兩參數布朗運動增量的一個泛函對數律

張晴晴， 劉永宏

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

布朗運動也可稱為維納過程，作為具有連續時間參數和連續狀態空間的一個隨機過程，是隨機過程學科中最簡單、最基本、最常見的隨機過程之一[1]。隨著科學技術的進步，人們越來越意識到現實生活中影響某種隨機現象的因素不是單一的，如天氣變化，除了緯度位置，還與大氣環流、海陸分布等因素相關。這促使學者尋找某種途徑，把單參數情形所得到的結論推廣到更為復雜的多參數情形。在多參數布朗運動中，兩參數布朗運動最具代表性[2]。

布朗運動與兩參數布朗運動的重對數律[3]問題研究最為廣泛。畢秋香等[4]證明了在一定的假設條件下，廣義布朗運動服從重對數律，得到并證明了相應的結果；文獻[5-8]利用布朗運動在H?lder范數下的大偏差，得到了布朗運動增量在H?lder范數下的局部Strassen重對數律。文獻[9-10]通過建立兩參數布朗運動增量的大偏差結果，得到了在矩形集上兩參數布朗運動大增量和小增量的Cs?rg?-Révész型增量Strassen重對數律；許杰等[11]利用兩參數布朗運動增量的大偏差，得到了一類兩參數布朗運動過程的連續模的情形。

鑒于此，針對兩參數布朗運動對數律問題，給出了兩參數布朗運動增量的大偏差，得到了兩參數布朗運動的泛函對數律，并進行了證明。

1 預備知識

C0={f∈C;f(0,t)=f(s,0)=0}，

設函數I:C0→[0,∞]，定義如下：

設au:(0,∞)→(0,∞)為非減連續函數，滿足：

1)au≤u，對任何u∈(0,∞)；

2)u/au非減；

定義

Δ(s,t,aux,auy)=w(s+aux,t+auy)-

w(s+aux,t)-w(s,t+auy)+w(s,t)，

0≤s≤u-au,0≤t≤u-au,(x,y)∈[0,1]2。

設

K={f∈H;2I(f)≤1}。

定義

Zs,t,u(x,y)=γuΔ(s,t,aux,auy)。

2 主要結果

定理1若1)～3)成立，則有

(1)

且對任意的f∈K，

(2)

3 若干引理

引理1[10]對任何閉集F?C0，

對任何開集G?C0，

引理2[10]對任何0

引理3設f∈H，定義

f*(·,·)=f(λ·,λ′·)，

其中λ,λ′<1，則

‖f-f*‖≤{((1-λ)(1-λ′))1/2+(1-λ)1/2+

(1-λ′)1/2}‖f‖H。

‖f(·,·)-f*(·,·)‖=

{((1-λ)(1-λ′))1/2+

(1-λ)1/2+(1-λ′)1/2}‖f‖H。

引理4[12](博雷爾-坎特利引理) 若

則

證明

引理5[13]設{ξn}n≥1為隨機變量序列，若

則存在子列{ξnk}，使得

因此

4 定理1的證明

4.1 式(1)的證明

引理6若1) ～3)條件成立，則存在un→∞，使得

(3)

證明設A={g:‖g-K‖≥ε}，則A為閉集，存在任意小的δ>0，使得

由引理2，有

故有

由引理5，可得

故引理6得證，從而式(1)得證。

4.2 式(2)的證明

引理7若1) ～3)條件成立，則對任意f∈K，存在子列{un=θn,θ>1,n≥1}，使得

(5)

證明設si=iaun,tj=jaun,i,j=0,1,…,

若n足夠大，則有

(6)

若n足夠大，則由大偏差可得

因此，

(7)

若n足夠大，則由式3)有

故有

exp(-4log logun),

(8)

由Borel-Cantelli引理可得：

引理8若1) ～3)條件成立，則對任何f∈K，有

(9)

證明設un如引理7中定義，對u∈(un-1,un]，

有

(10)

則有

可得

(11)

(12)

令θ→1，由式(10)～(12)和引理7，可得式(9)，從而式(2)得證。

5 結束語

對布朗運動增量的重對數律有關問題進行了研究，將兩參數布朗運動問題和單參數布朗運動問題進行對比，發現可以將單參數布朗運動增量的對律推廣到兩參數布朗運動增量的情形。通過對兩參數布朗運動增量在一致范數下的對數律的探討，今后還可以進一步探究兩參數布朗運動增量在H?lder范數下的對數律以及兩參數布朗運動增量的鐘型重對數律。