高階色散下雙耦合微腔中克爾光頻梳的穩定性和非線性動力學分析*

許凡 趙妍 吳宇航 王文馳 金雪瑩

(合肥工業大學儀器科學與光電工程學院,測量理論與精密儀器安徽省重點實驗室,合肥 230009)

在考慮光學微腔中高階色散效應的情況下,以耦合非線性薛定諤方程為理論模型,研究了高階色散作用下雙耦合微腔內克爾光頻梳的穩定性和非線性動力學,并討論了各階色散參數對腔內光場演化和光譜特性的影響.理論分析結果表明,三階色散的加入使得參量空間的穩定域擴大,周期性變化的呼吸孤子態和混沌態轉變為穩定的亮孤子態.此外,各高階色散項及其組合對光頻梳的光譜特性包括最大失諧、腔內脈沖峰值功率、色散波頻譜位置等有顯著影響.具體地,三階色散和正四階色散能夠展寬光譜,增強色散波;而負四階色散抑制色散波產生,得到對稱的孤子頻率梳;五階色散可以調控光孤子的漂移方向和速度.理論研究結果對于雙耦合微腔實驗中的色散調控及設計、穩定性研究具有重要價值.

1 引言

基于光學微腔的克爾光頻梳憑借其跨倍頻程寬光譜、高重復頻率、低功耗和高集成度等優點,在光鐘[1]、高速通信[2]、超快距離測量[3]、雙光梳光譜[4]等領域具有廣泛的應用價值.回音壁模式光學微腔因其具有超高品質因子(Q值)和極小模式體積,使得腔內具有極高的能量密度,從而能夠在低閾值下激發級聯四波混頻效應,將泵浦光場轉移到鄰近的模式中,形成一系列寬帶的梳狀光譜[5].目前,國內外很多研究小組開展了關于微腔光頻梳的研究,已經對腔內不同狀態的光場進行了理論和實驗上的驗證,如孤子態、圖靈環態、呼吸孤子態和混沌態等[6-8].其中,時域孤子的穩定產生取決于克爾非線性與色散、增益與損耗之間的雙平衡[9].具體來說,克爾非線性效應不僅使腔內產生了新的頻率分量,還會使光場出現啁啾,而脈沖寬度保持不變.微腔內色散的存在會使得脈沖出現時域展寬現象,但不會產生新的頻率分量.當色散和克爾非線性效應造成的時域啁啾相互抵消時,形成了一個平衡,這使脈沖形狀不會隨時間發生改變.參量增益為泵浦的激勵能量,而損耗包含腔內線性損耗、能量耦合損耗等各種形式損耗.在增益和損耗作用下,腔內能量隨著演化時間更迭最終達到平穩狀態,這形成了又一個平衡,其決定了腔內峰值功率.當克爾微腔中同時滿足以上兩個平衡條件時,腔內會形成耗散穩態單孤子.單孤子態對應的高相干度的平滑包絡光頻梳,對于精密光譜、低相位噪聲微波產生具有重要意義.此外,研究發現,雙耦合微腔中可以產生耗散性孤子,并表現出單腔所不具有的非線性現象[10],如超模孤子的產生和孤子跳躍.其中,對于超模孤子而言,在對稱超級模和反對稱超級模中光孤子的形成差異較大.并且在耦合微腔系統中,橫模耦合導致的模式反交疊得到明顯抑制[11].在跨倍頻程克爾光頻梳的研究中,當二階色散接近于微腔器件零色散點附近時,高階色散將對光場演化起到主導作用,其影響不能被忽略.高階色散的存在影響腔內光孤子演化和光譜特性,一般可通過調控微腔幾何形狀 (如調控微環腔橫截面的長寬比) 從而控制高階色散的大小.Kippenberg 等[9]發現調控微腔色散能夠調節調制不穩定態的增益,從而優化光頻梳光譜.Brasch 等[12]通過在近零色散點泵浦可以產生高效的切倫科夫輻射,進而展寬光頻梳光譜.Parra-Rivas 等[13]利用三階色散穩定克爾光頻梳.Okawachi 等[14]研究了四階色散對于光頻梳光譜帶寬的影響.Cherenkov 等[15]研究了孤子與色散波之間的相互作用,證明了色散波的形成會導致孤子光譜包絡的移動,其產生有利于將光頻梳的擴大至正色散區.

針對微腔內光孤子產生過程中能量轉化效率低的問題,Xue 等[16]提出了一種新型的雙耦合微腔結構,通過雙微腔耦合的方式,能夠打破傳統單個微腔的轉化效率極限,實現近100%的泵浦-光孤子的能量轉換效率.此外,雙耦合微腔與單個微腔相比具有更多的可調參數和穩定的光場[17].目前,關于雙耦合光學微腔的研究工作還比較局限.已有學者研究了微腔中的混沌現象[18],討論了雙耦合微腔內的光譜特性以及可調諧參數的影響[19],但是對于雙耦合微腔內的研究,沒有考慮到高階色散的影響.關于三階色散以及更高階色散對于耦合微腔內克爾光頻梳工作狀態的激發和穩定性的影響,缺乏相關詳細研究.

本文以雙耦合微腔結構內的耦合非線性薛定諤方程為理論模型,詳細研究了在耦合微腔中不同階高階色散及其組合對于克爾光頻梳的穩定性、光場演化以及光譜特性的影響.理論研究表明,三階色散項使得參量空間的穩定域擴大,能夠抑制克爾光頻梳的不穩定態,如呼吸孤子、混沌態,形成穩定的單孤子態.討論了高階色散的穩定機制.高階色散會影響克爾光頻梳的光譜特性和光譜包絡形態,三階色散和正四階色散項可以激發并增強色散波,而負四階色散項會抑制色散波的產生.有趣的是,五階色散項可調控光孤子的漂移方向及速度.因此,為得到精確的克爾光頻梳包絡,應該考慮高階色散的影響.最后,研究了泵浦功率對于色散波輻射頻率的影響.

2 理論模型與計算方法

本文所研究的回音壁模式雙微腔耦合系統如圖1 所示,該結構包含兩個耦合的微腔,其中一個微腔能夠支持克爾孤子,稱為孤子腔;另一個微腔用于傳遞泵浦光能量至孤子腔,稱為泵浦腔.泵浦光經波導耦合到泵浦腔中,兩個微腔之間通過倏逝場耦合,耦合強度通過兩微腔的耦合間距控制,最終光場從孤子腔的下路耦合端口(D)輸出[19].孤子腔和泵浦腔中的光場分別用E1和E2表示,則兩個微腔中的光場可以用耦合非線性薛定諤方程[16]來描述,其中包含高階色散項:

圖1 雙耦合光學微腔結構Fig.1.Structure of dual-coupled optical microcavities.

透射端口(T)和下路耦合端口(D)的輸出光場可以表示為

這里,z表示光在微腔中傳播的距離;τ是光場傳播的快時間,對應于微腔的角位置;αi1和αi2是微腔內單位長度的本征損耗;αc1和αc2是微腔內單位長度的耦合損耗,αc1=θ1/(2L),αc2=θ2/(2L),其中θ1和θ2分別代表兩個微腔與輸出波導和輸入波導之間的耦合系數;δ1和δ2為兩個微腔的諧振頻率和泵浦頻率之間的失諧;kp,kd分別為孤子腔和泵浦腔單位長度的耦合效率,κp=,κd=;L是孤子腔的腔長;Δk′為群速度失配;k1m和k2m分別表示微腔1 和微腔2 的m階色散系數;γ1和γ2為非線性系數,與微腔的材料有關;κ12=κ21=,θ12=θ21為兩個微腔之間的耦合系數;Pin為泵浦光的功率,Ein=.光在微腔內循環一周的時間用tR表示,微腔的自由光譜范圍 (FSR) 定義為νFSR=1/tR,表示微腔光頻梳梳齒之間的間隔.采用相對色散系數d13,d14,d15分別表示孤子腔的三階、四階、五階色散,其表達式為[20]

采用分步傅里葉算法[21]求解耦合非線性薛定諤方程(1)和(2),模型計算時間長度為tR1=5 ps,tR1表示光在孤子腔內循環一周的時間,通過選擇取樣點數為27,單步傳輸時間為tR1/128,得到兩個微腔內光場分布和光譜隨時間的演化,在接近60000tR后光場會呈穩定狀態.結合(3)式和(4)式可以得到耦合微環腔D 端口的輸出光場以及T 端口的透射譜.具體地,求解時將方程分解為線性項、非線性項和泵浦項,將泵浦項合并入線性項,在頻域求解;在時域求解非線性項.

3 理論結果與分析

3.1 各階色散對孤子的穩定性分析

以Si 為基底的Si3N4雙耦合微腔的各項參數設為:γ1=γ2=1 m—1·W—1,δ2=8.089 m—1,Δk′=1.282×10—10s·m—1,θ1=9.114×10—3,θ2=1.063×10—2,θ12=θ21=3.038×10—3,k12=—100 ps2/km,k22=100 ps2/km,L=1.499 mm.此外,耦合的兩個微腔的FSR 分別為:νFSR1=200 GHz,νFSR2=192.6 GHz;失諧參量δ1,2=2π·Δf1,2/(νFSR1,2L),其中Δf1,2為泵浦與兩個微腔諧振頻率之間的頻率失諧量,可以通過調節泵浦光頻率或調節光學微腔諧振頻率來調控Δf1,2,后者可以采用熱調諧[22]或機械調諧方法[23]實現.孤子腔(腔1)設為反常色散,能夠支持孤子態光場;而泵浦腔(腔2)設為正常色散從而抑制調制不穩定性,為孤子腔提供能量支持.腔內初始光場由調制不穩定性產生,因此可設定其符合高斯分布.由(4)式可知,雙耦合微腔結構中克爾孤子在孤子腔內產生和輸出,而泵浦腔僅用于提供孤子腔的泵浦能量,因此本文重點討論孤子腔內的光場分布和光譜特性.

首先研究三階色散對光場的穩定作用.圖2(a)和圖3(a)分別展示了僅考慮二階色散(d13=0)時,D 端口輸出光場呈現的呼吸孤子和混沌狀態的時域演化圖,對應的光譜圖如圖2(c)和圖3(c)所示.兩種狀態僅泵浦功率和失諧參數不同,仿真參數具體為: 呼吸孤子δ1=95 m—1,Pin=14 W,k12=—100 ps2/km;混沌狀態δ1=110 m—1,Pin=160 W,k12=—100 ps2/km.從圖2(a)可看出,僅包含二階色散時,光場呈現隨時間周期性振蕩的呼吸孤子狀態;當三階色散足夠大(d13=—0.0537)時,呼吸孤子狀態轉變為穩定的孤子態 (圖2(b)).類似地,如圖3(a)和圖3(b)所示,當僅包含二階色散時,輸出光場呈混沌狀態;當三階色散相對系數d13=—0.0537 時,光場由混沌狀態轉變為穩定孤子態.這表明,當三階色散足夠大時,微腔的動態不穩定性得到完全抑制,使得輸出光場由不穩定的時域振蕩態或混沌態轉變為穩定的孤子態.由圖2(d)和圖3(d)可以看出,盡管孤子的位置存在等速的時域漂移,但其梳狀光譜始終保持穩定.三階色散的加入破壞了腔內的反射對稱性(τ→-τ),從而導致光場在時域和光譜上的不對稱性,而這種不對稱性是產生孤子時域漂移的原因[13,24].此外還可以看出,孤子頻梳的載波包絡中心相對于泵浦頻率產生了一定的偏移,這是由色散波產生的光譜反沖導致的[25,26].

圖2 三階色散對孤子腔內周期振蕩的呼吸孤子態的影響 (a),(c) 僅包含二階色散時呼吸孤子態的(a)時域演化圖和(c)光譜演化圖;(b),(d) 當加入三階色散后,腔內呈現的穩定單孤子態的(b)時域演化圖和(d)光譜演化圖.子圖頂部為t=3000 ns 時對應的時域光場/光譜分布Fig.2.Effect of third-order dispersion on periodically oscillating breathing soliton states in a soliton cavity: (a),(c) Without thirdorder dispersion,the evolution of the temporal intensity profile (a) of breathers states and the corresponding comb spectrum (c);(b),(d) with third-order dispersion,the evolution of the temporal intensity profile (b) of soliton state and the corresponding comb spectrum (d).Temporal profile/comb spectrum at t=3000 ns are shown on the top of each panel.

為了驗證三階色散對腔內光場穩定作用的普適性,分析了針對不同三階色散值腔內光場在整個參量空間(δ1,Pin)中的穩定性,結果如圖4 所示.(1)式齊次穩態解定義為E1h(homogeneous steady state,HSS),P1h=|E1h|2,由(5)式計算得到:

其中,P1=|E1|2,P2=|E2|2,α1=αi1+αc1,α2=αi2+αc2.當失諧量δ1＞時,腔內光場呈現雙穩態,穩態解存在域可由(5)式推出[16],如圖4中綠色虛線區域所示,可以看出HSS 存在域與三階色散相對系數(d13)無關.在穩態解存在域HSS中會出現穩定孤子域、時域振蕩域和混沌域這3 種狀態[27],在圖4 中用藍色實線表示,整個孤子存在域隨三階色散值的增加呈縮小趨勢,藍色實線外為連續波(continuous wave,CW)狀態.區域I 對應穩定的孤子態;區域II 對應隨時間周期振蕩變化的呼吸孤子態;增加失諧,腔內孤子時間演化導致混沌態的產生,即為區域III.圖4 展示了三階色散大小與3 種孤子存在狀態及其穩定性的關系,其中k12=—80 ps2/km.當不考慮三階色散項的情況下,這3 種狀態在參量空間的分布較為均勻;隨著三階色散的增加,混沌域III 不斷縮小且向失諧更大處移動,呼吸孤子域II 也逐漸縮小,并向功率更大處移動,而穩定孤子域I 不斷擴大.當三階色散系數增大至d13=—0.0938 時,時域振蕩域和孤子域只有在δ1＞16 GHz,Pin＞4.5 W 很小的參量空間范圍內才存在.這證實了圖2 和圖3 中三階色散對于腔內孤子和梳狀光譜的穩定作用在整個參量空間(δ1,Pin)中是有效的.

圖3 三階色散對混沌態的影響 (a),(c) 僅包含二階色散時,腔內呈現振蕩的呼吸孤子態(a)的時域演化和(c)光譜演化圖;(b),(d) 當加入三階色散后,腔內呈現的穩定單孤子態的(b)時域演化圖和(d)光譜演化圖.子圖頂部為t=3000 ns 時對應的時域光場/光譜分布Fig.3.Effect of third-order dispersion on chaos: (a),(c) Without third-order dispersion,the evolution of the temporal intensity profile (a) of chaos states and the corresponding comb spectrum (c);(b),(d) with third-order dispersion,the evolution of the temporal intensity profile (b) of soliton state and the corresponding comb spectrum (d).Temporal profile/comb spectrum at t=3000 ns are shown on the top of each panel.

圖4 三階色散系數對光場穩定性和孤子存在狀態的影響 (a) d13=0;(b) d13=—0.0563;(c) d13=—0.0938.I,穩定孤子域(包含單孤子態和雙孤子態);II,時域振蕩域(呼吸孤子態);III,混沌域;Ⅳ,連續波域Fig.4.Influence of different third-order dispersion coefficients on the stability region and soliton state: (a) d13=0;(b) d13=—0.0563;(c) d13=—0.0938.I,stable soliton region (including single soliton and multi soliton);II,time domain oscillation domain(breathers soliton);III,chaotic domain;Ⅳ,continuous wave domain.

3.2 各階色散及其組合對光譜特性的影響

高階色散的存在會導致色散波的產生,從而造成光頻梳的頻譜特性發生變化,并且影響腔內孤子峰值功率.這部分研究不同階色散及其組合對光頻梳光譜特性參數的影響.首先研究三階色散對腔內光場產生的影響,具體的仿真參數為δ1=120 m—1,Pin=10 W,k12=—20 ps2/km,d13=—0.7506.其中,圖5(a)和圖5(c)分別展示了腔內光場分布和時域演化,圖5(b)和圖5(d)展示了腔內光譜和光譜演化圖.從圖5(a)可以看出,相較于僅考慮二階色散的情況,三階色散的存在使得孤子的時域形狀變成非對稱形態,一端帶有振蕩的輻射尾,孤子發生時域漂移,其傳播速度改變.這種擾動的孤子態對應非對稱的克爾光譜,如圖5(b)和圖5(d)所示,在孤子載波頻率的藍端約8.512 THz 處產生了一個光譜包絡的極大值點,即色散波,該色散波對應于克爾光頻梳功率和相位的跳變,是三階色散誘導切倫科夫輻射的結果.色散波的光譜位置wd可以通過相位匹配條件計算得到,后文將展開討論.

其次,研究四階色散對耦合雙環系統內光場分布和光譜特性的影響.在三階色散的基礎上,設置參量d13=—0.7506,d14=3.8×10—3(正四階色散)/d14=—3.8×10—3(負四階色散),并給出了正/負四階色散的仿真結果,分別見圖6 和圖7.比較圖5(b)與圖6(b),可以發現包含正四階色散項的梳狀光譜色散波更加明顯,功率得到了加強,正四階色散的存在增強了色散波.而負四階色散的情況則有所不同,與圖5(b)相比較,圖7(b)中的色散波受到了明顯的抑制,表明負四階色散能夠抑制色散波的產生.同時,比較圖5(c)和圖6(c)可以看出,圖6(c)所展示的腔內孤子漂移速度更慢.這可能是因為正四階色散的存在改變了色散波的角頻率,從而導致孤子漂移速度減小[28].需要注意的是,正四階色散同時增強了光譜的長波長和短波長分量,提高了光頻梳的帶寬.另一方面,可以利用四階色散改善孤子腔內克爾光頻梳的光譜,從而得到更符合實際的克爾光頻梳光譜包絡.

圖5 三階色散對耦合微環腔內光場分布和光譜演化的影響 (a) t=5000 ns 時腔內的光場分布;(b) t=5000 ns 時腔內光譜圖;(c) 孤子的時域演化圖;(d) 孤子的光譜演化圖Fig.5.Influence of third-order dispersion on the optical field and spectrum of coupled micro-ring resonators: (a) Optical field distribution in the cavity at t=5000 ns;(b) intracavity optical spectrum at t=5000 ns;(c) temporal evolution of solitons;(d) optical spectrum evolution of solitons.

圖6 正四階色散對耦合微腔光頻梳的色散波增強作用 (a) t=5000 ns,腔內的光場分布;(b) t=5000 ns,腔內光譜圖;(c) 孤子的時域演化圖;(d) 孤子的光譜演化圖Fig.6.Impact of positive fourth-order dispersion on comb in coupled microcavities: (a) Optical field distribution in the cavity at t=5000 ns;(b) intracavity optical spectrum at t=5000 ns;(c) temporal evolution of solitons;(d) optical spectrum evolution of solitons.

圖7 負四階色散對梳狀光譜色散波的抑制作用 (a) t=5000 ns,腔內的光場分布;(b) t=5000 ns,腔內光譜圖;(c) 孤子的時域演化圖;(d) 孤子的光譜演化圖Fig.7.Suppression of dispersion waves of comb spectrum by negative fourth-order dispersion: (a) Optical field distribution in the cavity at t=5000 ns;(b) intracavity optical spectrum at t=5000 ns;(c) temporal evolution of solitons;(d) optical spectrum evolution of solitons.

圖8 展示了五階色散對雙耦合微環腔內光場及光譜演化的影響,在負四階色散的基礎上,設置參量d15=7.6108×10—4.可見,五階色散改變了孤子的漂移方向,與僅考慮三階色散和四階色散的情況相比,漂移速度變慢.值得注意的是正五階色散能在孤子載波頻率的紅端產生色散波,如圖8(b)和圖8(d)所示.進一步,我們發現五階色散參數的變化能夠調控微腔孤子漂移的方向和速度,如圖9所示,仿真參數為δ1=120 m—1,Pin=10 W,k12=—20 ps2/km,d13=—0.7506,d14=—3.8×10—3.為了定量表示孤子漂移速度的改變,本文定義孤子漂移速度V為光孤子脈沖在腔內位置的變化量與光場演化時間的比值,并研究腔內孤子漂移速度隨五階色散參數變化的定量關系.圖10 展示了三階色散和四階色散相對系數保持不變的情況下,五階色散相對系數d15從3.0443×10—4(圖9(a))增大到4.5665×10—4(圖9(c))的過程中,腔內孤子漂移方向的變化情況以及漂移速度大小的改變情況.從圖10 可看出,當d15從3.0443×10—4逐漸增長到3.6532×10—4時,孤子漂移方向向左,漂移速度大小逐漸減緩;當d15=3.6532×10—4時,孤子幾乎不發生漂移,其漂移速度十分接近0.d15從3.6532×10—4增長到4.5665×10—4過程中,孤子漂移速度逐漸變快并且漂移方向改變為向右漂移.這意味著我們可以通過控制微腔五階色散的大小調控光孤子漂移的速度和方向,比如在三階色散較大的情況下,通過調控五階色散大小能夠產生不發生時域漂移的孤子.這一結果對于腔內孤子的漂移方向、漂移速度以及孤子時域位置的精確調控有潛在價值.

圖8 五階色散對耦合微腔光頻梳的影響 (a) t=5000 ns 時腔內的光場分布;(b) t=5000 ns 時腔內光譜圖;(c) 孤子的時域演化圖;(d) 孤子的光譜演化圖Fig.8.Impact of positive fifth-order dispersion on comb in coupled microcavities: (a) Intracavity field distribution in the cavity at t=5000 ns;(b) intracavity optical spectrum at t=5000 ns;(c) temporal evolution of solitons;(d) optical spectrum evolution of solitons.

圖9 五階色散對孤子漂移方向的控制作用 (a)—(c) t=5000 ns 時,d15=3.0443×10—4 (a),3.6532×10—4 (b),4.5665×10—4 (c)條件下腔內光場分布;(d)—(f) 與圖(a)—(c)對應的時域演化圖和孤子漂移Fig.9.Control of soliton drift direction by fifth-order dispersion: (a)—(c) Intracavity field distribution of soliton at t=5000 ns and d15=(a) 3.0443×10—4,(b) 3.6532×10—4,(c) 4.5665×10—4;(d)—(f) corresponding temporal evolution and soliton drift of panel (a)—(c).

圖10 五階色散相對系數d15 對孤子漂移速度的影響Fig.10.Effect of the fifth-order dispersion relative coefficient d15 on the soliton drift velocity.

考慮到在三階色散作用下腔內光梳能夠激發色散波,使得腔內孤子發生漂移如圖5(b)和圖5(c)所示,分析了三階色散和五階色散使得孤子發生漂移的情形,并對比了兩種色散的作用.圖5 中三階色散使得孤子向左漂移,在仿真過程中,尚未觀察到調控三階色散使得孤子向右漂移的現象,這與單腔耦合系統的結果不同,可能是由雙微腔模式耦合導致的自發對稱性破缺導致的結果.而圖9 中五階色散對于孤子漂移的調控可以使得孤子向左、向右甚至不發生漂移,這種調控作用是建立在三階色散基礎上,其適用在形狀等因素限制下使得三階色散值無法發生較大改變時的情形.在微腔孤子時域演化方面,三階色散和五階色散均能夠對孤子漂移造成影響.但三階色散對孤子漂移的影響程度大于五階色散,因此五階色散可以適用于三階色散值不能大幅改變情況下精細調控孤子的漂移方向與速度.此外,對于腔內光頻梳演化而言,三階色散的存在能夠擴大其穩定域,使得呼吸子與混沌穩定為孤子狀態.在頻率域,負三階色散的引入,會誘導切倫科夫輻射打破局部結構的對稱性,再激發色散波.而正五階色散的加入可以改變色散波的位置.總體來說,所有的高階色散共同修飾了色散曲線包絡并直接導致了不同色散波位置,最終影響了頻率梳的光譜包絡.

在實際微腔系統中,通常的情況是二階色散和四階色散并存,因此接下來研究二階色散與四階色散的競爭作用對光頻梳光譜的影響,仿真參數為δ1=120 m—1,Pin=10 W,k12=—60 ps2/km,d14=—2.817×10—6.圖11(a)—(c)展示了僅包含負二階色散的情況下孤子腔內的光場、梳狀光譜及時域演化圖,圖11(d)—(f)展示了僅包含負四階色散的情況,而圖11(g)和圖11(h)展示了二階色散和四階色散共同作用的情況.可以看出,對于上述3 種群速色散情況均可以觀察到穩定的鎖?？藸柟忸l梳.通過監測脈沖在腔內振蕩數萬圈后保持其形狀不變確認其實現鎖模態,即腔內光場脈沖的寬度和峰值功率不隨時間振蕩,且光譜保持穩定(見圖11(c),(f),(i)).二階色散和四階色散的競爭產生了功率相近、頻譜包絡不同的克爾光梳.由于采用了負四階色散,和正四階色散不同,它會抑制色散波產生和頻率漂移,從而得到對稱的克爾孤子頻梳.負二階色散對應的光譜大約在60 THz 頻譜范圍內梳齒功率較為一致,梳齒功率隨波長變化不大,呈現“平頂”光譜,如圖11(b)所示;而負四階色散產生的光譜隨著其遠離泵浦頻率功率衰減較嚴重,表現出“鼓形”光譜如圖11(e)所示;當兩種色散成分共存時,由于二階色散和四階色散的競爭效應,產生光譜包絡如圖11(h)所示,相比于圖11(e),其幅度值大小明顯下降,幅度變化趨勢較接近“鼓形”光譜,不同于圖11(b)所呈現的“平頂”光譜.

圖11 二階色散與四階色散的競爭作用對光梳光譜的影響 (a)—(c) 僅含有二階色散時腔內光場(a)、光譜(b)和時域(c)演化圖;(d)—(f) 僅含有四階色散時腔內光場(d)、光譜(e)和時域(f)演化圖;(g)—(i) 二階和四階共同作用下腔內光場(g)、光譜(h)和時域(i)演化圖Fig.11.Influence of the competition between second-order and fourth-order dispersion on comb spectra: (a)—(c) Intracavity optical field (a),spectrum (b) and time domain (c) with second-order dispersion;(d)—(f) intracavity optical field (d),spectrum (e) and time domain (f) with fourth-order dispersion;(g)—(i) intracavity optical field (g),spectrum (h) and time domain (i) with second-order and fourth-order dispersion.

根據前面的分析,各高階色散對孤子腔內光頻梳的色散波頻譜位置、色散波強度有不同影響,而在實際微腔系統中通常是各階色散組合的情況,因此下面研究不同階高階色散項組合對于光頻梳光譜特性的影響.圖12 展示了高階色散組合情況下,在最大泵浦失諧處的相位匹配曲線和腔內梳狀光譜.這里我們利用相位匹配參數Δδ來表征光頻梳的生成,

其中,γ為泵浦模式的線寬,P1s為腔1 內孤子的峰值功率,wd為色散波頻率,ws為孤子的載波頻率.(6)式的相位匹配條件與高階色散作用下色散波的產生過程相對應,因為孤子受到高階色散作用下,會將一部分能量轉移到特定頻率的色散波中,這個特定頻率由相位匹配條件決定,該相位匹配條件要求色散波與孤子的相速度相同.圖12(a)和圖12(c)分別展示了考慮二階、三階和四階色散的相位匹配曲線和對應的梳狀光譜,參數設為:δ1=120 m—1,Pin=10 W,k12=—20 ps2/km,d13=—0.0113,d14=2.535×10—5.可以看出,圖12(a)中的相位匹配點與圖12(c)中色散波形成的頻譜位置匹配良好.在這3 階色散的共同作用下,在載波頻率的藍端產生了較強的色散波,可能源于正四階色散對色散波的增強作用.圖12(b)和圖12(d)展示了考慮二階到五階色散時的相位匹配曲線,這里采用負四階色散,參數設為:d13=—0.1126,d14=—8.4502×10—7,d15=4.5665×10—5(其余參數保持不變).同樣地,其相位匹配點與色散波的產生頻譜位置匹配.與僅考慮二階、三階和四階色散情況不同的是,其色散波產生于載波頻率的紅端.根據圖8 的結果和討論,正五階色散會在孤子載頻的紅端產生色散波,其遠離載波頻率,且功率低[29],因此此處激發的色散波在光梳載波頻率的紅端[30].這表明考慮d14和d15等高階色散項對于寬光譜光頻梳的光譜特性,特別是色散波的頻譜位置有重要影響.

圖12 各高階色散組合對光頻梳光譜的影響 (a) 包含二階、三階和四階色散的相位匹配曲線;(b) 包含二階到五階色散的相位匹配曲線;(c),(d)與(a),(b)色散波位置對應的光譜圖Fig.12.Influence of combined high-order dispersion on spectral characteristics: (a) Phase matching curve of second,third and fourth order dispersion;(b) phase matching curve of 2nd—5th order dispersion;(c),(d) spectrogram corresponding to dispersion wave position in (a),(b).

3.3 高階色散對光譜特性的影響

接下來,定量分析高階色散對光頻梳光譜特性參數的影響.圖13 展示了考慮二階和三階色散以及考慮二階、三階和四階色散兩種情況下孤子最大失諧δmax和腔內峰值功率與泵浦功率Pin之間的關系,色散參數設為:k12=—80 ps2/km,d13=—0.1876,d14=3.1688×10—4.通過對Pin與該功率下穩定孤子態的最大失諧δmax進行線性擬合,可以看出,δmax隨Pin的增加呈線性增加,且在包含四階色散項以及不包含四階色散項這兩種情況下都能很好地滿足線性關系,如圖13(a)和圖13(b)所示;圖13(c)和圖13(d)展示了腔內孤子峰值功率P1s與Pin的關系.可以發現,當Pin＜300 W 時,其隨Pin的增加基本呈線性增長趨勢;而當Pin＞300 W 后,圖13(c)中腔內峰值功率增加變緩,并逐漸趨于平穩,并偏離擬合直線.在四階色散的作用下,盡管當Pin較低時,圖13(d)腔內峰值功率(226 W)比圖13(c) (225 W)略高,但隨著輸入Pin的增大,在Pin=375 W 時,圖13(d)腔內峰值功率(235.5 W)卻要低于圖13(c)中腔內峰值功率(237.0 W).這可能因為輸入Pin被轉換成孤子和色散波的能量,當Pin增大時,輻射的色散波功率也增大,且色散波功率與孤子功率的比例增大,使得孤子的峰值功率低于理想的預測值,這解釋了圖13(c)和圖13(d)中腔內峰值功率曲線隨著Pin的增大斜率逐漸變小.此外,正四階色散會增強色散波,造成色散波功率與孤子功率的比例相比僅考慮二階和三階色散的情況進一步增大,從而使得圖13(d)中的腔內峰值功率曲線斜率總體上要小于圖13(d)中腔內峰值功率曲線斜率,這也是源于色散波對光頻梳光譜產生的影響.

圖13 各階色散組合對光譜特性的影響 (a) 包含二階和三階色散時δmax 與Pin 的關系;(b) 包含二階、三階和四階色散時δmax 與Pin 的關系;(c) 包含二階和三階色散時腔內峰值功率與Pin 的關系;(d) 包含二階、三階和四階色散時腔內峰值功率與Pin 的關系Fig.13.Effect of various dispersion combinations on spectral characteristics: (a) Relationship between δmax and Pin with second and third order dispersion;(b) relationship between δmax and Pin with second,third and fourth order dispersion;(c) relationship between peak power in cavity and with second and third order dispersion;(d) relationship between peak power in cavity and Pin with second,third and fourth order dispersion.

最后討論泵浦功率對色散波位置的影響.在單個微腔內,由高階色散誘導的切倫科夫輻射引起了光譜中色散波的產生,其頻譜位置與泵浦功率有關[19],下面證明這一效應在耦合微腔系統中也存在,并研究頻移大小與高階色散項的關系.圖14(a)展示了考慮二階和三階色散、二階到四階色散和二階到五階色散情況下仿真得到的色散波頻譜位置隨泵浦功率的移動.分別對不同情況下仿真得到的色散波位置進行線性擬合(仿真色散參數設為d13=—0.7506,d14=5.1×10—3),得到如圖14(a)所示的紅色(二階和三階)、藍色(二階到四階)和黑色直線(二階到五階).從圖14(a)可知,隨著Pin的增加,色散波頻率wd向長波長方向移動,這一趨勢也可以從(6)式中看出.在僅考慮二階和三階色散情況下,隨Pin的增加,色散波頻譜位置的減小并不明顯;加入四階色散項后,由于正四階色散對色散波的促進作用,色散波頻譜位置產生了較大的移動,如圖藍線所示,當Pin從5 W 增加到34 W 時,wd從203.8 THz 移動到192.5 THz;而在二階到五階色散存在的情況下,色散波的頻譜位置隨Pin增加產生了更大的頻移,當Pin從7 W 增加到32 W 時,wd從167.9 THz 移動到154.8 THz.仿真結果表明,色散波頻譜位置隨Pin的增加向長波長方向移動,且頻移大小與高階色散項的階數有關.此外,隨著Pin的增加色散波的功率也在增加,并且色散波功率的增加使得光頻梳包絡的中心偏離Pin約3.5 THz (圖14(c)),這種現象稱為“光譜反沖”[31].光譜反沖現象可以通過孤子動量理解,孤子動量相當于整個光頻梳的質心,,是頻率wm處的光譜分量幅值,m是相對于泵浦模式的模式數.在不考慮拉曼效應引起孤子自頻移的情況下,穩態光頻梳的孤子動量等于零[32,33].因為色散波僅產生于光頻梳光譜的一側(藍端或紅端),光譜質心偏離零點,因此在其作用下,整個光譜包絡會向色散波產生的反向頻移,以補償色散波對于孤子動量的影響.“光譜反沖”現象在色散波較弱的情況下變弱,如圖14(b)所示.

圖14 (a) 隨Pin 的增加,不同高階色散組合情況下wd 的變化;(b) Pin=5 W 和(c) 15 W 時,包含二階到四階色散情況下的腔內梳狀譜Fig.14.(a) Under the condition of different orders of high-order dispersion,the variation of wd with the increase of Pin;(b),(c) the intracavity comb spectrum with 2nd—4th order dispersion at (b) Pin=5 W and (c) 15 W.

4 討論與總結

本文在包含高階色散項的耦合非線性薛定諤方程的基礎上,研究了高階色散對雙耦合微環腔中克爾光頻梳的穩定性及其光譜特性參數的影響.研究結果表明,高階色散的加入使得參量空間的穩定域擴大,三階色散使得孤子不穩定性被抑制,腔內的呼吸孤子態和混沌態轉變為穩定的孤子態.隨著三階色散的增大,穩態解存在域中的混沌域不斷縮小且向失諧更大處移動,呼吸孤子域也逐漸縮小,并向功率更大處移動,而穩定孤子域不斷擴大.另一方面,高階色散的作用使得孤子腔內產生色散波,不同階色散對于色散波的頻譜位置、強度大小產生影響,導致光頻梳光譜特性發生變化.三階色散和正四階色散項可以誘導切倫科夫輻射,在光譜藍端產生增強的色散波;而負四階色散項會抑制色散波的產生,得到較對稱的孤子頻梳;五階色散能夠控制孤子的漂移方向及速度,且色散波產生于光譜的紅端.色散波的產生進一步影響泵浦功率轉換成的色散波功率與孤子功率的比例,對梳狀光譜結構包括最大失諧、腔內脈沖峰值功率產生影響.此外,高階色散項的組合使得色散波頻譜位置產生頻移,頻移大小隨泵浦功率的增加而增加,且與高階色散項的階數有關.對比單腔結構,在雙微腔結構使得了泵浦-孤子轉換效率得到了巨大的提升,同時,腔內高階色散的影響使得參量空間穩定域增大,不穩定性得到了抑制,雙耦合微腔結構在更大的參數空間域中實現了穩定孤子態.并且對于色散波位置而言,改變泵浦功率,雙耦合微腔中激發色散波的頻域位置變化范圍要比單微腔更寬.高階色散作用下,雙耦合微腔內孤子動力學的研究對于調控孤子的形成和色散波的頻譜位置有較大的意義.這些結果將為基于耦合微環微腔光頻梳的光鐘、超快精密測量等相關應用開辟新的可能性.