稱暗孤子和對稱破缺暗孤子、非零背景的凹陷和凸起等類型暗孤子,并利用線性穩定性分析和演化的方法討論了它們的穩定性.通過分析孤子的輪廓與穩定性,進一步給出了不同類型孤子以非均勻泵浦強度和外勢虛部作為參數的分布區域與穩定區域.最后,借助對稱破缺孤子對PT對稱外勢虛部空間分布的依賴,通過調制PT對稱外勢的虛部,達到了操控對稱破缺孤子的目的,為實現極化子BEC 在全光開關等光信息處理方面的應用奠定了基礎.本文提出的結果將有助于理解非平衡凝聚體系統的物理性質,指導PT對稱極化子BEC 體系中孤子的實驗研究,挖掘極化子BEC在量子信息存儲和處理方面的潛在應用價值.