授人以魚不如授人以漁
——以微專題“面積法”為例

趙 軍 (江蘇省太倉市實驗中學 215400)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自平行班的初三年級，基礎較好，知識結構完整，有一定的推理能力和解決問題的能力．

1.2 教材分析

在迎接中考的復習階段，我們以蘇科版《義務教育教科書(數學)》為藍本，將數學知識與解題方法融合，通過重新建構，以微專題的形式進行深入而又高效的復習，以期在學習方法、解題技巧等方面達到深度學習的目的．

“微專題”顧名思義就是小專題，是圍繞一兩個緊密相關的知識或思想方法而形成的專題研究，它可以單獨研究某一知識體系、某個數學思想或某種解題策略．微專題的設計應當結合學生的學情，從學生已有知識、能力出發進行研究，具有入口小、針對性強等特點．在教學實踐過程中要做到科學引領，精準施策，體現以小見大、見微知著的特點．“面積法”是一種常見的解題方法，它通常以某個圖形為載體，通過兩次計算其面積，構造方程解決問題．面積法的適用面廣而又分散，具有靈活而又高效的特點，若運用得當，往往能化繁為簡、化難為易．下面僅以此法的運用為例，談談微專題的設計與實施，以拋磚引玉．

教學目標 (1)通過計算同一圖形(三角形、特殊四邊形等)的面積，體會“積不離高，高不離積”的思維策略和構建方程解決問題的特點； (2)經歷面積法解決問題的過程，并通過不同方法的對比，體驗解決問題的不同思路，感受面積法的精巧之處；(3)能結合所學知識，靈活運用面積法解決較為復雜的問題，體會其中的數學思想(如數形結合、轉化思想、方程思想)．

教學重點 引導學生通過自主探索和方法對比，感受面積法的簡潔、高效的特點．

教學難點 如何結合所學知識，根據題目的特點，靈活運用面積法構建方程解決問題．

2 教學過程

2.1 創設情境，引導探究

隨著上課鈴聲響起，教師微笑著走進教室，但沒有說話，而是在黑板上寫下四個字“今日說法”．(學生充滿期待，多數人充滿疑惑，這是講法律還是數學？)

師：同學們，今天我們不講法律，只談方法，一種簡潔而又高效的解題方法，請看問題1．

2.2 方法對比，體會等積

圖1

問題1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，BC=3，AC=4，你能求出CD的長嗎？

生2：我用的是勾股定理，設AD=x，則BD=5-x，分別在Rt△ACD和Rt△CBD中計算CD2，列出方程求解．

生3：我是分別在Rt△ACD和Rt△ABC中表示出sinA，構造等式求解．

師：還有補充的嗎？

生4：計算△ABC的面積也可以求出CD的長．

師(追問)：請具體一點！

師(高興地)：很好！這種方法我們稱之為“面積法”(教者接著“今日說法”下面補上板書“——面積法”)，這種方法有什么特點？

生5：將三角形的面積計算了兩次．

師：對！其關鍵是抓住同一個三角形，從兩個不同的角度計算其面積，列出方程求解．請大家接著看下面的問題．

圖2

問題2如圖2，若將問題1中的高CD去掉，改為點D是Rt△ABC斜邊AB上的一個動點，過點D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分別為M,N，則MN的最小值是多少？

(不少學生陷入困境，無法對MN進行有效的轉化)

師(追問)：在解決問題的過程中你能體會到怎樣的思想方法？

生6：轉化．

師：很好！這里有一幅“對聯”送給大家(教師展開準備好的對聯分別掛在黑板兩側)：“積不離高，高不離積”，它生動詮釋了面積法的特點，我們怎樣理解這幅對聯的含義呢？

生7：“積不離高”是指計算某圖形的面積通常離不開高；“高不離積”是指有了高(垂直)就要注意向計算某圖形面積的方向去思考．

師：說得太好了！那誰來給這幅對聯添加一個橫批？

生8(脫口而出)：面積法．

(老師展開橫批“面積法”，貼在黑板上方的正中央)

教學說明對于問題1，學生有多種方法可供選擇，但最簡潔明了的還是面積法，在引出面積法后又為解決問題2做好了鋪墊．在問題2中，利用“矩形對角線相等”的性質先把MN轉化為CD，將陌生的問題熟悉化，再結合問題1中的結論來求解．設置問題1的意圖有兩個，一是以此作為“種子題”，讓學生掌握一種解決問題的方法，為下面進行面積法的運用做好鋪墊，二是結合本題讓學生從中體會“積不離高、高不離積”的策略，通過方法對比，幫助學生積累解題經驗，體會解題的策略，訓練思維的多樣性和靈活性．

2.3 變換載體，方法遷移

圖3

問題3如圖3，已知四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB,CF⊥AD，垂足分別為E,F，求證：CE=CF．

生9：由菱形的性質可知CB=CD,∠CBA=∠CDA，可以考慮證明△CBE≌△CDF(AAS)，從而證得CE=CF．

師：很清晰的思路！還有不同想法嗎？

生10：連結AC，由菱形ABCD可知AC平分∠DAB.因為CE⊥AB,CF⊥AD，所以CE=CF．

師(追問)：為什么？

生10：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

師：很好！能熟練運用菱形的性質．若類比問題1的解題思路，還有沒有其他想法？

生11(恍然大悟)：計算菱形的面積．

師(追問)：具體一點，怎么算？

生11：因為S菱形=AB·CE=AD·CF，由菱形ABCD可知AB=AD，所以CE=CF．

(教室里響起了歡呼聲和掌聲……)

教學說明遇到此類證明線段相等的問題，不少學生首先想到的方法是證明三角形全等，也有少數學生會選擇運用角平分線定理來證明，但很少有學生想到計算菱形ABCD的面積，建立方程解決問題．教學過程中，教者先讓學生各抒己見，在思維碰撞中體會運用面積法解題的簡潔性．雖然本題難度不大，但由于大家對解法進行了比較，放大了題目本身的價值，體現了面積法的精髓——“積不離高，高不離積”，拓寬了學生的思維空間，促進了學生數學素養的提升．

2.4 構建模型，隱藏“題”中

問題4如圖4，在等腰三角形HBC中，HB=HC，E為底邊BC上的任意一點，EF⊥HB于點F，EG⊥HC于點G，BM⊥HC于點M，試探究EF,EG,BM之間的數量關系．

圖4 圖5

生12：如圖5，過點E作EN⊥BM，垂足為N，則四邊形EGMN為矩形，所以EG=NM，再證得△BEF≌△EBN，故有EF=BN，所以EF+EG=BM．

師：很好！這種方法是將最長的線段截為兩段，我們稱之為“截長”法，還有不同方法嗎？

生13：還有“補短”法，如圖5，過點B作BK⊥GE，交GE的延長線于點K，用同樣的思路可以證得矩形BKGM和△BEF≌△BEK，從而得到結論．

師：完全正確，兩種方法合起來可稱之為“截長補短”法．如果我們再換個角度看問題，由EF⊥HB我們還能想到什么？

生14：可以計算△HBE的面積．

師(追問)：結合EG⊥HC,BM⊥HC，我們又能想到什么？

生14：計算△HCE,△HBC的面積．

師(再追問)：那接著怎么運用這些三角形的面積呢？

師(追問)：當等腰三角形HBC的頂角為直角或鈍角時，結論還成立嗎？

(小組分工合作完成……)

生16(小組代表)：成立，方法一樣，還是運用面積法．

師：請大家歸納出一個一般性的結論．

生17：等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．

師：很好！下面，我們就來看看這個結論在解題中的運用．

圖6

問題5如圖6，已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，P為AB邊上任意一點，且PE⊥AC，PF⊥BD，E,F分別為垂足，求PE+PF的值．

生18：先根據條件證明△OAB是等腰三角形，則PE+PF的值等于該等腰三角形一腰上的高．

師(追問)：然后呢？

生18：過點A作AG⊥BD，垂足為G，則PE+PF=AG．

師(再追問)：那如何求AG呢？

教學說明教學過程中，教者可視學情予以適當引導，當學生想不出面積法時，教者可以引導學生從三條高入手，以面積為抓手，建立方程解決問題．問題4的“慢加工”為問題5的“快處理”鋪平了道路．通過問題變式和不斷追問，讓學生逐步明晰運用面積法解題的特點和規律，抓住面積法的本質，實現解題經驗的正向遷移和解題方法的有效應用，引領學生的思維向著問題深處漫溯．

2.5 巧借k值，妙用等積

圖7

(問題出示后，學生遇到困難、陷入沉思……)

師：連結OE,OF，四邊形OEBF的面積與四邊形BFDE的面積有何關系？

生20：因為點D為OB的中點，所以S△OBF=2S△DBF，S△OBE=2S△DBE，所以S四邊形OEBF=2S四邊形BFDE=9．

(先獨立思考，后分組討論)

生21：過點D作DH⊥OA,DG⊥OC，垂足分別為H,G，S矩形OABC=4S矩形OHDG=4k．

師(追問)：為什么？

生21：因為點D是OB的中點，即點D是矩形OABC的對稱中點．

師(再追問)：然后呢？

師：太好了！列出這個方程用到“積不離高，高不離積”嗎？

生(疑惑地)：沒有？

師：所以沒有高的情況下，我們也可以運用“割補法”將某個圖形的面積“算兩次”，然后列出方程求解！

教學說明學生遇到困難時，通過教者的引導、追問，讓學生在深入思考的過程中體會反比例函數中k的幾何意義，再借助于矩形OABC的 面積不變巧妙地建立方程求解．微專題這種教學形式為學生進行有效聯想和方法建構提供了便利和可能，通過系列化的活動和體驗，把對知識、 方法和規律的掌握過程演變成學生能力提升的過程．

2.6 歸納小結，一“法”多得

師：回顧本節課所解決的問題，我們會發現始終有一根主線貫穿“題”中，這是一種什么方法？

生(齊)：面積法．

師(追問)：你是怎樣理解這種方法的？

生22：把同一個圖形的面積用不同的方法算兩次，但“有時無高勝有高！”(不一定有高)，建立等量關系，運用方程解決問題．

……

教學說明通過追問，讓學生重新審視面積法，加深對這種方法的理解，完善方法體系，構建“多題一法”，形成分析問題和解決問題的能力，達到因“微”而專、見微知著的效果．

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

“授人以魚不如授人以漁”，其意思實質上是指傳授給人既有知識，不如傳授給人學習知識的方法．道理其實很簡單，魚是做事目的，捕魚是做事的手段，一條魚能解一時之饑，卻不能解長久之饑，如果想永遠有魚吃，那就要真正學會捕魚的方法．在本節微專題課中，專門從解題的方法——面積法展開探究，將“授人以漁”的理念詮釋得通徹透亮．因此，掌握一種方法就猶如擁有一樣得心應手的工具，擁有解決問題的“本領”，這是學生長遠發展的必由之路．“種樹者必先培其根，學習者必先培其法．”只有授人以漁，才能從根本上得其法．以“微專題”的方式將解決問題的方法進行歸類、提煉與運用，更高效地讓學生學會解決問題，使更多的學生擁有捕魚的本領，變輸血為造血，才是我們的終極目標．

3.2 教學反思

(1)堅持結合學情，按需設計

微專題開發與實施應當立足學情，基于教情，按需開發，不必拘泥于固定的形式和內容，可以靈活設計并實施．例題可以根據學情按需選用．“今日說法——面積法”就是在學生知識結構基本完成的基礎上，將偶爾運用的面積法歸類處理，由“分散運用”為“集中梳理”，實現系統化、脈絡化．同時，微專題教學的有效性要通過教學實踐加以檢驗，堅持從實踐中來，到實踐中去，遵循“開發—設計—實踐—修正”到“再實踐—再修正……”的實施路徑，注重校正優化以及再實施再優化的過程，實現深度學習下的螺旋式上升．微專題設計必須根據學生的學習現狀進行，使之更適合學生的學情，做到“適合的才是最好的！”微專題的實施必須尊重不同學生，做到量身定做、一次一課，增強教學的針對性和有效性．

(2)堅持以生為本，因材施教

微專題設計和實施過程中要堅持面向全體學生，突出以生為本，讓學生喜聞樂見、興趣盎然，把握好“低起點”“多層次”“富挑戰”的要求，體現基礎性、層次性和綜合性的特點．以學生對此方法的理解和運用為目標，實現思維深處的拓展提升，面積法的教學設計就體現了這樣的特點．首先“今日說法”這個標題足夠吸引學生，今日說法究竟要說什么“法”？激發學生的好奇心和求知欲，也為學生學好用好此法埋下伏筆．其次，對涉及面積法的題目遵循由易到難、由淺入深的編排，問題設置富有啟發性、應用性、延續性，引例必須是一顆充滿生命力的種子，只有這樣，后續問題才能生根發芽．所以微專題教學必須始終堅持以學定教、因材施教，學為中心、以教促學，教者要花更多的精力從學生的視角來看待問題，精心設計課堂問題和探究活動，引導學生積極思考、主動探究，在優化思維的過程中解決問題，促進學生的個性發展和能力的提升．

(3)堅持以小見大，微中見法

微專題的開口小，容量大，有深度，重方法，學習者學過之后往往體會深刻，回味無窮！微專題設計方式靈活多樣，可以對某個知識板塊進行專題復習，也可以對某些數學模型進行變式探究，還可以就某種數學方法進行專項指導，亦或是某種數學思想的深度感悟等．設計內容和上課形式不拘一格，靈活機動，針對性強．教學實施注重相機而教，因情而生，靈動生成．本課例中的面積法屬于“多題一法”的專題研究，通過不同載體的變換，將計算面積這一方法從直角三角形過渡到菱形、矩形，通過兩次計算同一載體的面積列出方程解決問題，實現了形與數的有機統一．對同一題目不同方法的橫向對比與不同題目同一方法的縱向梳理，拓寬了學生思維的空間，凸顯了面積法的簡潔、高效的特點，達到了以小見大、微中見法的目的．