Helmholtz聲學超材料帶隙特性分析

鐘可欣， 孫維鵬， 趙道利， 劉園園， 馬薇， 譚婷

(1.西安理工大學 水利水電學院，陜西 西安 710048； 2.上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240)

聲學超材料(acoustic metamaterials，AMs)是具有亞波長周期性的人工結構材料[1]。彈性波在聲學材料中傳播時，受內部結構的影響，存在一種特殊的色散關系，為人為調控彈性波提供了可能[2]。

振動帶來的影響不容忽視[3]，聲學超材料的出現，為減振降噪等問題的解決提供了新思路[4]。Li等[5]設計了一種具有復合周期棒芯的新型彈性夾層超材料板, 利用有限元和譜元混合方法(FE-SEHM)計算了其動剛度矩陣，通過數值模擬和實驗驗證了其頻率響應曲線。Jin等[6]提出了一種由層狀蜂窩元結構組成的隔振器，基于布拉格散射和局部共振帶隙對工程結構的噪聲和振動問題進行了研究。Gao等[7]提出了一種具有2個諧振器的二維聲子晶體，研究了其帶隙特性。Oudich等[8]提出了一種具有復合散射體結構的聲子晶體。Wang等[9]采用有限元方法研究了具有開口和閉口諧振腔的聲子晶體板。Guenneau等[10]設計了一種具有雙“C”諧振器的二維圓柱結構，該結構在低頻下有很好的負折射效果。Popa等[11]提出了一種具有主動聲學超材料的體系結構，其具有的負折射率、負有效質量密度和顯著的非均勻性的特性可用于設計負折射率介質和具有可調增益和吸收特性。Gardezi等[12]數值模擬了由2個疊層鋼板中互相連通的空腔組成的聲學超材料的扭轉行為。Mei等[13]提出了一種薄膜聲學超材料，選擇性完全吸收100～1 000 Hz內的低頻聲音。Jiang等[14]設計并實現了一種超寬帶超材料的吸聲材料。Li等[15]提出了一種散射體為雙面階梯諧振器的超材料，通過數值分析和實驗驗證了低頻寬帶彈性波的衰減和振動抑制。

近年來，具有Helmholtz諧振腔的聲學超材料成為學者們的研究熱點之一。Helmholtz諧振器是最基本的聲學模型之一，在吸聲降噪等領域被廣泛應用。典型的Helmholtz諧振器由一個頸部和一個空腔組成。Fang等[16]設計了一種由剛性壁腔和一側開一個小孔組成的Helmholtz諧振器，在共振頻率附近具有負值的有效動模量，所研究的頻率范圍在20～50 kHz，該結構可用于負折射和超透鏡領域。Han等[17]提出了一種具有剛性壁的新型Helmholtz型聲子晶體，該結構由矩形腔體和“W”型空氣通道組成，當晶格常數為62 mm時，第一完全帶隙最小為12 Hz，帶寬為14.6 Hz。Zhang等[18]設計了一種由腔體、連接頸部、頂部金屬膜和穿孔板組成的Helmholtz諧振器(HHRs)，采用數值模擬的方法對聲輻射性能進行了研究。Li等[19]研究了Helmholtz諧振器嵌入流體基質的二維(平行的剛性狹縫管)/三維(剛性球型)聲子晶體的聲傳輸特性。Hu等[20]提出了一種由二維Helmholtz諧振器陣列組成的聲子晶體，該晶體組成的聲透鏡具有較好的聚焦效果。Hu等[21]推導出流體中二維和三維Helmholtz諧振器聲學超材料的有效質量密度和有效體積模量的解析式。Liu等[22]提出了一種由周期排列的耦合Helmholtz諧振器組成的寬帶聲能收集器，所提出的結構可以在頻率范圍為460～680 Hz下獲得較高的輸出電壓。

以往對于Helmholtz諧振腔聲學超材料的研究，其帶隙范圍主要集中在500 Hz以下或者大于10 kHz，完全帶隙范圍在1 000～5 000 Hz的研究相對較少，因此在本文研究的完全帶隙范圍選擇在該范圍內。提出了一種由Helmholtz諧振腔構成的新型聲學超材料，采用有限元方法對其能帶結構及其傳輸譜進行計算，并結合振動模態分析局域共振帶隙的產生機理。其次，通過對Helmholtz諧振腔的結構參數進行設計，實現對彈性波的調控，最大可將完全帶隙帶寬拓寬至316.1 Hz，頻率范圍主要在1 000～4 000 Hz，所提出的結構對Helmholtz聲學超材料的設計與研究提供理論指導。

1 模型及計算方法

1.1 有限元模型

提出了一種由Helmholtz諧振腔和鋁板組成的聲學超材料，如圖1所示，圖1(a)為該超材料的三維單元結構圖、圖1(b)為xoz平面上的剖面圖、圖1(c)為該單元組成的6×6有限周期超胞結構、圖1(c)為布里淵區。單元結構的晶格常數為a=10 mm，基體厚度為t=0.4 mm，Helmholtz諧振腔內頸高度為h、半徑為r1、內腔高度為h、半徑為r2，Helmholtz諧振腔體厚度為s。如表1為本文在計算中使用的材料參數。

表1 材料參數Table1 Material parameter

1.2 能帶結構計算方法

對于圖1所提出的聲學超材料，其能帶結構可以基于基爾霍夫薄板理論作為控制方程來求解，其控制方程為[23]：

(1)

fj為諧振器施加在位置rj+R上的荷載，存在：

fj(rj+R)=fj(rj)exp(-ik·R)

(2)

(3)

式中S為單胞的面積。由于彈簧振子是基于單胞的力學近似，故有：

fj(rj)=-Kj(uj-w(rj))=-ω2mjuj

(4)

式中uj、Kj和mj分別為彈簧振子在該位置的振動位移、彈性剛度和質量。

聯合上述公式即可對聲學超材料的能帶結構進行計算，也即：

SD[(kx+Gx)2+(ky+Gy)2]2wG+

exp[i(k+G)·rj]=Sρhω2wG

(5)

-Kj{∑G′wG′exp[-i(k+G′)·rj]-uj}=ω2mjuj

(6)

2 帶隙形成機理

為進一步說明所提出的Helmholtz聲學超材料的帶隙形成機理，使用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics對特定的單元結構的能帶結構及傳輸譜進行計算。選取結構參數r1=2.5 mm，r2=3 mm，h=4.5 mm，s=1.4 mm的Helmholtz聲學超材料進行計算，其傳輸譜計算公式為[24]：

(7)

式中：out(solid.disp)為給定的位移激勵；in(solid.disp)為輸出的位移響應。本文考慮在x方向上存在10個單元結構組成的有限陣列，在y方向上仍應用周期性邊界條件來表示無限個單元結構，在陣列結構的一端沿z方向給出一個位移激勵，得出位移響應即可獲得該結構的傳輸譜。

如圖2為選定的Helmholtz聲學超材料的能帶結構圖和傳輸譜，圖中陰影部分(2 449.3～2 758.4 Hz)為該結構的完全帶隙，而方向帶隙的頻率范圍為2 269.8～2 449.3 Hz和2 758.4～3 143.2 Hz，從圖中可以看出，完全帶隙、方向帶隙和傳輸譜的頻率范圍基本吻合，在完全帶隙和方向帶隙的頻率范圍內，輸出的位移激勵小于輸入的位移激勵，彈性波在傳播過程中受到了衰減，也即在完全帶隙頻率范圍內可以很好地抑制彈性波。在完全帶隙的頻率范圍內，出現了2條平直帶，即2 629.8 Hz和2 632 Hz。

如圖3(a)～(e)為圖2能帶結構圖中點a～f的振動模式，a點位于完全帶隙的起始頻率上，其振動模式為Helmholtz諧振腔的扭轉模式，而基板保持靜止狀態，也即彈性波主要作用在Helmholtz諧振腔上。b點和c點是禁帶中的本征模，不同波矢幾乎對應于相同的本征頻率，從而導致平直帶的出現，根據聲學超材料的局域共振機制，禁帶的出現不僅取決于局域本征模和共振“平帶”，還取決于共振帶與基板Lamb模之間的模式耦合[15]。b點和c點在z方向振動幾乎為0，沒有和基板的Lamb模耦合，也即未對低頻帶隙造成影響。d點位于完全帶隙的截止頻率上，其Helmholtz諧振腔處于扭轉模式，而基板在z方向存在很小的振動。e點的振動模式為基板沿著z方向向上運動，內頸沿著z方向向下運動。f點在帶隙的下邊界，對應于帶隙的固有頻率，其振動模式為沿著z方向垂直運動。

圖2 能帶結構及傳輸譜Fig.2 Band structure and transmission spectrum

圖3 振動模式Fig.3 Mode of vibration

3 完全帶隙影響因素分析

局域共振單元可以等效為“質量-彈簧”系統，帶隙的起始頻率(固有頻率)與諧振器的等效剛度和等效質量有關；而計算帶隙的截止頻率時，局域共振單元等效為“質量-彈簧-質量”系統，與等效剛度和散射體與基板質量有關[25]。故在分析結構參數對超材料能帶結構的影響時，分別研究Helmholtz諧振腔內頸半徑r1、內腔半徑r2、內頸(內腔)高度h等結構參數對完全帶隙的起始頻率、截止頻率和帶寬的影響。

如圖4所示，當h=4 mm，s=1 mm時，圖4(a)～(c)分別為當控制r1為3.5 mm、3 mm和2.5 mm時，完全帶隙起始頻率和截止頻率隨內腔半徑r2的變化曲線圖，圖4(d)為帶寬隨r1、r2的變化曲線圖。從圖2(a)～(c)可以看出，當改變r1的值從1～3 mm、改變r2的值為2.5～3.5 mm時，Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率均在2 000～3 000Hz內。當r2不變時，完全帶隙的起始頻率和截止頻率隨著r1的增大而增大；當r1不變時，完全帶隙的起始頻率和截止頻率隨著r2的增大而減小。由此可得，Helmholtz聲學超材料的起始頻率和截止頻率與內頸半徑r1呈正相關，與內腔半徑r2呈負相關。從圖4(d)可得，Helmholtz聲學超材料帶寬隨著內徑r1的增大而增大，隨著內腔半徑r2的增大而減小，當r1=2 mm，r2=2.5 mm時，帶寬最大值為226.5 Hz。由此可得，當內頸半徑r1不變時，減小內腔半徑r2可以獲取更寬的帶隙；當內腔半徑r2不變時，增加內頸半徑r1可以獲取更寬的帶隙，但增加內頸半徑r1或減小內腔半徑r2時，完全帶隙的起始頻率和截止頻率均會增加。

圖4 r1、r2對完全帶隙的影響Fig.4 Effect ofr1 andr2 on absolute band gap

圖5為當r1=2.5，r2=3，s=1時，研究改變內頸、內腔高度h對完全帶隙起始頻率、截止頻率和帶寬的影響。由圖5可得，Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率隨著h的增大而減小，起始頻率由3 665.9 Hz減小到1 497.8 Hz，截止頻率由3 709 Hz減小到1 674.1 Hz，而帶寬隨著h的增大而增大，當增大到5.5 mm時達到最大值(265.6 Hz)，接著隨著h的增大而減小，由此可見，內頸和內腔h與完全帶隙的帶寬并不呈正相關，但和完全帶隙的起始和截止頻率呈負相關，在進行結構設計時，選取最優的h值不僅可以節省材料，還能獲得更寬的帶隙。

圖5 h對完全帶隙的影響Fig.5 Effect ofh on absolute band gap

固定r1=2.5 mm、r2=3 mm，研究腔體厚度s對能帶結構的影響時分為2個方案，首先是保持Helmholtz諧振腔腔體大小不變，向兩端增加s值(0.4～1.4 mm)，如圖6(a)，研究其對能帶的影響；接著保持r1+s和r2+s的值不變，改變腔體大小，也即向內增加s的值，如圖6(b)，研究其對能帶的影響。

圖6 不同方案對比Fig.6 Comparison chart of different solutions

如圖7為方案1和方案2中s對完全帶隙的影響。從圖7(a)可知，當保持Helmholtz諧振腔的空氣腔體大小不變時，隨著腔體厚度s增大，Helmholtz聲學超材料的完全帶隙起始頻率和截止頻率增大，起始頻率從2 055 Hz增大到2 481.4 Hz，截止頻率從2 155.3 Hz增大到2 815.6 Hz，起始頻率增大的速率小于截止頻率，故而隨著s增大，帶寬也逐漸增大，當s增大到1.4 mm時，帶寬最大值為334.2 Hz。從圖7(b)可知，改變Helmholtz諧振腔的空氣腔體大小，也即隨著s的增大，Helmholtz諧振腔的空氣腔體減小，Helmholtz聲學超材料的帶隙起始頻率和截止頻率增大，其帶寬也隨之增大，起始頻率從2 071.2 Hz增大到2 403 Hz，截止頻率從2 094.8 Hz增大到2 633 Hz，當s增大到1.4 mm時，帶寬最大值為230 Hz。由此可得，隨著s的增大，方案1和方案2的完全帶隙起始頻率增加速率差不多，但方案2的完全帶隙截止頻率的增加速率小于方案1的截止頻率，因此方案1的帶寬增長速率大于方案2的增長速率。所以在Helmholtz諧振器的結構設計中，在消耗相同的材料的情況下，選擇方案1可以獲得更寬的帶隙范圍。

圖7 腔體厚度s對完全帶隙的影響Fig.7 Effect ofs on absolute band gap

4 結論

1)單元結構的完全帶隙的起始頻率和截止頻率與內頸半徑和腔體厚度呈正相關，與內腔半徑和腔體高度呈負相關；

2)單元結構的完全帶隙頻率范圍與內頸半徑和腔體厚度呈正相關，與內腔半徑呈負相關，而隨著腔體高度的增加，帶隙逐漸增大，在最佳高度時帶隙寬度達到最大值。因此，在對超材料進行設計時，合理的選擇單元結構的結構參數可以調控其在不同頻率范圍下對彈性波的抑制。