基于POD-BPNN模型的熱啟動策略及其在氣動代理優化中的應用

賈續毅，李春娜，常琦，季穩

（1.西北工業大學陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072）（2.火箭軍裝備部 裝備項目管理中心，北京 100085）

0 引言

隨著計算機技術的發展，計算流體力學（Computational Fluid Dynamics，簡稱CFD）成為獲取高可信度氣動數據的主要手段并被大量應用于氣動優化設計。梯度優化算法和啟發式優化算法是當前常用的氣動優化設計算法。相比于梯度優化算法，差分進化（Differential Evolution，簡稱DE）算法、粒子群算法等啟發式優化算法具有更好的全局搜索能力，從而在氣動優化中得到廣泛使用。但是，該類算法在氣動優化過程中需要進行成千上萬次CFD仿真，導致優化效率低下。為了兼顧全局搜索能力和優化效率，代理優化（Surrogatebased Optimization，簡稱SBO）應運而生。

SBO具有設計效率高、全局優化能力好、魯棒性高等特點，在具有高維設計變量、多目標等工程優化問題中具有良好的應用前景。目前已發展了Kriging模型、徑向基函數（Radical Basis Function，簡 稱RBF）、多 項 式 混 沌 展 開、神 經 網絡等多種代理模型建模方法。在氣動SBO中，代理模型建立了從氣動外形參數到氣動力的映射關系。SBO本質上降低了CFD計算次數但沒有改善單次CFD計算時間，且沒有有效使用CFD的流場信息。

機器學習技術在氣動力建模、流場降階、流動特征提取等流體力學領域得到大量應用和發展，S.A.Renganathan等使用深度神經網絡和高斯過程實現了氣動外形的優化設計，但該方法仍為梯度優化；Sun Z W等、Huang D M等使用具有特征提取能力的降階模型如本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，簡稱POD）和具有高效建模能力的神經網絡模型建立了從氣動外形參數到流場信息的映射關系，實現了流場預測。常用的神經網絡包括反向傳播神經網絡（Back Propagation based Neural Network，簡 稱BPNN）、徑 向 基 函 數 神 經 網 絡等，Zhu L等使用徑向基函數神經網絡構建的渦黏預測模型代替了CFD求解中的湍流模型，通過與N-S方程耦合求解降低了單次CFD計算時間，但是該方法需要對CFD求解器進行相應修改，對于優化設計人員，鮮見成熟的、已嵌入湍流建模的求解器可供使用。

本文以氣動優化為研究對象，首先，結合SBO和機器學習流場預測模型的特點，提出一種基于本征正交分解—反向傳播神經網絡（POD-BPNN）模型的熱啟動策略，并將其嵌入SBO；然后將該策略應用于跨聲速翼型減阻優化，并對優化結果進行分析；最后通過案例對優化效率、POD-BPNN的流場預測性能、熱啟動策略的效果進行分析。

1 優化策略

1.1 優化總流程

氣動優化中所涉及的單目標優化問題可以表示為

針對以上氣動優化問題，本文結合SBO和POD-BPNN流場預測模型，提出一種基于PODBPNN的熱啟動策略并將其應用于氣動代理優化。以翼型氣動減阻優化為例，優化策略的總流程如圖1所示，具體分為以下5個步驟。

圖1 優化流程Fig.1 Procedure of the optimization

（1）生成初始樣本庫

使用拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，簡稱LHS）在幾何設計空間中抽取r-1組幾何參數，并與基準外形共同構成初始外形庫，共計r個外形。然后生成基準外形的氣動網格，并基于該網格利用RBF網格變形技術生成其他r-1個外形的氣動網格。RBF網格變形方法具有良好的魯棒性和較高的計算效率，可以解決復雜的網格變形問題，并在后續氣動優化過程中也使用該方法獲得氣動網格。最后通過CFD計算模塊得到r個外形的流場數據和氣動力。

（2）建立初始氣動預測模型

使用Kriging模型直接建立從幾何參數到氣動力的氣動力預測模型Model 1，使用POD和BPNN建立從幾何參數到流場數據的流場預測模型Model 2，具體建模流程如圖2所示。

圖2 氣動預測模型Fig.2 Procedure of the aerodynamic prediction model

（3）流場預測及CFD熱啟動計算

對于優化模塊得到的兩組新的設計變量，通過Model 2預測相應的流場數據Y′和Y′，預測過程詳見1.5節；并將Y′和Y′作為CFD熱啟動計算的初場進行熱啟動計算，計算得到真實氣動力p、p，真實目標函數y、y和真實流場數據Y、Y。

（4）更新氣動預測模型

每完成一輪CFD熱啟動計算，判斷優化是否終止，若判斷出優化仍將繼續，則將新樣本添加到樣本庫。由于Kriging建模效率高，每完成一輪CFD熱啟動計算，就將(x，p，y)和(x，p，y)添加到Kriging模型并重新建立Model 1；而PODBPNN模型的建模效率較低，每完成k輪CFD熱啟動 計 算，把2k個 樣 本 流 場 數 據(x，Y)，j=1，2，…，2k，添加到POD-BPNN模型并重新訓練得到新的Model 2。

（5）重復進行步驟（2）～步驟（4），直到優化終止。

1.2 Kriging模型

Kriging模型具有較好的非線性擬合能力，能夠提供插值點的預測函數值和統計學誤差估計信息，該誤差估計信息可以用于動態加點，因此，本文使用Kriging模型用于氣動代理優化過程。

Kriging模型可以表示為

Kriging模型的具體推導詳見文獻［5］。

1.3 POD模型

具有高維、復雜特征的流場數據可以通過降階模型實現其在低維空間的映射和流場特征的提取。在氣動優化問題中會生成一定規模的高維流場數據，可以通過建立POD降階模型，將高維流場數據近似表示為若干階基模態的線性疊加。

當前s階基模態的能量占比達到一定值時，X()

能夠以低誤差率近似表示為

式中：U′為U的偽逆矩陣。

通過POD降階模型實現了高維數據X到低維基模態系數ξ的映射。除了上述一般的POD求解方法，還有Snapshot-POD、基于SVD分解的POD等，它們的區別只是求解方法不同，但都會獲得相同的POD基模態等信息。通常，當m?r時，使用一般的POD可以加快速度節省計算內存；當m?r時，使用Snapshot-POD可以加快速度節省計算內存。

1.4 BPNN模型

BPNN作為神經網絡的一種，對較低維度的多輸入多輸出數據具有較強的非線性擬合能力。典型的單隱含層BPNN架構如圖3所示，圖中輸入層、隱含層和輸出層的神經元分別用x(i=1，2，…，n)、z(j=1，2，…，b)和y(k=1，2，…，s)表示，該模型實現了n維輸入到s維輸出的建模。通過調整隱含層的層數、各層神經元個數、各層間的激活函數類型、學習率等超參數，可以使模型具有較好的擬合能力和泛化能力，實現對新樣本輸出值的穩健預測。BPNN的具體建模過程詳見文獻［27］。

圖3 BPNN架構Fig.3 Architecture of BPNN

1.5 POD-BPNN流場預測模型

結合POD模型和BPNN模型，可以構建出POD-BPNN流場預測模型。

針對在設計空間中抽樣獲取的r組二維外形，其幾何設計參數為x(i=1，2，…，r)，x為n維列向量，通過CFD計算得到對應的流場數據：壓強P、速度U、速度V、溫度T、密度ρ，這五個物理場數據均為m×r階矩陣，m為氣動網格的網格數量。以 壓 強 場P=[P，P，…，P]（P為m維 列 向量）為例，對其建立POD模型，得到壓強場均值μ（m維列向量）、基模態系數ξ（s維列向量）、映射矩陣U（s×m階矩陣），且有：

對幾何設計參數x和基模態系數ξ建立BPNN模型，模型的輸入維度為n，輸出維度為s。把訓練好的BPNN模型所表征的輸入輸出映射關系記為ψ，即ξ=ψ(x)，則通過POD和BPNN可以建立幾何設計變量x和壓強場P的映射關系：

式（7）為POD-BPNN流場預測模型。

對于設計空間的任一設計變量x，可以通過POD-BPNN模型中的BPNN預測其基模態系數ξ：

然后通過POD模型的μ和U重構出壓強場的預測值P：

同樣可以通過對物理場U、V、T、ρ建立PODBPNN模型，從而快速獲得這些物理場的預測值，具體預測流程如圖4所示，模型的輸入為幾何設計變量，由優化模塊給出；模型的輸出為各個物理量的流場預測數據，并作為計算初場傳遞給CFD熱啟動計算模塊。

圖4 使用POD-BPNN進行流場預測Fig.4 Prediction of the flowfield by POD-BPNN

1.6 效率分析

對于氣動代理優化中是否應用基于PODBPNN的熱啟動策略進行計算時間分析對比。優化的初始樣本個數為r，優化過程共調用λk+b次優化模塊，其中λ，k∈N，b=0，1，…，k-1。當不使用基于POD-BPNN的熱啟動策略時，優化總時間T為

當使用基于POD-BPNN的熱啟動策略時，優化總時間T為

可以得到如下關系：

使用基于POD-BPNN的熱啟動策略，氣動代理優化的時間節省量Δ為

2 案例分析

2.1 優化問題描述

本文以RAE2822翼型為優化的基準翼型，優化 設 計 工 況：Ma=0.734，α=2.79°，Re=6.5×10，優化問題的數學模型為

式中：C、C和C分別為當前翼型的升力、阻力和俯仰力矩系數；C和C分別為基準翼型的升力和俯仰力矩系數；A和A分別為當前翼型和基準翼型的面積，為無量綱化數值。

2.2 參數化及網格收斂性分析

本文采用CST（Class-function Shape-function Transformation）參數化方法，采用6階伯恩斯坦多項式，共14個設計變量?；鶞室硇途W格收斂性分析如表1所示，表中網格均采用結構/非結構混合網格形式，這四套網格的物面網格疏密程度不同，根據C和C的數值對比確定出氣動優化所使用的氣動網格為Ⅲ，網格數量約為4.7萬，遠場邊界為70c（c為翼型弦長，這里c取無量綱數1）；物面第一層網格高度為5.0×10c。采用網格Ⅲ得到的CFD仿真結果與實驗值以及文獻［7］中仿真結果對比如表2所示，翼面壓力系數分布與實驗值的對比如圖5所示，可以看出：本文的升力系數計算結果與實驗值相差不到3%；阻力系數與實驗值相差不到5%；力矩系數與實驗值相差不到11%，與文獻［7］相差不到3%；壓力系數分布曲線與實驗值基本吻合，說明本文的CFD計算具有一定準確性。

表1 基準翼型的氣動網格收斂性分析Table 1 Grid convergence analysis for the baseline

表2 基準翼型的力系數計算結果對比Table 2 Validation of CFD simulation for the baseline

圖5 RAE2822翼型壓力系數分布與實驗值對比Fig.5 Comparison of pressure coefficient distribution of RAE2822

基準網格為網格Ⅲ。使用RBF網格變形技術獲得其他外形的氣動網格，網格變形前后的氣動網格對比如圖6所示，可以看出：變形后網格的網格質量與基準網格基本保持一致。

圖6 網格對比Fig.6 Comparison of grids

2.3 優化參數設置

初始樣本通過LSH獲取，抽取個數為n( )n-1 2，n為設計變量個數，剔除計算不收斂樣本，得到有效樣本89個。優化中參數k的取值為5，即每完成5輪優化模塊的調用，進行一次PODBPNN預測模型的更新，既可以保證流場的預測精度，又能夠避免由于重復建立POD-BPNN而降低模型效率。

2.4 優化結果及分析

目標函數隨著加點個數的收斂歷程如圖7所示。優化前后的氣動性能對比如表3所示，可以看出：對比基準翼型，優化后阻力系數C降低了約0.006 3，優化得到的翼型相比于基準翼型阻力系數減小了35.8%，升力系數、面積和力矩系數均滿足約束條件。

圖7 目標函數的收斂曲線Fig.7 Convergence curve of goal function

表3 優化前后的氣動性能對比Table 3 Compare of aerodynamic performance of baseline and optimum shape

優化前后的翼型幾何形狀和翼面壓力系數分布對比如圖8～圖9所示。

圖8 優化前后翼型對比Fig.8 Compare of baseline and optimum shape

圖9 優化前后翼面壓力系數分布對比Fig.9 Comparison of pressure coefficient distribution of baseline and optimum shape

優化前后翼型的壓強場云圖對比如圖10所示，可以看出：優化后上表面的強激波得到有效削弱，減阻優化效果明顯。

圖10 優化前后壓強云圖對比Fig.10 Comparison of pressure field of baseline and optimum shape

由于POD-BPNN僅在SBO中加入樣本預測流場及CFD熱啟動計算，不會對SBO的相關參數、優化過程和優化結果產生影響。因此僅對本文策略和SBO進行效率對比分析，結果如表4所示，可以看出：本文策略相比于SBO，單次CFD計算時間降低約68%，整體效率提升約37%。

表4 計算時間分析Table 4 Time-consuming analysis

在SBO中使用POD-BPNN對某一新加樣本點的流場預測效果如圖11所示，可以看出：PODBPNN在上翼面距離前緣60%c位置附近的壓強預測效果較差，而在非激波位置處的等壓線擬合均較好。

圖11 POD-BPNN對壓強場的預測效果Fig.11 Forecast result of pressure field by POD-BPNN

給出最優外形下兩個方法的收斂曲線如圖12所示，可以看出：CFD需要約900步完成C和C的計算收斂，而使用基于熱啟動策略的CFD計算僅需200步左右就可以完成C和C的計算收斂。

圖12 兩種方法的收斂曲線Fig.12 The convergence curves of the two methods

在整個代理優化過程中，初始樣本和新加樣本點的CFD計算的收斂步數如圖13所示，其中使用CFD計算的初始樣本收斂步數，數值集中在800步左右；采用基于POD-BPNN熱啟動策略的新加樣本點的計算收斂步數，數值集中在200步左右，新加樣本點在使用基于POD-BPNN模型的CFD熱啟動計算后，其收斂步數整體上低于使用CFD計算的初始樣本收斂步數，CFD熱啟動計算失敗的情況主要集中在加點的前期。熱啟動計算失敗的樣本量為9個，占整個熱啟動樣本量的5.8%，當在計算中出現該情況，只需切換為CFD計算即可。

圖13 氣動計算的收斂步數分析Fig.13 Analysis of convergence steps for aerodynamic calculation

POD-BPNN模型對每個新加樣本點壓強場的預測均方根誤差如圖14所示，可以看出：預測誤差呈現初期大、后期小的趨勢，這與圖13中CFD熱啟動失敗集中在加點前期的現象是一致的。

圖14 POD-BPNN模型對壓強場的預測誤差Fig.14 The RMSE of pressure flowfiled by POD-BPNN

3 結論

（1）針對翼型跨聲速減阻優化算例，使用基于POD-BPNN模型的熱啟動策略進行氣動代理優化，獲得了減阻明顯的優化翼型，在優化中單次CFD計算時間降低了68%，整體優化效率提升了37%。

（2）由于POD-BPNN模型的建立相比于Kriging需要耗費一定時間，但是Kriging模型隨著優化模塊的調用實時更新；而POD-BPNN模型在調用多次優化模塊后再進行更新，可以有效提高建模效率。

（3）POD-BPNN流場預測模型中使用了POD，而POD的建模效率很高，因此POD-BPNN的建模效率與網格量的相關性較小。在氣動網格數目較多的三維外形氣動優化中，該策略的引入使得優化效率的提升更加顯著。

（4）使用POD-BPNN模型的預測流場作為初場進行CFD熱啟動計算可能會產生計算不收斂的情況導致計算失敗，該比例不超過6%?？梢酝ㄟ^提高模型預測精度來有效降低熱啟動計算失敗的概率。