某型鉆桿幾何縮比及模態參數相似性分析*

廖勝軍 于增輝 侯洪為 王 蕙 國朝健 萬 琦 郭 宇

(1.中海油田服務股份有限公司 2.國防科技大學空天科學學院)

0 引 言

鉆桿是石油鉆探的核心裝備之一。鉆桿工作時承受著相當復雜的外載荷和多樣的邊界約束，其動力學響應復雜多變，特別是當鉆探系統的動力學特性匹配不佳時，容易導致鉆探系統產生強烈共振，進而引發鉆桿產生裂紋、失效甚至斷裂等后果。為確保鉆桿工作的安全性，減少故障發生，降低試井和鉆井成本，不少專家和學者從不同的角度對鉆桿等鉆井設備的動力學特性進行了研究[1-11]。為了解決石油鉆桿等鉆井大型設備動力學方面的問題，試驗測試是最為直接的手段。而對于大型鉆桿的試驗測試，特別是動力學試驗，由于試驗臺的推力與空間限制，原鉆桿試驗往往比較困難。而通過數值仿真與縮比試驗件試驗相結合的方法，獲取鉆桿系統動力學特性是一種很好的選擇。隨著計算機硬件技術與數值仿真軟件功能的發展，這種數值仿真軟件輔以高性能的計算機數值仿真方法，將傳統的“實物試驗-改進實物-再試驗”的試湊式研發模式，向“數值仿真-改進模型-數值仿真-實物驗證”的虛擬樣機與實物驗證的虛實結合研發模式轉變。

然而，數值仿真與縮比試驗件試驗相結合的方法，關鍵是需要明確數值仿真計算的收斂性，以及原尺寸結構件與縮比試驗件之間的參數相似性。目前，已有文獻對鉆桿數值仿真中如何確定滿足收斂要求的單元劃分，以及大型鉆桿試驗中原鉆桿與縮比鉆桿的參數相似性問題的研究尚不充分，也未見探討鉆桿有限元仿真模型收斂性及單元劃分應當遵循的原則，以及縮比鉆桿動力學相似性研究等方面的報道。

鑒于此，筆者通過模態分析基本理論[12-13]和數字仿真技術[14-15]，采用數值仿真與縮比試驗件試驗相結合的方法進行研究。首先，以某大型鉆桿為研究對象，將原鉆桿持續增加有限元單元劃分規模，探討有限元單元劃分規模與結果收斂性之間的關系，由此確定合適的滿足收斂性要求的有限元單元劃分規模；其次，由滿足收斂性要求的單元劃分規模對鉆桿進行建模、仿真，研究原鉆桿與不同幾何縮比鉆桿之間的模態參數相似性，為縮比試驗件的縮比比例與試驗臺的選擇提供依據；最后，通過縮比25%的鉆桿試驗件試驗，將數值仿真結果與縮比試驗件試驗測量值對比，獲取數值仿真的精度，由此可確定該型鉆桿的原尺寸與縮比試驗件之間的模態參數相似性。這種數值樣機仿真與少量模擬試驗件物理樣機試驗相結合的方法，不僅可以大大節約經費，而且顯著縮短試驗周期，也可為鉆桿的研發提供技術支撐。

1 基本原理

將鉆桿幾何縮比用n表示，即n等于縮比結構件尺寸除以實體結構件尺寸，并且原鉆桿與縮比鉆桿的結構與材料相同。

1.1 固有頻率相似性

對于多自由度振動系統，其頻率方程為[12-13]：

K-ω2M=0

(1)

式中：ω為系統的固有頻率；K、M分別為系統的剛度矩陣和質量矩陣。

不失一般性，以單自由度為例研究固有頻率的相似性。則單自由度系統的固有頻率為：

(2)

式中：k、m分別為系統的剛度(N/m)和質量(kg)，大小分別取決于部件的結構尺寸和材料屬性。

縮比結構參數的下標用t表示，原尺寸結構參數的下標用o表示，如kt、mt分別表示縮比結構的剛度和質量，ko、mo分別表示原件的剛度和質量，則有：

ko=kt/n

(3)

mo=mt/n3

(4)

將式(3)、式(4)代入式(2)可得：

(5)

式中：ωt、ωo分別為縮比結構與原件的固有頻率，s-1。

式(5)表明，縮比結構的固有頻率是原件尺寸結構的1/n。由于固有頻率大小僅與結構與材料有關，與載荷無關，故式(5)適用于任何載荷，包括拉壓載荷、彎矩載荷、扭矩載荷、壓力載荷和溫度載荷等。

式(5)描述了縮比結構固有頻率與原件固有頻率的關系，從而可以依據縮比結構試驗獲得的固有頻率而得到原件的固有頻率，該式適用于任何復雜結構或設備。

1.2 振型相似性

為了研究原結構與縮比結構的振型相似性，設兩結構強度相同(等強度假設)。以懸臂梁為例，設梁橫截面積為A，拉壓載荷為F，材料彈性模量為E，懸臂處為X軸坐標原點。在梁軸中心線上選取p個點，即x1，x2，x3，…，xp，梁各點位移d(xi)依據材料力學可以表示為[16]：

(6)

縮比梁與原尺寸梁的位移關系為：

(i=1，2，3，…，p)

(7)

縮比梁各點的位移向量wt、原尺寸梁各點的位移向量wo分別表示為：

(8)

(9)

由式(7)與式(8)、式(9)可得：

wt=nwo

(10)

如果選取任意一位移不為0的點作為參考點(原尺寸梁和縮比梁均取同一個位置作為參考點)，譬如點x2，可對式(10)進行變換：

(11)

(12)

可見式(11)和式(12)右邊分別是縮比梁與原尺寸梁的振型，分別用ut和uo表示。由式(8)～式(12)得：

ut=uo

(13)

式(13)表明，在縮比梁與原尺寸梁的振型參考點選取同一個位置時，縮比梁振型與原尺寸梁振型相同，與幾何縮比n無關。

2 某型鉆桿模態分析

為研究鉆桿的模態，本文以某大型鉆桿為研究對象。該鉆桿的幾何模型如圖1所示。鉆桿模型上端面直徑為114.8 mm，下端面直徑為159.0 mm，整個模型長度為3 092.0 mm。該型鉆桿的長徑比為17.4∶1。

鉆桿為15-15HS MAX材料，彈性模量為191.0 GPa，泊松比為0.29，密度為7 750 kg/m3，質量為407.4 kg。

圖1 某鉆桿幾何模型Fig.1 Geometric model of a drill pipe

2.1 模型精度分析

有限元仿真模型的收斂是獲取準確結果的前提。采用MSC.PATRAN建立整個有限元模型，采用MSC.NASTRAN進行模態分析。為提高仿真計算精度，主要采用六面體單元(代號HEX8)，在多孔相交、槽孔相關等結構復雜處采用楔形體單元(代號WEDGE6)和四面體單元(代號TET4)，以精確反映原結構三維形狀。當然，單元規模越大，仿真結果越精確，當單元規模達到一定程度后，過大的單元規模將消耗計算資源。當單元數量達到合適的規模后，仿真結果相當接近真值，已經滿足相對誤差小于5%的精度要求。因此，單元劃分規模不是越大越好，需要尋找一個滿足收斂要求效費比高的單元劃分規模，確定單元劃分時控制邊長的區間，即單元最大邊長、最小邊長與結構最長尺寸之比例，為類似結構的單元劃分規模提供參考。

通過持續增加單元劃分規模(每次增加約25.0%的單元數量)，得到鉆桿有限元仿真模型，以及對應縮比25.0%、縮比12.5%的有限元仿真模型，如圖2所示。

圖2 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的有限元仿真模型Fig.2 Finite element simulation model of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes

1階固有頻率是結構的重要動力學特性參數之一[17]，本文以1階固有頻率的結果來檢驗模型的收斂性。原鉆桿結構單元劃分規模與仿真結果收斂性的關系如圖3所示。圖3中分別劃分了253 142、325 586、413 842、503 210、641 986和793 684個單元的仿真模型，在研究單元劃分規模與精度的關系時，為確保計算精度不變，各縮比模型單元尺寸的相對尺度不變。通常以結果相對誤差e小于5.0%作為收斂準則。為了獲得更高的仿真精度，取相對誤差e為1.8%的劃分規模，即單元劃分數為641 986個，節點數472 705個時，單元劃分規模的性價比較高。

圖3 不同單元劃分規模與仿真收斂性的關系圖Fig.3 Relationship between different element division scale and simulation convergence

為了描述單元劃分規模，以單元邊長與結構尺寸之比來反映縮比和單元尺寸共同作用的結果。仿真計算表明，該劃分規模中最大的單元邊約為鉆桿長度方向的1/500，于幾何突變處適當加密單元，最小單元邊長不超過鉆桿長度方向的1/5 000，即獲取效費比較高的單元劃分規模?；诖藛卧獎澐?，分別對原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%的鉆桿在自由邊界、固支約束、自由-固支約束3種約束下，進行模態參數相似性仿真分析。

2.2 自由邊界模態分析

綜合考慮原鉆桿質量、尺寸與試驗機推力、臺面尺寸，故選擇原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的結構進行比較，各模型的材料性能參數一致。

2.2.1 自由邊界時的固有頻率

自由邊界時，通過仿真分析，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的自由邊界前10個固有頻率如表1所示。

表1 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿自由邊界固有頻率Table 1 Natural frequency of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes at free boundary

2.2.2 自由邊界時的振型

原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由邊界時的1階振型如圖4所示。

圖4 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由邊界時的1階振型Fig.4 First-order vibration mode of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes at free boundary

分析結果表明，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿振型相同。為更好地描述振型之間的關系，可通過任意兩點幅值比與多對應點幅值分布規律來描述。分別在原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿的對應部位，任意選取a和b 2個節點，則前5階振型對應2個節點位移幅值之比如表2所示。從表2可見，同結構同階次的a和b這2節點振型幅值之比相等，表明原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿的振型唯一且相同。

為進一步研究振型的相關性，在原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿上，對應選擇1階振型幅值單調遞減的任意16個節點，對應位置處幅值的變化規律如圖5所示。圖5曲線表明，同一結構上各點幅值呈線性關系，不同結構上對應點的幅值比值相同，說明1階振型相同。同樣可得，原鉆桿、縮比25.0%鉆桿和縮比12.5%鉆桿對應各階頻率的振型也相同。

表2 自由邊界時前5階振型對應2個節點位移幅值之比Table 2 Displacement amplitude ratio of 2 nodes corresponding to first 5-order vibration modes at free boundary

圖5 不同結構上各點1階振型幅值分布Fig.5 First-order vibration mode amplitude distribution of each point on different structures

2.3 固支約束模態分析

2.3.1 固支約束時的固有頻率

鉆桿在地下鉆探過程中，頂端和外部機構相連，簡化為6自由度固支邊界條件。假設鉆桿鉆頭處(頂端)和巖石接觸、擠壓，約束接觸頂端為固支約束。

固支約束時，通過仿真分析，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的自由邊界前10個固有頻率如表3所示。

表3 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿固支約束時的固有頻率Table 3 Natural frequency of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under fixed support constraint

2.3.2 固支約束時的振型

原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在固支約束時的第1階振型如圖6所示。

圖6 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在固支約束時的1階振型Fig.6 First-order vibration mode of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under fixed support constraint

由分析可知，盡管3個圖振型振幅大小不同，但它們振型相同。

2.4 自由-固支約束模態分析

2.4.1 自由-固支約束時的固有頻率

鉆桿前端鉆頭作業時，不斷和巖石接觸、擠壓和分離，因此，頂端自由、底部固支是一種比較常見的工作狀態。在自由-固支約束時，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的前10個固有頻率如表4所示。

表4 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿頂端自由-底端固支時的固有頻率Table 4 Natural frequency of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under top free - bottom fixed conditions

2.4.2 自由-固支約束時的振型

由計算結果可知，原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿的1階振型如圖7所示。由圖7可知，盡管3個圖振型振幅不同，但它們振型相同。

圖7 原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由-固支約束時的1階振型Fig.7 First-order vibration mode of original size,25.0% and 12.5% scaled drill pipes under free-fixed support constraint

3 試驗測試與工程應用

3.1 試驗測試

為檢驗仿真分析的正確性，結合DC-3200-36型試驗振動臺(主要性能參數：額定正弦推力32 kN，頻率范圍2～3 000 Hz，最大載荷300 kN，最大加速度100g(m/s2)，臺面尺寸?400 mm)特性與該型鉆桿的結構特點，綜合考慮試驗機推力、臺面尺寸，以及縮比鉆桿結構與加工工藝實現，最合適的縮比比例為縮比為25.0%。制作了縮比為25.0%鉆桿試驗件，如圖8所示?？s比試驗件長度773 mm，質量6.5 kg。采用懸臂夾具，進行了一端固支、一端自由的掃頻試驗，提取前3階試驗結果與仿真結果對比，如表5所示。由表5可以看出，縮比25.0%的試驗件前3階的頻率，其實測值與仿真值相比較，相對誤差不超過3.8%，表明仿真結果精度較高。

圖8 縮比25.0%鉆桿試驗件Fig.8 25.0% scaled drill pipe test piece

表5 縮比25.0%鉆桿試驗與仿真計算頻率比較Table 5 Comparison of frequencies obtained from 25.0% scaled drill pipe test and simulation calculation

3.2 工程應用

對于大型鉆桿的試驗測試，特別是動力學試驗，由于試驗設備的推力與空間限制，原鉆桿試驗往往比較困難，也沒有必要，縮比試驗件試驗是一種很好的選擇。通過數值仿真與縮比25.0%鉆桿試驗測試檢驗相結合的方法，與原尺寸鉆桿試驗測試相比較，具有2個優勢：一是將試驗件質量從407.4 kg減少到6.5 kg，極大地節省了材料，同時，縮比試驗件的夾具制造也節省了大量材料；二是空間尺寸縮小，對試驗臺的臺面空間尺寸要求也大為縮減，降低了對試驗設備的要求，方便了試驗操作，加快了試驗進度，節省了試驗經費。并且較為精確地獲得了該型鉆桿模態參數，其中自由邊界時的1階頻率為72.875 Hz。固支約束時的1階頻率為84.265 Hz，自由-固支約束時的1階頻率為11.370 Hz。這些動力學性能參數主要有3個方面作用，一是指導鉆桿設計，設計可適當提高其響應頻率，回避外載荷頻率；二是通過模態振型可以確定鉆桿設計中剛度最小的方位，為剛強度設計提供支撐；三是實際作業中，給司鉆提供發生共振評判的量化參考。如圖9所示為該型鉆桿安全作業情景。

圖9 原鉆桿作業情景Fig.9 Operation scenario of original size drill pipe

該鉆桿作業過程中均沒有位于這些頻率的載荷存在。因此，可以判定不會有共振產生，實際作業也證實該型鉆桿使用正常。

4 結 論

采用數值仿真與縮比試驗件試驗相結合的方法，對某型長徑比為17.4∶1的石油鉆桿進行了模態分析，并通過縮比25.0%鉆桿試驗測試檢驗仿真分析的精度，所得主要結論如下：

(1)通過數值仿真分析，類似該型結構的鉆桿，確保計算收斂、效費比較高的單元劃分原則是,單元最長邊小于鉆桿長度的1/500，單元最短邊大于鉆桿長度的1/5 000，此時的模型精度為1.8%。獲得了效費比高的單元劃分規模與劃分原則，可為鉆桿模態數值仿真分析提供參考與借鑒。

(2)采用數值仿真方法探討了原鉆桿、縮比25.0%和縮比12.5%鉆桿在自由邊界、兩端固支與自由-固支約束時的模態頻率以及對應振型。研究結果表明，縮比鉆桿模態頻率正比于縮比比例，確定了幾何縮比與模態參數相似性的關系，為鉆桿縮比比例的選擇提供了理論支撐。

(3)綜合考慮試驗振動臺能力與該型鉆桿的結構尺寸，確定最佳縮比為25.0%。采用縮比為25.0%鉆桿試驗與數值仿真的模態頻率進行對比，結果相對誤差小于3.8%，檢驗了鉆桿數值仿真的精度，為數值仿真方法在鉆桿模態分析的工程應用提供了可行性保障。