建聯系顯本質 理思路融文化
——“雙曲線及其標準方程”的教學與反思

李 昌 (南京師范大學灌云附屬中學 222200 江蘇省高中數學名師工作室 213001)

凸顯數學本質、建立知識體系、理清運算思路、融入數學文化、發展核心素養是數學教學應有之義．實踐中如何有機結合恰到好處地發揮這些功能，是一線教師不斷探索的問題．本文以“江蘇省高中數學名師工作室(主持人：張志勇)”研修活動為依托，回顧反思自己的一節公開課，敬請讀者批評指正．

1 學情分析

授課對象是江蘇省常州市第五中學高二某班學生，他們學習基礎較好，已經學習了《普通高中教科書·數學(選擇性必修第一冊)》的前兩章，能解決直線、圓以及它們的位置關系等有關問題，對解析法有初步的認識．在第三章《圓錐曲線與方程》中，他們剛學完第1節“橢圓”，能清楚地表述橢圓的概念、標準方程和幾何性質，會推導橢圓標準方程．這些認知有利于“雙曲線及標準方程”的教學．

2 課標解讀

圓錐曲線是平面解析幾何的主要內容，《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)指出：平面解析幾何的教學，應幫助學生在平面直角坐標系中，認識圓錐曲線的幾何特征，建立標準方程；運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，掌握平面解析幾何解決問題的基本過程，感悟蘊含于其中的數學思想．通過圓錐曲線的教學，重點提升學生的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等素養．[1]雙曲線與橢圓的教學內容和研究方法相似，所以雙曲線的教學應具有一定的延續性和類比性．

教學目標 (1)了解雙曲線的實際背景，感受其在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；(2)經歷從具體情境中抽象雙曲線概念的過程，獲得雙曲線的概念，提升數學抽象素養；(3)經歷推導雙曲線標準方程的過程，培養和提升數學運算和邏輯推理能力．

教學重點 雙曲線解析定義的建立和標準方程的推導．

教學難點 雙曲線標準方程推導路徑的選擇與實施．

3 過程實錄

3.1 創設問題情境

通過圖1喚醒學生對圓錐截線的記憶；通過圖2了解雙曲線在現實生活中的運用，結合圖3(動畫)指出雙曲線是彗星等天體的運動軌跡；提出如圖4所示的問題：設A,B,C是三個不共線的監測站，B,A相距800 m，C,A相距1 000 m，信號源M與A,B,C在同一平面上．若A,B,C同時收到信號，如何確定M的位置？

圖1 圖2

圖3 圖4

生1：M在線段AB,AC的垂直平分線l1和l2的交點上，因為M到點A,B,C的距離相等．

師：很好！若將問題改為：某時刻B先收到信號，2 s后A和C同時收到該信號，其中信號傳播速度為340 m/s，如何確定M的位置？

生2：M仍在l2上但不在l1上，因為M到A,B兩點的距離不相等．

師：的確，但是線段MA,MB之間是否有等量關系？

生3：MA-MB=680．

師：這表明，若求出方程MA-MB=680的曲線，其與l2的交點即M的位置．由于接收信號的時間差可以是其他常數，因此一般的情形為：求平面上到兩定點的距離之差等于常數的動點軌跡．

設計意圖展示前三幅圖片意在激發學生回顧知識源頭，了解知識的應用；通過對時差定位問題從特殊到一般的抽象概括，獲得研究對象，形成概念表象，提升學生抽象概括的素養．

3.2 探究雙曲線定義

師：研究過與之類似的軌跡問題嗎？

生4：把“距離之差”改為“距離之和”即為橢圓的定義．

師：很好！請回顧研究橢圓的思路和過程．

生4：先畫出圖形，根據圖形建立直角坐標系，求出標準方程，再用方程研究幾何性質．

師：這是解析法的研究范式．因此，先在平面上畫出到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡．到定點的距離可以轉化為圓的模型，因此兩個動圓的交點可以模擬動點．如 圖5，在GeoGebra中取定兩點F1和F2為圓心畫兩個相交的圓，只要保持兩圓的半徑之差為常數，其交點M就滿足MF1-MF2為常數．為此，構造過定點A,B的直線，取其上動點C在線段AB的延長線和反向延長線上移動時，CA-CB=±AB．觀察發現，當AB

圖5

師：當AB≥F1F2時，點M的軌跡如何？還是雙曲線嗎？請預測并說明依據．

生5：不是雙曲線，因為橢圓定義中有類似的限制．

師：橢圓是很好的參照對象，類比是發現結論的重要途徑．改變線段AB的長度，觀察交點M的軌跡形狀，發現當AB>F1F2時，兩圓內切，點M雖然滿足到F1,F2的距離差為常數，但其軌跡不是雙曲線，而是以F1,F2為端點的兩條射線，如圖6；當AB>F1F2時，兩圓內含無交點，如圖7，這表明此時點M的軌跡不存在．由此得雙曲線的定義：平面上到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值等于常數2a(0<2a

圖6 圖7

設計意圖引導學生對比橢圓的概念，建立知識聯系，探尋研究方法；運用GeoGebra動態計算和代數演算功能，演示軌跡形狀，揭示概念本質；改變2a與2c的大小，通過對軌跡形狀變化的觀察和對軌跡存在性的思考，完善雙曲線的概念，提升學生數學抽象素養．

3.3 推導標準方程

師：回顧建立曲線方程的方法和步驟，嘗試建立雙曲線的標準方程．

師：如果去掉絕對值，能完成化簡嗎？說說化簡的思路．

師：很好！就是化簡橢圓方程的“兩次平方法”，課后自行完成吧．

生8：作差抵消相同項，但無法實施，因為它們在兩個根號內．

師：這不是由雙曲線定義得出的等式，若不能與定義建立聯系，就毫無意義．

生10：左邊是平方差，因式分解為(MF1+MF2)(MF1-MF2)=4cx，即出現定義中的距離差．

師：那如何建立聯系？有何結果？

師：這有何用？

師：得出雙曲線上任意一點到兩焦點的距離，稱為焦半徑．這與兩點間距離公式不同，說明什么？

師(追問)：這是由雙曲線定義建立的方程嗎？為什么？

生11：是，左邊的焦半徑由雙曲線定義得出．

師：上述推導以根式為運算對象，通過平方、作差、因式分解銜接定義．這種“平方差法”最早由英國數學家賴特于1836年在《圓錐曲線之代數體系》中給出．歷史上許多數學家推導圓錐曲線標準方程的方法別具智慧，如洛必塔的“和差術”、斯蒂爾的余弦定理等都值得學習借鑒，請大家課后查閱相關資料．

師：焦點在y軸上的雙曲線，其標準方程是什么？

師：從雙曲線標準方程的形式上，如何確定焦點的位置？

生12：是平方差等于1的代數式，焦點位置對應于被減式．

設計意圖用“兩次平方法”推導雙曲線標準方程，是等價變形在變式情境下的遷移運用，能體現方法的一致性，但只能提升學生的熟練程度．改用“平方差法”是全新的路徑，要重新選擇運算對象、確定運算法則、設計運算思路，是發展學生數學運算素養的載體．告知推導方法，意在激發興趣開闊視野．

3.4 運用數學知識

例1已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-5,0),F2(5,0)，其上一點到兩焦點的距離的差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程．(解 答略)

師：雙曲線的焦點坐標既能定位又能定量，這與橢圓焦點坐標的功能一致．

師：橢圓、雙曲線的標準方程形式相似，橢圓的a2比大小，雙曲線的a2看符號．

例3已知A,B兩地相距800 m，一枚炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處延遲2 s，聲音的速度是340 m/s．那么(1)爆炸點M在什么曲線上？(2)這條曲線的方程是什么？

解(1)MA-MB=680，而680<800，所以爆炸點M在以A,B為焦點的雙曲線距B較近的那一支上．

設計意圖例1是概念在標準情境下的直接運用，意在明確焦點坐標的定位和定量作用；例2為了對比橢圓和雙曲線標準方程的形式；例3是用于回應情境中的問題，引出“雙曲時差定位法”建模運用，也為學習直線與圓錐曲線的位置關系埋下伏筆．

3.5 小結課堂收獲(略)

4 教學感悟

4.1 雙曲線的概念抽象，既要建立與橢圓的關聯更要突出本質

概念教學不能“掐頭去尾留中斷”，也不是“一個定義幾項注意”．學生只有清楚概念的來龍去脈，才能理解內涵學到“活”的知識，才能體會數學的方法、精神和思想．雙曲線的概念教學應從圓錐曲線整體性的視角體現其與橢圓的關聯，在獲得雙曲線概念表象后，才與橢圓建立聯系，如此才能避開直接把“和”改為“差”帶來的突兀和生硬．學生明白了雙曲線的特征后，就不會糾結于為什么不研究距離之積、之商為常數的軌跡，這有利于集中思維凝練本質．

從概念的表現形態和思維形態看，教學應該經歷概念抽象和符號抽象兩個過程才能突出本質，根據抽象程度可分為三個階段：簡約階段、符號階段、普適階段[2]．本課中，學生回顧情境、解決和抽象概括時差定位問題獲得研究對象，形成概念表象，實現對雙曲線的簡約抽象．學生觀察動點軌跡形狀、驗證距離差值的恒定性，獲得雙曲線的概念本質，實現了幾何符號抽象；隨著雙曲線標準方程的建立，完成了代數符號抽象．改變2a與2c的大小，通過對軌跡形狀變化的觀察和對軌跡存在性的思辨，學生“看”到了限定2a<2c的必要性，實現了對雙曲線概念的純化，提高了概念的普適性．

4.2 標準方程的推導，既要理清運算的思路又要滲透數學文化

《課標2017》指出，數學運算表現為理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路和求得運算結果．其中運算思路的產生是解決問題的關鍵，是體現數學運算素養的精華．[3]雙曲線標準方程的推導是發展學生數學運算素養的有效載體．因為運算對象和運算法則具有多樣性和選擇性，所以運算思路具有靈活性，但運算結果具有唯一性，這種殊途同歸是數學本質和獨特魅力的體現．“平方差法”推導雙曲線標準方程，運算對象不是定義中距離差的等式，而是用于表達距離的兩個根號，其運算思路不是“兩次平方法”的等價變形，而是用平方、作差和因式分解等運算法則進行代數變形，實現與雙曲線定義的銜接，獲得焦半徑的代數表達，從而建立雙曲線的方程．這是“算兩次”思想的運用和體現．

圓錐曲線積淀了數學文化，凝聚了人類智慧．在教學中選擇合適的時機，以恰當的方式把數學家的方法融入課堂，讓學生親歷數學家真實的思維過程，“看到”數學家當初是如何進行分析、歸納、抽象、論證的，是如何進行判斷、繞過障礙、走向成功的[4]，體會數學家思考問題的角度和方法，獲得數學文化的滋養，逐漸走出“知識理解”的圍欄，向“知識遷移”過渡，再向“知識創新”提升[5]．