美英早期幾何教科書中的軌跡應用

張佳淳 汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

20世紀，歐洲數學家極力主張應該在數學領域中給予運動觀點更突出的地位，因其作為學生相當熟悉的生活經驗，其抽象化形成的數學概念可以幫助學生理解和欣賞數學．軌跡就是這類概念，例如，打開一本書或一扇門的過程蘊含各種軌跡．它將具體的生活經驗理想化，使得學生能利用已有的幾何知識，賦予幾何圖形在“量”上的精確性[1]．所以，軌跡概念與現實生活息息相關．

從歷史上看，軌跡很早就被人們所認識．古希臘時期，數學家已經認識到可以利用軌跡來解決三等分角問題[2]，體現軌跡在數學學科內部的應用．在現行滬教版八年級數學教科書中，通過蘋果自由落地、拋出的籃球、懸掛著的鐘擺往返擺動等作為生活情境引入軌跡概念，也體現軌跡在現實生活的應用．

但在教科書的后續內容中，出現較多的是純數學情境的習題，而軌跡在現實生活中的應用問題卻是鳳毛麟角．在已有的關于平面軌跡的教學案例中，個別HPM視角下的教學設計主要運用了古希臘時期的數學史材料[3-4]，幾乎沒有涉及有關軌跡應用的數學史素材．究其原因，適用于課堂教學的歷史素材極為匱乏，造成“巧婦難為無米之炊”的現狀．

數學與人類其他知識領域之間的聯系、數學的社會角色、數學美等是基于數學史的數學文化的重要內涵[5]，因此，在提倡將數學文化融入數學課堂教學的今天，對數學主題背后的歷史文化素材進行挖掘和整理，是教學實踐的必然需求．鑒于此，我們選取19世紀至20世紀出版的89種美英幾何教科書進行考察，試圖回答以下問題：軌跡概念在數學和現實生活中有哪些方面的應用？軌跡概念有什么教育功能？我們從中能獲得什么教學啟示？

2 早期教科書的選取

本文從有關數據庫中選取89種19世紀至20世紀美、英幾何教科書作為研究對象，其中72種出版于美國，17種出版于英國．以20年為一個時間段，教科書的時間分布情況如圖1所示．

圖1 89種教科書的時間分布

分別從數學內部和外部兩方面考察軌跡的應用，關注圓、直線等可用軌跡思想作出的基本圖形的應用，從中提取早期教科書關于軌跡思想及相關應用的素材．

3 數學內部的應用

在早期教科書中，關于軌跡在數學學科內部的應用主要在于構造三角形、圓等基本圖形．

例1已知底，且三角形頂點到底邊的垂直距離和兩邊之比給定，如何構造三角形？[6]

構造過程包括兩種軌跡：一是由于三角形頂點到底邊的垂直距離固定，所以三角形頂點的軌跡是與底邊平行的直線；二是與兩給定點距離之比固定的點的軌跡是直線或圓，再由交軌法最終確定三角形頂點所在位置，從而完成三角形的構造．

例2如圖2，若給定弦AB，且已知弦AB與該圓一條切線所成角的大小等于角C，如何構造圓？[7]

圖2 構造圓的條件(左)與過程(右)

構造過程也包括兩種軌跡，首先，令DH=AB，過弦的一個端點H，作弦切角DHN等于給定角C，從而確定切線所在位置，再過點H作PH⊥HN，則已知切點和切線位置的圓的圓心的軌跡，是過切點與切線垂直的直線PH．其次，DH為弦，則通過兩定點的圓心的軌跡，是弦的垂直平分線，其與PH的交點T就是圓心所在位置．

4 數學外部的應用

4.1 生產技術上的應用

軌跡思想及定理在生產技術上的應用主要有兩方面的例子．第一，體現在職業技術工人利用軌跡思想，將平面幾何作圖法應用于實際工作中．

例3檢驗是否為半圓的工具．

例如，Slaught和Lennes在圓周角定理相關內容之后，設計了“軌跡問題”(problems on loci)專題練習，其中包括如下一題：在制作芯盒時，制模師使用如圖3所示的直角工具來測試芯盒是否為真正的半圓．這種方法正確嗎？請證明．[8]

圖3 直角工具

5種教科書提及木匠利用底邊給定的直角三角形頂點所成軌跡為圓的原理，來確定鑄件的曲線是否為完美的半圓．而這一問題也出現在人教版九年級上冊數學教科書中，作為第24.1.4節“圓周角定理”的課后習題，所以這一檢測工件早在19世紀就為人們所使用．

例4畫弧的工具．

圖4 角架

將直角工具中三角形頂角的角度從直角推廣到更一般的情況，固定成一定角度的兩塊木板則可以用來畫任意的?。鐖D4，將兩個銷釘A和B固定在地面上，其距離AB不得大于角架ACB的兩邊之和．底邊AB保持不變，將角架的棱角C移動一圈，移動過程中保持角架兩邊CA,CB緊靠銷釘，則在點C處用筆即可畫出圓弧[9]．這種不利用圓心和半徑作圖的方法具有便利性，且不會在圓心處留下一個孔洞，破壞制品的美感與使用，因此常用來在金屬鍋或光學玻璃上畫圓、圓弧，也用于在地圖上標出經緯線．

例5畫平行線的工具．

圖5 量規

除了畫圓，木匠們還用一種叫做量規(gauge)的工具來畫一條與木板邊緣平行的直線．如圖5，量規由兩個互相垂直的結構組成，結構A所代表的木桿上有一個標記點P，在A結構上套著另一部件B，部件B可以根據需要用螺釘調整其與點P的距離．畫圖時，將量規的部件B放在木板的邊緣，移動量規，則點P所成的標記線與木板邊緣平行[10]．其中涉及的原理是與一條定直線距離相等的點的軌跡是與定直線平行的直線．

軌跡在生產技術上的另一方面的應用體現在車輛工程的制造中．

例6車輛工程制造．

圖6 火車車輪上的平行連桿

使得火車、自行車等交通工具的主動輪與相鄰輪連接起來且同步轉動的方法體現了軌跡定理[11]．如圖6，AA′O′O是一個所有邊長固定且邊OO′位置固定的平行四邊形，則另外兩個頂點A,A′的軌跡是分別以O,O′為圓心的等圓．上述原理表明，制造一根橫桿AA′，長度等于OO′，在點A,A′處與繞固定點O,O′轉動的等長桿子OA,O′A′連接，就可以使車輪同步轉動起來．

4.2 建筑工程上的應用

1912年，美國幾何大綱“十五人委員會”在其報告中指出，工業設計和建筑裝飾充滿了細節，這些細節可以作為幾何問題的來源，且問題可分為三種：(1)圖形本身的構造問題；(2)證明題；(3)計算題[1]．而Palmer等指出，在平面幾何中研究軌跡的最大意義是可以通過軌跡實現成像和構造圖形，而不是研究軌跡定理的證明[12]．考察早期幾何教科書可以發現，利用軌跡構造圖形早就是建筑本身及其裝飾圖案的一種設計方法．

例7設計裝飾圖形．

涉及幾何裝飾的工業產品包括瓷磚、地板、裝飾畫、門、窗等．最常見的是通過組合圓、圓弧型等軌跡形成裝飾圖案．第一類是以等邊三角形為基礎的圓弧型軌跡的組合．如圖7，弧AB,AC和BC是分別以等邊三角形的三個頂點C,B,A為圓心的弧，弧ADFC,BDEC和AEFB是半圓，每個半圓又與弧AB,AC和BC中的兩段弧相切[10]．這一圖形常作為裝飾教堂窗戶的圖案，例如圖8為芝加哥第四長老會教堂(Fourth Presbyterian Church)的窗戶圖案[8]．

圖7 圓弧型軌 圖8 芝加哥第四長老會 跡的組合教堂窗戶圖案

第二類是以等邊三角形為基礎的圓與圓弧型軌跡的組合．如圖9，弧AC,BC是分別以等邊三角形的頂點B,A為圓心的弧，CD為三角形的高，則圖形ABC稱為等邊拱．類似地，以AD和BD為底，畫出等邊弓形AED和DFB．圓O是與弧AC,CB,ED,FD都相切的圓[1]．同時，這個圖形中還包含以下軌跡命題：

(1)與弧CA和CB相切的所有圓的圓心軌跡，是線段CD(端點C除外)；

(2)與弧ED和DF相切的所有圓的圓心軌跡，是線段CD上的線段HD(端點D除外，點H是過點E垂直于ED的直線與CD的交點)；

圖9 圓與圓弧型 圖10 芝加哥聯合 軌跡的組合公園教堂的門上圖案

這一圖形曾出現在芝加哥聯合公園教堂的門上(圖10)，類似的圖案亦出現在英國林肯大教堂中(圖11)．

圖11 英國林肯大教堂的裝飾圖案

第三類是以正方形為基礎的圓與圓弧型軌跡的組合．這一類型結構經常出現在瓷磚、地板的設計中(圖12)，在正方形ABCD中，共包含有6個存在相切關系的半圓，這一結構也曾出現在羅馬鑲嵌畫中(圖13)[8]．

圖12 以正方形為基礎 圖13 羅馬鑲嵌畫 的軌跡組合1

更復雜的圖案如圖14，左圖為基本圖形，右圖為根據左圖鑲嵌形成的地板圖案．由于整個圖形具有對稱性，只需研究以HS為邊的小正方形中圓與圓弧型軌跡的組合方式．圓N與小正方形的邊SH相切．弧ORQ和OKL是分別以小正方形的頂點S,H為圓心、邊HS的一半為半徑的?。詈?，再以LN和NQ為直徑畫半圓LMN和NPQ[1]．

圖14 以正方形為基礎的軌跡組合2

圖15 以正方形為基礎的軌跡組合3

第四類是以正方形為基礎的圓型軌跡的組合．如 圖15，以正方形對稱中心為圓心，有一大一小的同心圓，大圓與正方形各邊相切，有一系列小圓與兩同心圓相切，同時每一個小圓與相鄰的小圓相切[13]．

例8設計建筑物．

直線型與圓(弧)型軌跡的組合圖形常作為建筑物本身的一部分，例如威尼斯總督宮以及米蘭馬焦雷醫院(Ospedale Maggiore)的墻體構造[8]，都是在兩條平行線之間構造圓、半圓和等邊拱(圖16、 圖17)．根據圖16，可以提出軌跡問題：求與直線CD和等邊拱相切的圓的圓心軌跡．

圖16 威尼斯總督宮

圖17 米蘭馬焦雷醫院

若兩平行線與水平線垂直，則此類直線型與圓弧型軌跡的組合常常構成典型的拱券．Strader和Rhoads提及拱券半徑的長度和圓心的位置取決于軌跡問題中所學到的事實[14]．最簡單的拱券如圖18所示，頂部是一個半圓．第二種常用拱券又稱“四心拱”，如圖19，先確定兩等圓A,B的圓心，再確定兩個小的等圓C,D的圓心，弧EG,GF,HE,FI圍成拱券的頂部．其他拱券諸如圓弧形拱、半圓形或羅馬拱、馬蹄形拱、蔥形拱等見圖20．

圖18 簡單拱 圖19 四心拱

圖20 各類拱券

在凱撒統治時期建造的古羅馬高架渠融合了上述兩種設計類型，強調最大的強度和最小的用料，是羅馬人在工程建筑方面的杰作．如圖21，橋高180英尺，由三層羅馬拱組成．由下到上，分別由6個、11個、35個石拱組成．第二層石拱寬度均為75英尺，最底層中除了一個石拱的寬為75英尺，其他石拱的寬均為60英尺[14]．

圖21 古羅馬高架渠

4.3 日常生活中的應用

在早期教科書中，有不少融入生活情境的軌跡問題，充分反映了軌跡概念在日常生活中的應用．

例9簡單的生活問題．

表1匯總了可以轉化為常見軌跡的若干軌跡問題，其中不僅有平面軌跡問題，也包含簡單的空間軌跡問題．

還有教科書提出需要利用交軌法解決的軌跡問題，如例10、例11．

例10如果有兩個發光點，它們可照亮的最遠點所成的軌跡是以發光點為圓心、半徑分別為3和4的圓，求在它們所在的平面上可以同時被兩個發光點照亮的點的軌跡．

Bush提出一個體現趣味性的“海盜藏寶問題”[15]，其中共有7處寶藏，分別對應如下7個軌跡問題．

例11(海盜藏寶問題)假設《海盜圖》(書中未呈現)對海盜埋藏寶藏的位置作了如下描述，請你在圖中畫圖，使給定的線為實線，軌跡為虛線．

(1)第一處寶藏距離一棵橡樹半英里，同時距離一棵栗樹四分之三英里．

問：什么時候有兩個可能的地點？什么時候沒有？

(2)第二處寶藏距離一個半徑一英里的圓形池塘岸邊四分之一英里，同時距離一個相鄰的筆直的海灘有半英里．

表1 融入生活情境的軌跡問題

問：什么時候會有8個這樣的地點？

(3)第三處寶藏與橡樹和栗樹的距離相等，同時離鄰近的一個半徑是四分之一英里的圓形池塘的岸邊也有1.5英里遠．

問：什么時候會有4個這樣的地點？

(4)第四處寶藏與收費公路和山谷公路等距，同時也與橡樹和栗樹等距．

(5)以收費公路的收費站點為原點，第五處寶藏位于與收費公路所在直線的正方向成60°的直線上，同時穿過橡樹；并且與收費公路所在直線的負方向成45°的直線上，同時穿過栗樹．假設這些樹(a)在收費公路上，(b)遠離公路．

(6)第六處寶藏是在學校的收費公路上；也在一條穿過橡樹且平行于山路的路上．

(7)第七處寶藏在穿過橡樹且與橡樹、栗樹所成線段垂直的直線上，同時離橡樹有一英里．

除此之外，Betz和Webb試圖讓學生進行問題提出．

例12問題提出[16]：(1)打開一本書或一扇門會給你什么軌跡問題？如果換成一個秋千？鐘擺？發動機的調速器？一個時鐘？

(2)針對如圖22所示的“鋸齒形”屋頂，你能提出什么軌跡問題？

圖22 “鋸齒形”屋頂

(3)什么是交軌法？請你自己編一個問題，使得這個問題的答案是由兩個相交的軌跡找到的．

5 關注幾何應用的動因

在長達兩個世紀的時間里，教科書始終不易地關注軌跡的應用，或者說平面幾何的應用．從數學內部而言，軌跡反映了現代幾何學尺規作圖的思想和方法．從數學外部而言，表明人們對幾何實際應用的關注程度之高．20世紀初，西方數學教育領域的培利運動倡導中學幾何課程教材擺脫《幾何原本》的束縛，重視幾何學的實際應用．德國數學家F·克萊因(F.Klein,1849—1925)主張數學課程應注重幾何運動和幾何直觀的重要性．美國幾何大綱“十五人委員會”在其報告中追求幾何思維訓練價值和實用價值的平衡[1]．

總之，關注幾何實際應用是中學幾何教育的形式與理念的改革結果，是完善數學作為一門研究現實世界中的空間形式與數量關系的科學的認識．

6 結論與啟示

以上我們看到，19世紀至20世紀的人們已經意識到，軌跡概念在數學學科內部與外部的應用都切實有效．學科外部的應用體現軌跡與日常生產、生活中的眾多現象密切相關，涉及生產技術、建筑工程、生活經驗等領域．從美英早期幾何教科書中梳理得到的數學史料中可以看出，軌跡應用的數學史料蘊含多元的教育價值，對今日教學有諸多啟示．

其一，早期教科書中的軌跡應用，體現了不同時空、地域的人們對軌跡概念價值的高度認可，體現了軌跡的社會角色以及在審美娛樂方面的表現．所以，與軌跡應用相關的數學史可以充分展示文化之魅．教師可以直接采用或借鑒改編史料，利用基于數學史料的數學問題營造探究之樂；探究過程有助于培養學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象等素養，實現能力之助；還可以設置數學教學任務，讓學生利用生活經歷編制與軌跡相關的數學問題．在學生解答軌跡問題的過程中，需要綜合運用勾股定理、垂直平分線、角平分線、圓周角定理、圓與切線、尺規作圖等知識和技能，幾乎囊括中學幾何課程的半壁江山，促成中學幾何的知識體系的完善與豐滿，構建知識之詣．

其二，軌跡的應用反映了數學與現實生活、科學技術、人文藝術的關系，說明數學在社會生活、娛樂生活、職業生活中的不可或缺．所以軌跡應用是培養學生用數學的眼光觀察世界的絕佳的教學課題，教師可以讓學生進行數學寫作，啟發學生思考數學外部的軌跡甚至人生的軌跡，揭示數學背后的人文精神．教師還可以讓學生利用軌跡進行藝術暢想，利用軌跡繪制人物卡通畫像、建筑裝飾圖形、雕塑等，并說明其中所用的軌跡圖形，向學生傳遞數學的人文價值，彰顯數學文化的德育之效．