圓形利茲線高頻變壓器繞組損耗解析公式的實驗驗證與理論分析

駱仁松， 汪 濤， 李 琳， 劉 任， 袁 軒， 虞曉陽

(1.南京南瑞繼保電氣有限公司，江蘇 南京 211102；2.新能源電力系統國家重點實驗室(華北電力大學)，北京 102206)

0 引 言

隨著特高壓交直流輸電、智能電網、微電網的不斷發展，以及持續擴大水能、風能、太陽能等新能源并入電網的規模，對電能處理和轉換單元提出了小型化、輕量化和靈活控制等嚴格的要求[1]。在這種背景下，性能優異的電力電子變壓器(也稱固態變壓器)在近些年來得到了全球工業界和學術界的廣泛關注[2]。高頻變壓器相比于傳統的工頻變壓器具有體積小、重量輕等優勢，是電力電子變壓器內部的核心元件，其運行特性直接決定了整個電能轉換系統單元的電能傳輸質量。然而，隨著激勵頻率的提升，高頻變壓器的集膚和鄰近效應將會明顯增大，從而它的繞組損耗也會必可避免地增大，進而帶來嚴重的溫升和散熱問題[3，4]。通過對高頻變壓器的材料和結構進行全局優化設計，可有效降低繞組損耗，而提出一種準確且高效的高頻變壓器繞組損耗計算方法是實現這一目標的基本前提。

目前，通常選用股徑較小、集膚效應較弱的利茲線作為高壓大容量高頻變壓器的繞組[5，6]。根據圍成形狀的不同，利茲線可分為矩形利茲線和圓形利茲線[7，8]。由于圓形利茲線更易于纏繞，使得它在實際工程中的應用更多[2,7-9]。高頻變壓器繞組損耗計算方法分為數值算法[9]和解析算法[11，12]。其中，數值算法雖然求解精度更高，但是仿真時間較長，并不適用于高頻變壓器的全局優化設計；而解析算法計算效率較高，與高頻變壓器的全局優化設計更兼容。最早用于高頻變壓器繞組損耗計算的解析算法是1966年提出的Dowell公式[11]。該公式是基于箔式繞組和1維電磁場理論模型推導的，具有簡潔、優雅、易用等優點，并通過直流電阻不變的原則也推廣至了實心圓導線等繞組結構的損耗計算當中，是目前求解高頻變壓器繞組損耗最常用的計算公式[13，14]。在1994年，Ferreira發現了單根實心圓導線模型電磁場的集膚效應與鄰近效應相互正交，并根據這一原則提出了Ferreira公式，但僅針對的是實心圓導線繞組結構，到目前還未得到廣泛的應用[14]。而在2001年，Tourkhani[9]根據集膚效應與鄰近效應相互正交的原則和圓形利茲線獨有的結構特征，推導并提出了一種專門也是目前唯一針對圓形利茲線繞組損耗計算的解析公式(簡稱Tourkhani公式)，并在圓形利茲線高頻變壓器的全局優化設計中得到了應用[8]。然而，不管是Tourkhani本人[9]亦或是運用該公式的其他學者[8,13]，均未對其精度進行實驗驗證，因而它的適用性和適用范圍還有待商榷。

為此，本文首先分析了推導Tourkhani公式所用的基本假設和原理，其次設計并制作了兩臺圓形利茲線高頻變壓器樣機(股徑分別為0.1 mm、0.2 mm)，測量了它們在寬頻激勵下的繞組損耗，并將該測量值與基于Tourkhani公式、Dowell公式的計算值分別進行了對比，從而首次利用實驗的方式對Tourkhani公式的求解精度進行了客觀真實的評價，指出了該公式存在的問題，也給出了其所適用的范圍，為圓形利茲線高頻變壓器繞組損耗的計算及其全局優化設計提供了有益參考。

1 求解圓形利茲線損耗的Tourkhani公式

1.1 磁場分布

如圖1所示，高頻變壓器任意一匝圓形利茲線內部任意一點的磁場強度H包含了兩個分量：內部股線產生的磁場強度Hint、其他繞組產生的外部磁場強度Hext。其中，假設外部磁場強度Hext沿z軸方向服從1維分布。內部磁場強度Hint包含x、z兩個分量。

圖1 漏磁場在利茲線繞組的分布情況Fig. 1 Leakage magnetic field distribution in a Litz wire winding

因此，高頻變壓器圓形利茲線繞組任意一點總的磁場強度矢量H可表示為

H=Hext+Hint=(Hext+Hintcosθ)·ez-

Hintsinθ·ex

(1)

式中：ex、ez分別表示x、z軸方向的單位向量。

如圖1所示，根據圓形利茲線在高頻變壓器窗口的分布情況可知，第k層利茲線繞組任意一點(Δx)的外部磁場強度Hext標量值為

(2)

式中：n為每層利茲線匝數；I為利茲線電流幅值；hw為利茲線繞組高度；dLitz為利茲線繞組的直徑；Δx為利茲線繞組任意一點距離其最左側點的水平距離。

為方便計算，可將外部磁場強度Hext表示成極坐標的形式。根據極坐標的定義，利茲線繞組內部任意一點距離其最左側點的水平距離Δx表示為

Δx=rLitz+rcosθ

(3)

式中：r為利茲線內部任意一點具體距離其中心的距離；rLitz為利茲線繞組的半徑。

因此，第k層利茲線繞組任意一點(r,θ)的外部磁場強度Hext標量值為

(4)

另外，由圖1可知，利茲線內部任意一點(r,θ)的內部磁場強度Hint可表示為

(5)

從而根據式(1)、(4)、(5)，可得第k層利茲線任意一點(r,θ)總的磁場強度矢量H為

(6)

1.2 Tourkhani公式

在推導出高頻變壓器窗口內圓形利茲線繞組的磁場表達式(6)后，利用相關電場能量積分的方法即可推導出圓形利茲線繞組損耗的解析公式[9]。該公式通常被稱為Tourkhani公式[13]。

根據附錄A的推導結果，位于第k層第t匝利茲線內部單根股線的渦流損耗表達式為

(7)

式中：ρ為利茲線繞組的電阻率。

利用上式(7)結果，可得第k層第t匝利茲線內部平均的渦流損耗密度為

(8)

式中：β為利茲線的填充因數；H為利茲線內部任意一點(r,θ)的漏磁場大小，其大小的平方可根據式(6)求模值而得：

(9)

對上式(8)進行積分，并利用上式(9)的結果，可到第k層第t匝利茲線單位長度的功率損耗為

(10)

式中：N0為單根利茲線內的細導線股數。

從而，高頻變壓器圓形利茲線繞組單位長度的功率損耗P為

(11)

根據上式(11)的推導結果，可得高頻變壓器圓形利茲線繞組單位長度的交流電阻為

(12)

高頻變壓器圓形利茲線繞組單位長度的直流電阻表達式為

(13)

最后，Tourkhani提出的圓形利茲線繞組交流電阻系數表達式為

(14)

在原文獻[9]中，Tourkhani在其給出的交流電阻系數表達式(文獻[9]的式(23))的分母中漏寫了一個2。本文給出了正確完整的高頻變壓器圓形利茲線交流電阻系數的表達式(14)。

2 Tourkhani公式精度的實驗驗證與理論分析

圖2為圓形利茲線高頻變壓器樣機繞組損耗測量的實驗布置圖。在實驗中，采用Agilent 4294A精密阻抗分析儀測量樣機的交流電阻。樣機初級側與阻抗分析儀夾具電極相連，次級側短路，這樣可使磁心損耗為零，排除磁心對測量結果的影響。測量前進行開短路校準，提高測量結果的準確性，測量過程中施加低電平電流，以確保變壓器工作在線性區[15，16]。Agilent4294A精密阻抗分析儀是一種可以對元件和電路進行高效率阻抗測量和分析的綜合測試儀器，憑借自動平衡電橋技術，在其所覆蓋的測試頻率范圍內(40 Hz～110 MHz)基本阻抗精度可達到±0.08%。它擁有出色的高Q/低D精度，適于對低損耗元件進行分析，較寬的信號電平范圍也能在實際工作條件下對器件作出準確評估。在測量高頻變壓器樣機繞組損耗之前，測試了其寄生電容隨頻率的變化規律，發現寄生電容較小，且幾乎不隨頻率而變化，因此可寄生電容對高頻變壓器樣機繞組損耗的影響。

圖2 實驗布置圖Fig. 2 Experimental setup

2個樣機結構參數表1所示，歸算至初級側的交流電阻測量結果如圖3所示，并在圖中分別給出了Tourkhani公式、Dowell公式的計算結果。圖4給出了兩種公式在兩個高頻變壓器樣機繞組損耗求解中的計算誤差。

表1 2個圓形利茲線高頻變壓器樣機的結構參數Tab.1 Structure related parameters of the two prototyped high frequency transformer with round Litz wires

從圖3和圖4的對比結果中可以看出：

圖3 高頻變壓器樣機繞組損耗的測量值與計算值Fig. 3 Measured and calculated winding losses of the prototyped high frequency transformers

圖4 兩種繞組損耗求解方法的計算誤差Fig. 4 Errors of the two windingloss calculation methods

1)對于樣機1(ds=0.1 mm)而言，Tourkhani公式的絕對誤差首先隨著頻率提升而逐漸增大，在36 kHz附近達到最大值63.1%；當頻率超過36 kHz時，Tourkhani公式的計算誤差隨著頻率的提升而逐漸減小，在200 kHz下達到最小值22.5%。

2)對于樣機2(ds=0.2 mm)而言，Tourkhani公式的絕對誤差也首先隨著頻率提升而逐漸增大，在12 kHz附近達到極大值43.2%；當頻率超過12 kHz時，Tourkhani公式的計算誤差隨著頻率的提升而逐漸減小，在27 kHz下達到最小值0.009%；而當頻率超過27 kHz時，Tourkhani公式的計算誤差隨著頻率的提升而逐漸上升，在200 kHz達到最大值59.3%。

3)在低頻率范圍內(對樣機1而言為f= 0～14 kHz、對樣機2而言為f= 0～26 kHz)，Tourkhani公式與Dowell公式的繞組計算值基本重合；但在高頻范圍內(對樣機1而言為f>14 kHz、對樣機2而言為f>26 kHz)，Tourkhani公式與Dowell公式的繞組計算值不再重合，而是Tourkhani公式的繞組損耗計算誤差較大，Dowell公式的繞組計算誤差較小。因而從整個寬頻范圍內看，Dowell公式的綜合性能優于Tourkhani公式。

Tourkhani公式出現上述誤差的主要原因在于：文獻[8]在推導圓形利茲線繞組損耗公式的過程中，假設了任意一匝利茲線內部磁場強度或磁通密度在x軸方向上的貢獻僅來源于該利茲線自身，而利茲線在高頻下表現得更為顯著的鄰近效應僅在z軸方向上對利茲線內部磁場產生貢獻。而通常在高頻激勵下，圓形利茲線高頻變壓器繞組的磁場分布不在嚴格服從上述假設，而是利茲線繞組顯著的鄰近效應不僅在y軸方向產生磁場貢獻，而且也會在x軸、z軸其他方向產生較大磁場貢獻[17]。此外，Tourkhani在推導圓形利茲線交流電阻系數解析表達式的過程中，做了多次近似處理。例如，其認為單根股線渦流功率損耗的平均值即為利茲線的渦流功率損耗密度，如公式(8)所示；同時，Tourkhani簡單了利用利茲線的填充因數考慮利茲線內部空隙部分的漏磁場；也假設了磁芯內繞組窗口中的磁場強度與磁芯外繞組窗口中的磁場強度一致，且也認為高頻變壓器軸向場強的磁路長度等于利茲線繞組的高度，然而這并不符合實際情況。以上近似處理均會使Tourkhani公式求解高頻變壓器圓形利茲線繞組損耗的精度降低。

綜上所述，還需提出精度更高的圓形利茲線繞組損耗的解析公式，使其適用于較高頻率范圍內的圓形利茲線高頻變壓器繞組損耗的準確計算。

3 結 論

圓形利茲線憑借其靈活的繞線形式而在高頻變壓器繞組中有著較為廣泛的應用，而目前專門用于圓形利茲線高頻變壓器繞組損耗計算的解析公式僅為Tourkhani公式，且該公式已用于高頻變壓器繞組的全局優化設計當中。然而，尚未有人對其精度進行客觀的實驗驗證。通過相關研究，得到以下結論：

(1)本文設計并制作了兩臺圓形利茲線高頻變壓器樣機，首次利用實驗驗證了Tourkhani公式的精度，發現它的最大誤差可達到63.1%。其根本原因在于該公式內在的基本假設并不符合實際高頻變壓器圓形利茲線繞組的磁場分布情況。此外，推導過程中的多處近似處理也是使其精度降低的原因。

(2)從寬頻范圍的繞組損耗結算結果可以看出，Tourkhani公式與Dowell公式的計算結果僅在低頻范圍內重合，但在高頻范圍內，Tourkhani公式與Dowell公式的計算結果不再吻合，而是Tourkhani公式呈現較大誤差。因此，Dowell公式的整體綜合性能優于Tourkhani公式，建議在圓形利茲線高頻變壓器繞組損耗的計算中選用Dowell公式。

(3)Tourkhani公式與Dowell公式均不能在寬頻范圍內較為準確地計算圓形利茲線高頻變壓器繞組損耗，提出更為精確的圓形利茲線高頻變壓器繞組交流損耗解析計算方法還需國內外學者的共同努力和更為深度的研究。