芻議函數對稱性的拓展研究
——一道高三?？碱}的解答與思考

胡 榮

(貴州省黔南布依族苗族自治州都勻第一中學,558000)

一、試題呈現

二、背景分析

然而發展至今,此題型也有了升級版(如文首2022年貴州一模(理)第12題),函數的對稱性變得隱蔽而不容易觀察了,這就為我們的解題提出了新的挑戰.因此,本文重點針對中心對稱函數,圍繞兩個問題進行分析與思考:一是怎樣判定中心對稱函數?二是如何確定中心對稱函數的對稱點?

針對中心對稱函數,已提出的相關結論有[1][2]:

(1)若函數y=f(x)是奇函數,則函數y=f(x-m)+n的圖象關于點(m,n)成中心對稱

(3)對于不同的函數f(x)與g(x),若其對稱中心分別為(m,n)和(m,q),則其和函數h(x)=f(x)+g(x)的對稱中心為點(m,n+q).

本文在這些結論的基礎上,以文首試題為出發點,進一步探究對稱函數的新結論.

三、試題解答

分析通過構造兩個具有相同對稱中心的函數,將所有交點坐標之和利用對稱中心的坐標來表達.注意函數f(x)在對稱中心點處無定義,則f(x)與g(x)有偶數個交點.

評注本題呈現的兩個函數都是不能直接觀察出中心對稱性的,對構造中心對稱函數有較高要求.此題雖能讓學生意識到要利用函數對稱性解決問題,但受阻于不能判定對稱性,不能確定對稱中心,導致學生陷入盲目,無從下手.通過對此題的分析與思考,本文對中心對稱函數進行了如下推廣,力圖幫助學生在遇到此類問題時能把握核心與關鍵,能有的放矢地解決問題.

三、問題探究與思考

定理1若函數y=f(x)的對稱中心為點(m,n),則函數g(x)=f(x-a)+f(x)+f(x+a)的對稱中心為點(m,3n).

證明因為g(x)=f(x-a)+f(x)+f(x+a),所以g(2m-x)=f(2m-x+a)+f(2m-x)+f(2m-x-a).

又由y=f(x)的對稱中心為點(m,n),得f(x-a)+f(2m-x+a)=2n,f(x)+f(2m-x)=2n,f(x+a)+f(2m-x-a)=2n.

所以g(x)+g(2m-x)=6n,即函數g(x)是以點(m,3n)為中心的對稱函數.

在定理1基礎上進一步延伸,我們可得到如下定理.

類似地,對于軸對稱函數的圖象,容易得到如下結論.

定理3若函數y=f(x)的對稱軸為x=m,則函數g(x)=f(x-a)+f(x)+f(x+a)也以x=m為對稱軸.

四、變式應用

又因為g(x)=-(x+3)3+5,故g(x)同樣是以點(-3,5)為中心的對稱函數.

變式2已知函數f(x)=ln|x3-3x2+2x|與g(x)=|x-1|+3的圖象有4個交點,則交點的橫坐標之和x1+x2+x3+x4=______.

解由f(x)=ln|x3-3x2+2x|,可得f(x)=ln|x|+ln|x-1|+ln|x-2|.由定理4可得f(x)是以x=1為對稱軸的對稱函數.又因為g(x)=|x-1|+3同樣是以x=1為對稱軸的對稱函數.注意到函數f(x),g(x)在x=1處的函數值不相等,則題設中的4個交點兩兩關于x=1對稱,所以x1+x2+x3+x4=2×2=4.