基于組合模型高精度預測彈丸徑向速度的方法

田 珂

(中國人民解放軍63861部隊,吉林 白城 137001)

靶場試驗中利用連續波雷達準確測試彈丸的炮口初速,主要通過將雷達測試的徑向速度轉換為切向速度后遞推得出。徑向速度是指在雷達與彈丸的方向上,雷達測試彈丸的飛行速度,切向速度是指彈丸在飛行軌跡的切向上的速度,而彈丸初速是指彈丸在飛出炮口瞬間的切向速度,因此彈丸炮口初速通過將雷達測試的一定時間內的徑向速度近似轉換為對應時間的切向速度后再擬合遞推得到。但是當遇到雷達死機、天氣條件不良、火炮發射故障或者彈丸自身異常時,雷達捕獲的徑向速度會出現缺失,導致計算出的炮口初速不準確。預測缺失的徑向速度成為解決這一問題的重要手段。目前研究彈丸徑向速度的文獻很多,文獻[1]主要研究如何實時高精度對彈丸徑向速度進行處理,前提是雷達能夠完整捕獲到彈丸的徑向速度,并未考慮到彈丸徑向速度缺失時的解決辦法;文獻[2]提出了在彈丸徑向速度缺失時,利用回歸模型預測出缺失的數據,主要研究的是大口徑彈丸,并未提到小口徑彈丸的解決辦法,而且沒有考慮到單項模型預測精度不理想的情況;文獻[3]研究的是根據徑向速度檢測低速目標的問題,前提依然是獲取到部分徑向速度,當徑向速度不完整時該方法將無能為力。由于雷達測試的徑向速度屬于一維數據,而ARIMA(autoregressive integrated moving average,ARIMA)模型、GM(grey model,GM)(1,1)灰色模型和回歸模型(model of regression)都是針對一維數據建模的,正好可以用這3種模型建模預測。由于大口徑彈丸自身質量較大,初速高,重力、風的阻力等各種因素對其速度的影響較小,所以大口徑彈丸的徑向速度的下降變化量基本不變,單調線性變化特征較為明顯;小口徑彈丸自身質量較小,初速小,重力、風的阻力等各種因素對其速度的影響較大,徑向速度下降變化量始終在變化,導致其既具有線性變化特征又具有非線性變化特征。ARIMA模型擅長預測出數據中的線性特征,預測非線性特征的能力較弱,GM(1,1)模型擅長預測出數據中的線性特征,預測精度較高,但無法預測出非線性特征,回歸模型中的一元線性回歸模型能預測出線性特征,二次多項式回歸模型能預測出非線性特征,但兩者有時預測精度會不理想,而且單一模型的預測能力有限,只能預測出徑向速度中的部分特征。因此,為盡可能提高預測精度,在按照迭代方式預測的前提下,選擇利用ARIMA模型、GM(1,1)灰色模型與一元線性回歸模型共同建立線性組合模型,預測出大口徑彈丸缺失的徑向速度;利用ARIMA模型、GM(1,1)灰色模型與二次多項式回歸模型共同建立非線性組合模型預測出小口徑彈丸缺失的徑向速度,這樣就把所有模型的預測優勢整合到一起。實驗發現,組合模型的預測精度高于所有單項模型,整體預測誤差和單項預測誤差,均小于1‰,更加適合作為彈丸徑向速度預測模型。

1 單項模型建模原理

1.1 ARIMA模型建模原理

ARIMA模型于1976年提出,在許多領域都得到了廣泛應用,研究實踐也證實了它的有效性。ARIMA模型是自回歸模型的差分形式與移動平均模型相結合的結果,即同時包含了自回歸和移動平均成分,模型表達式為

=-1+-2+…+-+--1--2-…--

(1)

式中:表示當時刻處于時,的取值是其前期序列值的多元線性回歸,受過去期序列值的影響;為隨機干擾,屬于誤差項;表示當時刻處于時,的取值是其前期的隨機擾動的多元線性函數,受過去期隨機擾動的影響,即是時刻之前期序列值、誤差項和期隨機擾動共同作用的結果。

ARIMA模型通?？梢员磉_為ARIMA(,,),其中為差分階次。要對徑向速度建立ARIMA模型,首先要采用ADF(augmented dickey-fuller,ADF)單位根檢驗法準確檢驗平穩性。如果徑向速度對應的檢驗統計量中對應的概率值遠遠小于臨界統計值0.05,說明該數據序列是平穩序列,否則是非平穩的,此時需要對其進行差分處理,直到變為平穩序列為止;然后利用LB(Ljung-Box)檢驗法檢驗時間序列是否為白噪聲序列,如果檢驗統計量對應的概率值遠小于0.05,說明徑向速度對應的數據序列是非白噪聲序列,此時就可以直接進行建模,如果是白噪聲序列,說明徑向速度中沒有可被提取的有用信息,則無法建模。ARIMA模型能夠解決非平穩時間序列預測的建模問題,只有將數據序列轉換為平穩非白噪聲序列才能建立ARIMA模型,即利用數據序列中穩定的信息預測后期的數據,所以該模型無法預測出潛藏的隨機因素,同時該模型的優點是預測短期數據精度較高,而預測長期數據誤差會很大。通常采用自相關圖和偏自相關圖顯示的特征確定模型中的參數,,。模型類別確定好以后,還要檢查模型殘差是否是白噪聲序列。如果模型殘差LB檢驗統計量對應的概率值遠大于0.05,說明模型殘差是白噪聲序列,意味著有用信息已經提取完畢,所建模型通過了檢驗,可以直接利用所建模型進行后期預測;如果模型殘差LB檢驗統計量對應的概率值遠小于或等于0.05,說明其是非白噪聲序列,表示有用信息尚未提取完畢,需要重新確定模型類別,直到模型殘差變為白噪聲序列為止。

1.2 GM(1,1)灰色模型建模原理

(2)

式中:=1,2,…,。GM(1,1)灰色模型的算法是先對數據序列進行累加然后再進行累減。檢驗GM(1,1)灰色模型預測結果用后驗差比值和小誤差概率進行評價,如表1所示?；疑Ｐ屯瑯由瞄L預測出數據序列中的穩定信息,擅長進行短期預測,且精度較高,但對隨機因素預測會出現誤差較大的情況,而且進行長期預測精度并不理想。

表1 GM(1,1)預測結果評價表

1.3 回歸模型建模原理

回歸分析的目的是了解兩個或多個變量間是否相關、相關方向及強度,并建立數學模型以便通過觀察特定變量來預測或控制相關變量的方法。線性回歸模型在處理線性變化的原始數據方面預測精度很高。一元線性回歸模型是分析因變量與自變量之間的線性關系,數據模型為

(3)

式中:和為回歸系數。

多項式回歸模型的數學表達式如式(4)所示,因變量和自變量是次多項式關系。

=+++…++

(4)

檢驗回歸模型的過程:方程的顯著性檢驗主要根據檢驗統計量對應的概率值與臨界統計值005進行比較來判斷,如果遠小于0.05,就說明回歸模型是顯著的,否則不顯著;模型的擬合效果是根據參數Multiple R-squared和Adjusted R-squared與1的比較結果進行判斷,如果它們取值都非常接近1,就說明模型的擬合效果很好;回歸系數是根據其檢驗統計量對應的概率值與0.001的比較進行判斷,如果遠小于0.001說明回歸系數是顯著的,否則說明回歸系數不顯著?；貧w模型擬合線性特征和二次曲線特征的能力較強,但是模型較為簡單,對相關特征的擬合精度還有待提高。

2 組合模型建模原理及方法

組合預測模型是利用相同的樣本信息從不同的分析角度對未來信息進行預測,它把所屬預測模型的預測結果進行總體性綜合考慮,最大限度利用所有預測模型的樣本信息,這樣考慮問題更全面、更系統,深化對時間序列演化規律的認識。

(5)

在組合模型中關鍵是求解權系數,具體思想是:對單一模型誤差平方和較小的模型賦予較高的權系數,對單一模型誤差平方和較大的模型賦予較小的權系數,進而使組合模型誤差平方和盡可能小,權系數的確定方式為

(6)

式中:,為第期第個單項模型預測值與實測值的誤差平方和。由式(5)或式(6)可知,先計算出第期單項模型的誤差平方和就可以計算出第期單項模型的權系數,最后就可以計算出組合模型的預測值。

3 組合模型應用及分析

實驗選擇利用RStudio軟件環境進行數據分析、統計建模及數據可視化。為了驗證ARIMA模型、GM(1,1)灰色模型與回歸模型新建立的組合模型的預測精度高于所有單項模型,選擇采用4組徑向速度實測數據進行驗證。針對大口徑彈丸而言,從0.1 s開始每隔0.005 s選取一發徑向速度值,一直取到0.5 s為止,共獲取到81發徑向速度值。而針對小口徑彈丸而言,從0.05 s開始每隔0.005 s選取一發徑向速度值,一直取到0.3 s為止,共獲取到51發徑向速度值。4組徑向速度數據分別記為DATA1、DATA2、DATA3和DATA4,其中DATA1和DATA2是大口徑彈丸的徑向速度數據,DATA3和DATA4是小口徑彈丸的徑向速度數據,其時間序列曲線分別如圖1～圖4所示。針對DATA1和DATA2而言,把第1～71發徑向速度作為訓練數據,訓練ARIMA模型、GM(1,1)灰色模型和回歸模型,把第72～81發徑向速度作為測試數據,檢驗這3個模型及其組合模型的預測精度的高低。具體原理:先利用第1～71發數據訓練3個模型,預測出第72發數據后,利用組合模型原理計算出第72發數據的組合模型預測值,再把第72發實測值代入到訓練數據中,預測出第73發數據,以此類推就可以得到DATA1和DATA2中第72～81發徑向速度3個模型及其組合模型的預測值。針對DATA3和DATA4而言,把第1～41發作為訓練數據訓練3個模型,第42～51發作為測試數據,檢驗3個模型及其組合模型的預測精度的高低。先利用第1～41發數據訓練3個模型,然后預測出第42發徑向速度,利用組合模型建模原理計算出第42發組合模型預測值,然后把第42發實測值代入到訓練數據中,再預測出第43發數據,以此類推,就可以得到DATA3和DATA4第42～51發徑向速度3個模型及其組合模型預測值。先以DATA1為例進行驗證分析。

圖1 DATA1時間序列圖

圖2 DATA2時間序列圖

圖3 DATA3時間序列圖

圖4 DATA4時間序列圖

3.1 ARIMA模型建模預測

DATA1第1～71發數據的ADF單位根檢驗統計量對應的概率值為0.01,小于臨界統計值0.05,LB檢驗統計量對應的概率值為2.22×10,遠遠小于臨界統計值0.05,說明DATA1第1～71發數據是平穩非白噪聲時間序列。DATA1第1～71發數據對應的自相關圖顯示出拖尾的特點,如圖5所示;偏自相關圖是一階結尾,如圖6所示,再結合BIC信息圖可以確定模型類別為ARIMA(1,0,0)。模型殘差的LB檢驗統計量對應的概率值為0.495 8,遠大于臨界統計值0.05,所以模型殘差為白噪聲序列,即數據中的有用信息已經提取完畢,模型通過了檢驗,可以進行預測,最后得到DATA1第72發數據的ARIMA模型預測值。采用同樣的方法最后可得到DATA1第72～81發ARIMA模型預測值。

圖5 DATA1第1～71發數據自相關圖

圖6 DATA1第1～71發數據偏自相關圖

3.2 GM(1,1)模型建模預測

經過檢驗發現DATA1第1～71發數據的級比都處于區間[0.972 604 5,1.028 167]之中,滿足建立GM(1,1)灰色預測模型的條件,經過建模預測得到DATA1第72發GM(1,1)模型預測值,預測結果顯示后驗差比值=0.007 959 138,預測精度=99.973 13%,預測精度等級為“好”。采用同樣的方法最后得到了DATA1第72～81發GM(1,1)模型預測值。

3.3 回歸模型建模預測

由于DATA1屬于大口徑彈丸的徑向速度,整體呈線性分布,所以對DATA1第1～71發數據建立速度與時間的一元線性回歸模型,模型擬合結果顯示檢驗統計量對應的概率值小于2.2×10,遠小于臨界統計值0.05,說明回歸模型是顯著的;Multiple R-squared為0.999 5,Adjusted R-squared為0.999 5,兩者取值都非常接近1,說明模型的擬合效果很好;截距估計值檢驗對應的概率值小于2×10,回歸系數檢驗對應的概率值小于2×10,兩者都遠遠小于0.001,說明截距估計值和回歸系數都是顯著的,最終證明可以用所建一元線性回歸模型進行預測,再把第72發徑向速度對應的時間數據代入到所建模型中就可以預測出第72發徑向速度。采用同樣的方法總共就可以得到DATA1第72～81發徑向速度一元線性回歸模型預測值。而DATA3和DATA4屬于小口徑彈丸的徑向速度,其徑向速度時間曲線屬于二次曲線,應該建立速度與時間的一元二次多項式回歸模型。實際上,以DATA3為例,經過檢驗發現:建立徑向速度與時間的一階線性回歸模型時,Multiple R-squared為0.986 0,Adjusted R-squared為0.985 9;建立徑向速度與時間的二次多項式回歸模型時,Multiple R-squared為0.994 0,Adjusted R-squared為0.993 7。兩個模型的其余檢驗結果均符合要求,對比得出DATA3更適合建立徑向速度與時間的二次多項式回歸模型。

經過3個模型對DATA1的建模預測,最后就得到了3個模型及其組合模型預測出的DATA1第72～81發徑向速度,實測值與預測值如表2所示,繪制其時間序列關系曲線,如圖7所示。經過計算得到ARIMA模型預測值與DATA1第72～81發實測值的平均相對誤差為0.136%,GM(1,1)灰色模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.06%,一元線性回歸模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.159%,組合模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.042%,小于1‰的誤差標準,而且組合模型每發預測值與實測值的相對誤差的關系曲線如圖8所示,每發預測值與實測值的相對誤差均小于1‰,所以組合模型整體的預測精度和單項預測精度均達到了雷達測試彈丸徑向速度的誤差要求。

表2 DATA1第72～81發實測值與各模型預測值

圖7 DATA1第72～81發實測值與各模型預測值關系曲線

圖8 DATA1組合模型預測值與實測值相對誤差變化曲線

采用對DATA1建模預測的方法應用于DATA2,就可以得到DATA2第72～81發實測值與各個模型預測值,如表3所示,其時間序列關系曲線如圖9所示。經過計算得到ARIMA模型預測值與DATA2第72～81發實測值的平均相對誤差為0.123%,GM(1,1)模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.035%,一元線性回歸模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.114%,組合模型預測值與預測值的平均相對誤差為0.03%,小于1‰的誤差標準,而且組合模型預測值與實測值的相對誤差曲線如圖10所示,可以看出每發預測值與實測值的相對誤差均小于1‰,所以組合模型不論是整體的預測精度還是單項預測精度均達到了雷達測試彈丸徑向速度的誤差要求。

表3 DATA2第72～81發實測值與各個模型預測值

圖9 DATA2第72～81發實測值與各模型預測值關系曲線

圖10 DATA2組合模型預測值與實測值相對誤差變化曲線

采用與預測DATA1同樣的方法,得到了DATA3第42～51發實測值與各個模型預測值如表4所示,其時間序列關系曲線如圖11所示。

表4 DATA3第42～51發實測值與各模型預測值

圖11 DATA3第42～51發實測值與各模型預測值關系曲線

經過計算得到ARIMA模型預測值與DATA3第42～51發徑向速度實測值的平均相對誤差為0.014%,GM(1,1)灰色模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.062%,二次多項式回歸模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.083%,組合模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.012%,所以組合模型預測的徑向速度誤差最小,精度最高,誤差小于1‰,而且組合模型預測值與實測值的相對誤差曲線如圖12所示,均小于1‰,整體的預測精度和單項預測精度均達到了雷達測試彈丸徑向速度的誤差要求。DATA4第42～51發徑向速度實測值與各個模型預測值如表5所示,其時間序列關系曲線如圖13所示。ARIMA模型預測值與DATA4第42～51發徑向速度實測值的平均相對誤差為0.038%,GM(1,1)灰色模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.098%,二次多項式回歸模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.085%,組合模型預測值與實測值的平均相對誤差為0.015%,所以組合模型預測出的徑向速度誤差是最小的,精度是最高的,誤差小于1‰,而且組合模型預測值與實測值的相對誤差曲線如圖14所示,單項誤差也小于1‰,說明整體的預測精度和單項預測精度均達到了雷達測試彈丸徑向速度的誤差要求。

圖12 DATA3組合模型預測值與實測值相對誤差變化曲線

表5 DATA4第42～51發實測值與各個模型預測值

圖13 DATA4第42～51發實測值與各個模型預測值關系曲線

圖14 DATA4組合模型預測值與實測值相對誤差變化曲線

通過利用DATA1、DATA2、DATA3和DATA4共4組實測數據進行建模預測的結果可知,3個單項模型預測徑向速度的精度并不穩定,但組合模型預測彈丸徑向速度的誤差始終最小,精度始終高于所有單項模型,而且整體的誤差和單項誤差均低于1‰,預測值更加逼近試驗中實測值,達到了雷達測試彈丸徑向速度的誤差要求,可以作為預測彈丸徑向速度的預測模型。

實際上,樣本量的選取完全是隨機的,因為樣本量越大,涵蓋的數據特征就越多,模型的泛化能力就越強,而不同樣本量對應的模型是一致的,建立的ARIMA模型都是ARIMA(1,0,0),GM(1,1)灰色模型和速度時間的回歸模型都能通過檢驗,并且組合模型的預測精度始終大于單項模型。

4 結束語

徑向速度的缺失會影響靶場試驗對武器裝備戰斗性能的準確鑒定,利用科學合理的模型預測出缺失的徑向速度顯得至關重要。單一模型的預測能力有限,預測精度不夠理想,組合預測模型能夠充分發揮所有單項模型的預測能力,大幅度提高數據的擬合精度,可以最大限度提高預測精度。實驗結果表明,經過對DATA1～DATA4 4組數據建模預測的結果可知,組合預測模型的預測精度最高,預測出的徑向速度誤差最小,整體誤差和單項誤差均小于1‰,達到了單臺初速雷達測試彈丸初速的誤差要求,可以作為彈丸徑向速度的預測模型。