一類含導數型非線性記憶項的弱耦合半線性*

歐陽柏平

(廣州華商學院，廣東 廣州 511300)

Moore-Gibson-Thompson(MGT)方程因其在實際中的應用[1-2]而得到廣泛研究[3-5],本文考慮如下高階弱耦合半線性 MGT系統柯西問題解的爆破.

(1)

其中，cγi=1/Γ(1-γi),γi∈(0,1),(i=1,2),Γ為第二類歐拉積分;u=u(x,t),v=v(x,t),x∈Rn,t>0;p、q>1;ε>0;βi(i=1,2)>0;(u,ut,utt,v,vt,vtt)(0,x)=ε(u0,u1,u2,v0,v1,v2)(x);需要指出的是，(1)中等式右邊含有記憶項的積分表示系統記憶的信息包含著過去的歷史信息； 同時(t-s)-γi是衰減的，意味著最近的信息對系統有更大的影響.

(1)中，如果β1=β2,γ1=γ2,p=q，則一定程度上退化為單個的導數型非線性記憶項MGT方程.對于p≠q，此時(1)右端會產生弱耦合現象，由此 (1)已不是單個高階MGT方程的簡單推廣. 另一方面，比較相關的弱耦合波動方程研究[6-7]， (1)將出現關于時間t的高階導數，這將使得無界乘子對其柯西問題解的研究產生很大影響，也導致經典的反射法等技巧無法運用，因為無界乘子的出現使得應用Kato引理進行處理非常困難.本文采用文獻[8-10]中提出的高階雙曲方程柯西問題的方法，研究在次臨界情況下導數型非線性記憶項對弱耦合MGT系統解的爆破和生命跨度影響.

1 主要結果

首先定義問題(1)的柯西問題能量解.

定義1設(u0,u1,u2,v0,v1,v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))×(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)).(u,v)是問題(1)在[0,T)上的能量解，若

且滿足

(2)

(3)

應用分部積分對式(2)和(3)進行整理，有

(4)

(5)

由式(4)和(5)可見，當t→T時(u,v)滿足問題(1)的能量解的定義.

(6)

2 解的生命跨度上界估計

設

(7)

式(4)和(5)中，取φ≡1,φ≡1,{(s,x)∈[0,t]×Rn:|x|≤r+s},可得

(8)

(9)

聯立式(7)-(9)，得到

(10)

(11)

式(10)和(11)對t求導，得

(12)

(13)

利用定理1條件和H?lder不等式，有

(14)

(15)

其中c1=c1(n,p),c2=c2(n,p)>0.

聯立式(12)-(15)，可推得

(16)

(17)

對式(16)積分，整理得

(18)

由式(17)，同樣可得到

(19)

構造U(t)和V(t)的下界序列[11]，設

其中Φ(x)為光滑的正函數且ΔΦ(x)=Φ(x);當|x|→∞時,Φ(x)～|x|-(n-1)/2e|x|.

定義函數Ψ=Ψ(t,x)=e-tΦ(x).顯然，有-βΨttt+Ψtt-ΔΨ+βΔΨt=0.

引入泛函

(20)

將Ψ應用到式(2)和(3)，應用分部積分和Ψ的性質，可推得

(21)

(22)

其中，

式(21)對t求導，有

(23)

將式(21)和(23)相加，得到

(24)

聯立式(20)和(24)，有

(25)

取b1=1/β1，重寫式(25)，得到

(26)

G′(t)+(1+b1)G(t)≥b1εI1.

(27)

對式(27)積分，可得

(28)

e2t同乘式(28)兩邊，積分，整理可得

(29)

其中C1>0.

類似地，由式(20)和(22)，可推出

(30)

應用Ψ的漸近性[12]，有

(31)

其中,p′=p/(p-1),p>1;k0>0.

由條件suppv(t,·)?Br+t和H?lder不等式，有

(32)

于是，由式(30)和(32)得到

(33)

其中k1=C2pk0-(p-1).

將式(33)代入到式(12)，有

(34)

對式(34)求積分，可推出

(35)

同樣的處理，有

(36)

構造U(t)和V(t)的迭代序列，令

U(t)≥Dj(r+t)-αj(t-Ljβ1)σj,

(37)

V(t)≥Qj(r+t)-aj(t-Ljβ2)rj；

(38)

其中{Dj}j≥1、{Qj}j≥1、{αj}j≥1、{aj}j≥1、{σj}j≥1和{rj}j≥1均為非負實序列，序列{Lj}j≥1定義為

顯然，對于j=1，式(35)蘊含式(37)以及式(36)蘊含式(38).設j≥1，式(37)和(38)均成立，以下證明式(37)和(38)對j+1也成立.

聯立式(18)和(38)，對于t≥Lj+1max{β1,β2}, 可得

(39)

結合式(19)和(37)，對于t≥Lj+1max{β1,β2}，類似可推得

(40)

取

(41)

(42)

由式(39)-(42)可知，式(37)和(38)對j+1成立.

以下將利用式(41)和(42)對αj,aj,σj,rj進行估計.

當j為奇數時，由遞推關系，得到

(43)

aj=n(q-1)+γ2+qαj-1=n(q-1)+γ2+q(n(p-1)+γ1+qaj-2)=…=

(44)

(45)

(46)

j為偶數時，j-1為奇數，此時σj和rj化為

(47)

接下來對Dj和Qj進行估計.利用式(41)和(42)，有

(48)

(49)

由此，進一步可推得

Dj≥K1K2pDj-2pq(pq)-2p(j-1)-2j=M1Dj-2pq(pq)-2p(j-1)-2j,

(50)

Qj≥K2K1qqj-2pq(pq)-2q(j-1)-2j=M2Qj-2pq(pq)-2q(j-1)-2j.

(51)

當j為奇數時，對式(50)和(51)取對數，化簡可得

logDj≥logM1+pqlogDj-2-(2p(j-1)+2j)log(pq)≥…≥

(52)

logQj≥logM2+pqlogQj-2-(2q(j-1)+2j)log(pq)≥…≥

(53)

(54)

(55)

U(t)≥Dj(r+t)-αj(t-Lβ1)σj,

(56)

V(t)≥Qj(r+t)-aj(t-Lβ2)rj；

(57)

其中，j≥max{j1,j2},t≥max{Lβ1,Lβ2}.

令j為奇數，且j≥ max{j1,j2},t≥max{Lβ1,Lβ2}，聯立式(43)-(46)以及式(54)-(57)，得到

(58)

(59)

取t≥max{r,2Lβ1,2Lβ2}，由式(58)和(59)可推出

(60)

(61)

式(60)和(61)指數函數中t的指數分別為

(62)

(63)

當式(6)中Θ1(n,p,q,γ1,γ2)>0,Θ2(n,p,q,γ1,γ2)>0時，t的指數為正.

當Θ1(n,p,q,γ1,γ2)>0時，令ε0=ε0(u0,u1,u2,v0,v1,v2,n,p,q,r,β1,β2,γ1,γ2)>0，滿足

取j→∞，可得式(61)中U(t)的下界爆破.

同樣，當Θ2(n,p,q,γ1,γ2)>0時，對以上ε0,有

根據上面的討論可知問題(1)的全局解不存在.另外，可求得(u,v)的生命跨度估計為