以問題設計為手段 發展學生核心素養
——以“兩角和與差的余弦公式”教學為例

王 燕 (江蘇省梁豐高級中學 215600)

新一輪課程改革以培養學生“核心素養”為目標，普通高中數學課程標準所設定的核心素養的本質就是抽象、推理、模型．數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析．基于“四基”的數學教學就是基于數學核心素養的數學教學．[1]這些數學學科核心素養既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體．數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現．數學教育的終極目標是用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界．

隨著課程改革的深入，廣大教師的教學理念也發生了重大轉變，學生的學習方式也隨之轉變．教師與學生在課堂上的角色也在不斷地發生變化．教師從單純的知識傳授者轉變為學生學習的促進者、課程的開發者和研究者．學生也從學習上的接受者轉變為教學活動的參與者、問題的研究者和學習者．

一堂高效的數學課，首先應該基于對教學目標的準確定位，在課堂教學中基于目標分步驟實施教學計劃.在教學實踐中，重要的是教給學生研究問題的方法，讓學生學會學習，從而使學生的數學核心素養培養得以落實．課堂教學設計是課堂成功與否的關鍵，設計的成功與否在于能否吸引學生融入到課堂中去．本文以“兩角和與差的余弦公式”的教學設計為例，談談在數學課堂教學設計中，如何滲透數學核心素養的培養．

1 回顧舊知，引出問題

我們在必修四第二章《平面向量》中，學習了向量的概念及表示、向量的運算和坐標表示，以及向量的數量積．數量積公式a·b=|a||b|cosθ(其中θ為向量a,b的夾角)，另外a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a·b=x1x2+y1y2．

設計意圖引導學生從聯系與變換的角度自然地提出接近研究水平的問題，增強學生的問題意識．不直接提出先研究cos(α-β)，是為了使探究更真實、更自然．

2 解決問題，意義建構

2.1 大膽嘗試，合理猜想

問題3如何用角α,β的正弦、余弦值來表示cos(α-β)呢？如果沒有特別說明，α,β都表示任意角．同學們第一反應這個結果可能是什么？

如果有學生提出cos(α-β)=cosα-cosβ．

師：既然是猜想，那就根據我們所學的知識來驗證這個猜想是否成立．當a=60°,β=30°時，同學們動手算一算，等式兩邊相等嗎？

師：我們再取一組角α=120°,β=60°，通過驗證，我們可以得出這樣的結論，對角α,β，cos(α-β)≠cosα-cosβ．下面讓我們先討論α,β,α-β都是銳角的情況．

設計意圖進一步強化學生的猜想與探究意識，同時讓學生感受或學會思維受阻時如何“拐彎”，發展學生的邏輯推理素養．

問題4怎樣用α,β的三角函數來表示cos(α-β)？

引導學生構造如圖1所示的直角三角形，并用割、補的方法得到cos(α-β)=OM=OB+BM=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα．

圖1

設計意圖讓學生感受如何化陌生問題為熟悉問題，如何通過作輔助線，用“割補法”尋找量與量之間的聯系，利用幾何直觀發展直觀想象和邏輯推理的數學素養．

2.2 聯想舊知，科學證明

問題5上面這個式子是否對任意角α,β都成立？

教師借助事先設計的多媒體軟件，由學生提出任意角進行驗證．數學是嚴謹的，數學結論必須經過嚴格的邏輯證明．現在初步結果已經出來，目標和方向已經明確．請大家仔細觀察上面兩式的構成要素和結構特征，看看從中會得到什么樣的啟發？產生怎樣的聯想？或有什么新的發現？

問題6如何證明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ？(學生分組討論，共同解決問題)

圖2

設計意圖引導學生關注兩個向量的夾角θ與α-β的聯系與區別，并通過觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ(k∈Z)，增強學生用數形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數學思維的嚴謹性．

問題7從剛才我們推導兩角差的余弦公式的過程來看，大家有什么啟發和感悟？教材為什么要先提出求cos(α-β)？

設計意圖引導學生從探究思路、數學思想方法、所用到的數學知識等方面進行回顧與反思，強化學生的思維發展，突出向量的工具價值．

問題8我們能否利用兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？

生：在兩角差的余弦公式中，用-β代替β，可以得到cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosβcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ．

師：請同學們總結兩角和與差的余弦公式的特點．

生：(1)對任意的角α,β均成立；(2)左右兩邊的符號相反；(3)右邊三角函數排列順序是 cosαcosβ,sinαsinβ．

師：利用向量的數量積公式通過算兩次的方法，我們推導出了兩角差的余弦公式，通過“用 -β代替β”的換元法，我們得到了兩角和的余弦公式．今后我們可以運用這組公式來解決非特殊角的三角函數求值問題．

3 運用鞏固，培養能力

例1利用兩角差的余弦公式求cos 15°, cos 75°的值．

引導學生用15°=45°-30°和15°=60°-45°兩種方法求解．

設計意圖通過例1的講解，讓學生當堂鞏固兩角和與差的余弦公式，感受15°角的不同拆分方式．

師：請同學們自編一個利用兩角和與差的余弦公式求解的題目，并且嘗試自己解決．

設計意圖例2的設計，主要是為了強調角的范圍對三角函數值正負的影響，同時通過本例給學生示范解答的規范性．教師在課堂上給學生適當的鋪墊、點撥、示范，指導學生提問的方向和思考問題的路徑．通過讓學生嘗試編寫題目，培養學生提出問題的能力．

4 回顧總結，提升認識

本節課你有哪些收獲？學到了哪些知識？運用了哪些數學思想方法？學生交流后歸納，教師補充完善．

設計意圖讓學生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認識，進一步達到“教思維”的目的．

圖3

5 拓展閱讀，滲透文化

無字證明：20世紀90年代末美國《數學雜志》開辟沒有文字的證明專欄，受到廣大數學愛好者的關注，圖3就是其中刊登的一個典型案例！

設計意圖通過閱讀材料的介紹，可以豐富學生對數學發展史的認識，拓寬學生的知識面，提高學生學習數學的興趣，同時也將數學文化融入課程．

6 課后作業，鞏固延伸

(1)教材106頁，習題第1～6題；(2)試自主探究公式Sα+β，Sα-β，并加以證明．

設計意圖通過課外作業的布置，達到對課堂知識的復習鞏固和強化的目的．另外，適當布置一些探究性的問題為下一節課作鋪墊，起到承上啟下的作用．

7 感悟反思，促進提高

在本節課的教學設計中，教師以問題的提出和解決作為這堂課的出發點和歸宿地，以問題為主線的教學方式使學生始終處于主動探索的狀態，有助于有效提升課堂教學效率．每個教學環節緊緊圍繞教學目標的達成而精心設計，以問題為載體，在教師創設的問題情境中，每個學生都積極投入探究過程，學生在疑惑中去探索，在探索中去思考，在思考中去發現．教師搭建學習平臺，并給學生充分表現的機會，把學習的主動權真正地交給學生，以實現學生角色的轉變．課堂上教師只是適時對學生進行引導，把實踐的空間都留給學生進行思考、探究、交流．教師樹立以發展學生數學核心素養為導向的課程意識與教學意識，將數學核心素養的發展貫穿于數學課堂的全過程．

高中數學教學活動的關鍵是啟發學生學會數學思考，引導學生會學數學、會用數學．問題是推動學生自主探究的主要動力，啟發學生的問題意識是生態課堂的重要部分，問題意識是思維的起點．美國教育家布魯巴克認為：最精湛的教學藝術，遵循的最高準則，就是學生自己提出問題．愛因斯坦指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要．”教師根據教學內容設置問題固然能使教學按照既定方向進行，但是學生獲得的僅僅是數學上或是實驗上的技術，而讓學生提出新的問題，發現新的可能性，卻可以喚醒學生的想象力，讓學生不再缺席“提問”這一科學探究中最重要的一環．本節課在講完例2之后，教師通過讓學生自己編題這一環節，給學生搭建平臺，引導學生自主提問．體現了教師在教學中落實“四基”，培養“四能”，促進學生數學核心素養的形成與發展．

本節課教師從學生的學情出發，站在學生的角度去探索問題，給學生提供更多探索新知的機會，激發學生學習數學的興趣，為學生思維能力的提升搭建平臺．教師是學生自主探究的引導者、組織者，當然教師在教學中的引導作用必須以確定學生主體地位為前提．在教學的每個環節，都應通過啟迪和引導，使學生參與到分析知識的形成過程中去，從而使學生思維能力得到有效的培養和開發，我們的課堂教學效益才會在更大的范圍內、更深的層次上產生質的飛躍，才能保證數學教學始終在新的理念指導下獲得預期的教學效果，才能實現數學教育的終極目標．