基于殼單元模型的箔片氣體動壓軸承靜、動態特性分析

曹遠龍，劉亞春，伍奕樺

(1.南華大學 a.機械工程學院；b.數理學院，湖南 衡陽 421001；2.湖南農業大學 機電工程學院，長沙 410125)

1 概述

箔片氣體動壓軸承依靠動壓氣體潤滑和箔片結構的變形特性，消除了滑動軸承中的油潤滑系統，獲得了無油潤滑、低耗能、高效率輸出等優點，被廣泛應用于微型燃氣輪機[1]、無油渦輪增壓器[2]、燃料電池空壓機[3-4]、空氣制冷機[5-6]等高性能機械設備中。箔片氣體動壓軸承由頂箔、波箔和軸承套組成，如圖1所示，由于重力作用，轉子偏離軸承中心，與頂箔組成收斂域和擴散域，低黏度氣體被轉子帶入收斂域，氣體轉速降低產生高壓氣膜支承轉子。波箔與頂箔和軸承套相互摩擦而具有一定的彈性剛度和阻尼，可容納轉子的大偏心振動[7-8]。

圖1 箔片氣體動壓軸承結構示意圖

然而，箔片結構變形與氣膜壓力的非線性關系導致預測箔片氣體動壓軸承的性能非常困難[9]。相關學者對如何建立有效的箔片結構模型預測軸承性能做了一定研究：文獻[10]利用軸向剛度相同的剛度系數代替波箔和頂箔，忽略箔片凹陷和摩擦引起的非線性作用，建立并聯剛度系數模型，耦合雷諾方程，分析了結構參數(波箔的節距、厚度、間隙等)和運動參數(轉速等)對軸承動態特性系數的影響；文獻[11]用若干垂直彈簧和水平彈簧等效箔片的徑向剛度和周向剛度，提出了一種預測箔片氣體動壓軸承動態特性系數的有限元方法，分析了頻率、軌道尺寸和摩擦因數的影響；文獻[12]用箔片結構參數的剛度經驗公式組成空間剛度矩陣，基于計算流體動力學軟件求解納維葉-斯托克斯方程，分析了箔片結構參數與軸承承載力的關系，流體膜厚度、頂箔撓度、流體壓力與承載角的關系，以及負載能力與波箔和頂箔剛度的關系；文獻[13]分析了頂箔的一維和二維有限元模型對箔片氣體動壓軸承性能的影響，頂箔二維模型中面處的最小氣膜厚度預測較大，軸承兩端的最小氣膜厚度預測較小，頂箔一維模型能體現頂箔變形引起的周向氣膜波浪形輪廓，最小氣膜厚度與試驗結果吻合較好，與僅考慮波箔模型相比，頂箔一維和二維模型均低估了軸承直接剛度系數和直接阻尼系數；文獻[14-16]建立考慮箔片與頂箔、軸承套之間局部摩擦力的鐵木辛柯梁模型，基于該模型分析發現靜載荷、載荷角、滑動摩擦因數和擾動幅值對軸承剛度和阻尼系數的影響表現為非線性和各向異性，其值受接觸面間滑動摩擦因數和載荷角的影響較大，給出了實現庫侖阻尼和最優結構剛度的方法；文獻[17-18]利用8個彈簧模擬2個節點和3個自由度的箔片變形和摩擦效應，利用能量法和卡氏定理獲得每個彈簧的剛度系數，利用計算結構的動態滯回曲線驗證箔片的剛度和阻尼特性；文獻[19]采用2個剛性桿和1個水平彈簧等效箔片結構，提出箔片的支承剛度和結構間接觸變形的Link-spring模型，分析了箔片摩擦參數、氣膜間隙對軸承承載力的影響，結果表明存在最佳氣膜間隙使軸承承載力最大；文獻[20]基于能量法建立考慮箔片間摩擦作用、箔片平面段側向偏轉及其與軸承套分離情況的新模型，結果表明箔片平面段的橫向變形會影響箔片整體變形，進而影響軸承承載力；文獻[21]采用LuGre動態摩擦模型捕捉歐拉梁單元黏滑狀態，分析摩擦因數和擾動量對轉子系統線性和非線性穩定性的影響，結果表明摩擦因數和擾動量直接影響箔片結構的黏滑狀態，轉子系統非線性穩定的最優摩擦因數要高于線性穩定的最優摩擦因數。

上述箔片氣體動壓軸承理論模型大多假設箔片支承剛度沿軸向均勻分布，但相對集中的壓力分布會使結構產生變形，進而影響箔片支承剛度。此外，箔片支承剛度軸向均勻假設不適用于其他類型的箔片氣體動壓軸承，如推力軸承。鑒于此，采用殼單元模擬箔片結構，考慮箔片在氣膜壓力作用下的凹陷和運動，以及波箔、頂箔和軸承套之間的相互作用，耦合有限差分法求解雷諾方程，建立預測箔片氣體動壓軸承性能的仿真分析模型，并對軸承的靜、動態特性進行分析。

2 理論模型

2.1 箔片結構模型

由于氣體軸承中頂箔和波箔呈現一定的弧度，且厚度遠小于其長度和寬度，采用退化殼單元模擬箔片結構，退化殼單元有4個節點，每個節點有6個自由度，可以考慮殼單元的平移、轉動以及橫向剪切變形[20-22]，如圖2所示。

圖2 頂部和波箔的曲線和節點坐標

殼體內任一點的位移u，v，w可由中面上節點的3個位移uk，vk，wk以及3個轉角β1k，β2k，β3k表示，其中β3k=0(即不考慮箔片面內的轉動)，即

(1)

-1≤ξ≤1，-1≤η≤1，-1≤ζ≤1，

已知殼體位移函數，其空間應變分量可表示為

{εxxεyyεzzγxyγyzγzx}T=

[B1B2…Bn]{δ1δ2…δn}T，

(2)

Bk=

δk={ukvkwkβ1kβ2k}，

由殼單元理論可知，中面法線方向的應力始終為0[24]。局部坐標系(v1k，v2k，v3k)中的應力σ′和應變ε′的彈性關系可表示為

σ′=D′ε′，

(3)

D′ =

式中：D′為彈性矩陣；E,ν分別為材料的彈性模量和泊松比。

考慮(3)式中局部坐標系的彈性矩陣需要轉換到全局坐標系矩陣下[24]，轉換后的矩陣為

(4)

根據最小勢能原理，單元剛度矩陣可表示為

(5)

另外，局部坐標系中的轉動自由度也需要轉換到全局坐標系下，用于實現單元節點剛度連接，全局坐標系下單元節點自由度可表示為

{δk}global=Trotδk′=

(6)

因此，殼單元的全局剛度矩陣可以表示為

(7)

2.2 雷諾方程

潤滑氣體與箔片結構的耦合過程是預測氣體軸承性能的關鍵。頂箔與轉子包圍的收斂域內的氣膜壓力可以用雷諾方程計算[26]，即

(8)

考慮箔片變形時的氣膜厚度為

(9)

作用在頂箔上的載荷向量為

(10)

由于箔片的受力和變形不同，箔片在軸向和周向的摩擦力不同，可以通過集中載荷向量補充到(10)式中。

3 模型驗證

以文獻[19,27]的箔片氣體動壓軸承為例，主要結構參數見表1，頂箔和波箔的固定端垂直向上，頂箔和波箔材料為X-750。轉速為30 000 r/min,載荷為134.1 N。

表1 箔片氣體動壓軸承的主要結構參數

箔片氣體動壓軸承中面處的氣膜厚度預測和試驗結果對比如圖3所示：預測和試驗結果吻合較好，驗證了模型的正確性。在周向位置大于180°處出現氣膜厚度最小值，且伴隨波動。產生這種現象的原因為：1)氣體進入收斂區，轉速降低，

圖3 箔片氣體動壓軸承中面處的氣膜厚度

積聚并壓縮氣體形成高壓氣膜，高壓氣膜產生作用于轉子且沿轉動方向的切向力，使轉子偏離載荷方向，即最小氣膜厚度偏離180°；2)由于波箔凸起位置的箔片剛度大于波箔相鄰凸起之間的頂箔剛度，在高壓氣膜作用下前者的變形小于后者，不均勻變形使氣膜厚度產生波動。

4 箔片氣體動壓軸承靜、動態特性分析

同樣以第3節的箔片氣體動壓軸承為例分析。

4.1 靜態特性

4.1.1 載荷對軸承靜態特性的影響

轉速為30 000 r/min，名義間隙為31.8 mm時，不同載荷下轉子的偏心率和姿態角如圖4所示：隨載荷增大，姿態角減小，偏心率增大。這是由于隨載荷增大，可壓縮性氣體只有減小體積才能提高氣膜壓力以支承轉子載荷沿姿態角方向和垂直姿態角方向的分力，使轉子遠離軸承中心，并沿載荷方向移動。

圖4 載荷對轉子偏心率和姿態角的影響

4.1.2 轉速對軸承靜態特性的影響

載荷為10 N，名義間隙為31.8 mm時，不同轉速下轉子的偏心率和姿態角如圖5所示： 兩者均隨轉速升高而減小。這是由于轉速升高時單位時間內更多的氣體進入收斂域，形成較大的動壓效應，提高了氣膜剛度，使轉子向軸承中心移動，轉子移動會使氣膜間隙增大，降低高壓域內的氣膜壓力，進而減弱氣膜對轉子的切向作用力。

圖5 轉速對轉子偏心率和姿態角的影響

4.1.3 長徑比對軸承靜態特性的影響

轉速為30 000 r/min，載荷為10 N，軸承直徑為38.1 mm時，不同長徑比(軸承長度與直徑的比值)下轉子的偏心率和姿態角如圖6所示：隨長徑比增大，偏心率減小，姿態角增大，說明轉子向軸承中心移動。這是由于長徑比增大(增大軸承長度)，使氣膜的高壓域范圍增大，既提高了氣膜支承轉子的作用力，又提高了氣膜切向力，推動轉子沿轉動方向偏移。

圖6 軸承長徑比對轉子偏心率和姿態角的影響

4.1.4 氣膜間隙比對軸承靜態特性的影響

轉速為30 000 r/min，載荷為10 N，名義間隙為38.1 mm時，不同間隙比(計算間隙與名義間隙的比值)下轉子的偏心率和姿態角如圖7所示：兩者均隨間隙比增大而增大，間隙比較小時，轉子接近軸承中心。這是由于小間隙比時可以產生較大的氣膜剛度，減小了轉子偏移。此外， 小間隙比會使氣膜厚度沿周向均勻分布，轉子所受切向力減小，轉子接近軸承中心。隨間隙比增大，高壓域面積減小，氣膜剛度減小，轉子遠離軸承中心。

圖7 間隙比對轉子偏心率和姿態角的影響

4.2 動態特性

4.2.1 載荷對軸承動態特性的影響

轉速為30 000 r/min,名義間隙為31.8 mm時，不同載荷下的箔片氣體動壓軸承動態特性系數如圖8所示：1)隨載荷增大，動態直接剛度系數明顯增大，尤其是x方向，這是由于沿x，y方向的力Fx，Fy隨載荷增大而增大，且Fx增大明顯，這些力迫使偏移的轉子與頂箔之間形成明顯的收斂域，提高了氣膜壓力，使軸承動態剛度系數增大；2)大載荷時較大的氣膜壓力會使箔片產生局部變形，形成多個氣膜壓力波峰，降低了軸承動態直接阻尼系數Cxx；3)2個交叉剛度系數略有增加，差值(Kxx-Kyy)先減小后增大。動態直接阻尼系數減小和(Kxx-Kyy)增大會使系統能耗降低，轉子運行不穩定。

圖8 載荷對軸承動態特性系數的影響

4.2.2 波箔凸起周向間隔角對軸承動態特性的影響

轉速為30 000 r/min，名義間隙為38.1 mm時，不同波箔凸起周向間隔角(相鄰凸起的夾角)下的箔片氣體動壓軸承動態特性系數如圖9所示：1)動態剛度系數幾乎不受周向間隔角影響；2)動態阻尼系數在低載荷下幾乎不受周向間隔角影響，在高載荷下受周向間隔角的影響,這是因為在低載荷時氣膜壓力穩定，在高載荷時由于結構變形氣膜壓力波動較大。

圖9 波箔凸起周向間隔角對軸承動態特性系數的 影響

4.2.3 頂箔、波箔厚度對軸承動態特性的影響

轉速為30 000 r/min，載荷為10 N時，不同頂箔、波箔厚度下的箔片氣體動壓軸承動態特性系數見表2：動態剛度系數和動態阻尼系數隨頂箔、波箔厚度變化不明顯。結合圖9可知：對于具有一定結構剛度的箔片軸承，經氣膜離散的低載荷不會引起箔片結構變形，改變箔片數量和厚度對氣膜分布無影響；大載荷時，選擇合適的箔片數量和厚度可以改善軸承動態特性。

表2 不同頂箔、波箔厚度下的軸承動態特性系數

4.2.4 長徑比對軸承動態特性的影響

轉速為30 000 r/min，載荷為10 N，名義間隙為38.1 mm時，不同長徑比下的箔片氣體動壓軸承動態特性系數如圖10所示：隨長徑比增大，動態直接剛度系數和動態直接阻尼系數明顯增大，交叉剛度系數減小，交叉剛度的差值(Kxy-Kyx)基本不變。說明長徑比增大可以改善氣膜的軸向分布，并容納更多的氣體來“硬化”軸承。大長徑比的軸承動態直接阻尼系數的增大說明消耗轉子振動的能力增強，有利于系統穩定；但轉子高速運轉時可能會產生圓錐形模態振動，大長徑比的箔片結構將增加轉子和軸承邊緣碰撞的可能性。

圖10 長徑比對軸承動態特性系數的影響

4.2.5 氣膜間隙比對軸承動態特性的影響

轉速為30 000 r/min，載荷為10 N，名義間隙為38.1 mm時，不同間隙比下的箔片氣體動壓軸承動態特性系數如圖11所示：1)隨間隙比增大，動態直接剛度系數和動態直接阻尼系數快速下降，最終趨于穩定,說明氣膜間隙增大將使軸承變“軟”，消耗振動的能力減弱；2)當間隙比較小時，動態剛度系數和動態阻尼系數較大，特別是當間隙比小于0.7時，交叉剛度系數的差值(Kxy-Kyx)為負，此時動態阻尼和(Kxy-Kyx)的耗能為正數，有利于系統的穩定性[26]，但小氣膜間隙的軸承會導致起飛過程中的起飛扭矩和速度增大。

圖11 間隙比對軸承動態特性系數的影響

5 結論

采用殼單元模擬箔片結構，考慮箔片在氣膜壓力下的凹陷和運動，以及波箔、頂箔和軸承套之間的相互作用，建立預測箔片氣體動壓軸承性能的仿真分析模型，耦合有限差分法求解雷諾方程，分析了軸承的靜、動態特性，得出以下結論：

1)載荷增大會使轉子遠離軸承中心，大負載轉子的運動狀態變化需要更多的能量，適當增加載荷可以提高軸承穩定性；

2)轉速增大會使轉子向軸承中心移動，轉速越大，轉子振動越大，越不穩定；

3)在低載荷下改變箔片數量和厚度對軸承性能影響不大；

4)可以通過優化氣膜間隙改善軸承性能，存在一個最優氣膜間隙使軸承承載力最佳，但小氣膜間隙會導致起飛過程中的起飛扭矩和速度增大，應慎重選擇。