陳敏婕
(南京師范大學附屬中學鄴城路初級中學,江蘇南京,210019)
微專題教學是非常重要的一種教學形式,它立足教材又高于教材,教學設計靈活.其核心點在于“?!?,落腳點在于“思”.指向學生對數學思想的抽象和應用,優化學生的數學思維,從而提高學生對于經驗與方法的運用和遷移的能力,提升數學素養.下面以“函數圖象視角下的方程、不等式”微專題教學設計為例,對此進行闡述.
(1)知道函數與方程(組)、不等式(組)的關系.
(2)會用函數的圖象,求相應方程(組)、不等式的近似解.
(3)通過兩個函數圖象解方程(組)的探索活動,感受函數與方程的辯證統一,感受函數圖象與方程(組)、不等式的內在聯系,體驗知識的內在統一性與融合,感受數學在數學內部的應用是推動數學自身發展的動力之一.
一次函數是學生最先接觸的一類函數,也是最為熟悉的,它的圖象呈直線樣態.從一次函數的圖象作為切入口,并且貫穿課堂始終,讓學生充分感受數形結合思想.
通過問題串,串聯各環節的教學組織,給予學生充分的時間和空間、思考與表達、總結與歸納,升華認知,感受三者內在的和諧與統一性.
圖1
問題1:說說你對y=-x+3的認識.
設計意圖:引導學生從兩個不同的角度看同一個表達式,如果看成變量,它就是一次函數;如果看成未知數,它就是二元一次方程.
師生活動:
生:這是一個一次函數,y隨x的增大而減小.
生:把-x移項到左邊,可以看成是二元一次方程.
師:兩位同學站在不同的角度,都對這個表達式就行了闡述.這里的x、y,如果看成變量,它就是一次函數;如果看成未知數,它就是二元一次方程.請同學們畫出函數圖象.
問題2:一次函數y=-x+3圖象上點的坐標與二元一次方程x+y-3=0的解有什么關系?
設計意圖:引導學生發現一次函數與二元一次方程的內在聯系,即一次函數圖象上點的坐標就是二元一次方程的解;以二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數的圖象上.
師生活動:
師:你描的是哪些點?
生:(0,3),(3,0).
師:一次函數圖象上點的坐標與二元一次方程的解有什么關系?
生:一次函數圖象上點的坐標就是二元一次方程的解;以二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數的圖象上.
問題3:一次函數與一元一次方程有什么關系?
設計意圖:引導學生發現一次函數與一元一次方程的內在聯系,即當其中一個變量的值確定時,可以由相應的一元一次方程確定另一個變量的值.
師生活動:
師:再描一個點,已知它的橫坐標是4,你是如何確定它的縱坐標的?
生:直接看圖象,縱坐標是-1.
師:很好,同學們還有不同的方法嗎?
生:代入函數表達式y=-x+3求解,y=-1.
師:剛才通過兩種方式都得到了這個點的縱坐標.反過來,再找一個點,已知它的縱坐標是2,你又能得到什么?
生:這個點的橫坐標是1,可以看圖,或者代入函數表達式求.
師:當一次函數表達式中一個變量x或y確定時,它就變成了?
生:一元一次方程.
師:你覺得一次函數與一元一次方程有什么關系?
生:一次函數的表達式,當其中一個變量的值確定時,可以由相應的一元一次方程確定另一個變量的值.
問題4:一次函數與一元一次不等式有什么關系?
設計意圖:引導學生發現一次函數與一元一次不等式的內在聯系,即當其中一個變量的取值范圍確定時,可以由相應的一元一次不等式確定另一個變量的取值范圍.
師生活動:
師:一次函數除了與方程有著密切聯系,從圖象中你還能讀出不等關系嗎?
生:當y>0時,x<3.
師:你是怎么識圖的,能分享下經驗嗎?
生:當y>0時,只要看圖象上x軸上方的部分,此時對應的x<3.
師:類似的,請同學們嘗試寫出三個不同的不等關系.
圖2
師:除了讀圖,你還有不同的方法得到“當y>0時,x<3”嗎?
生:可以直接回看一次函數表達式當y>0時,也就是-x+3>0,解這個不等式.
師:你能說說一次函數與一元一次不等式有什么關系?
生:一次函數的表達式,當其中一個變量的取值范圍確定時,可以由相應的一元一次不等式確定另一個變量的取值范圍.
問題5:在原坐標系中再畫一個函數y=2x的圖象,結合剛剛的研究內容,你能提出一個問題嗎?
追問1:如何求交點的坐標?
追問2:求關于x的不等式-x+3>2x的解集.
設計意圖:引導學生發現兩個一次函數圖象的交點坐標,就是相應二元一次方程組的解.兩個函數圖象聯系起來看,亦能看出不等關系.
師生活動:
師:如何求交點的坐標?
生:直接看圖象,交點的坐標是(1,2).
師:你借助于圖象的直觀性,有同學利用不同的方式得到的嗎?
生:通過聯立兩個函數表達式,解方程組.
師:大家通過兩種方式得到了這個交點坐標,由此你有什么發現?
生:兩個一次函數圖象的交點,就是相應的二元一次方程組的解.
師:還有同學有不同的問題提出嗎?
生:求等式-x+3>2x的解集.
生:我有兩種方法,第一種直接求解不等式,第二種從圖象上看,要滿足y1>y2,也就是看圖象上交點左邊的部分,此時的x<1.
師:通過上面兩個問題的研究,你有什么發現?
生:二元一次方程組和一元一次不等式,還可以借助于一次函數的圖象直接讀出結果.
設計意圖:引導學生從形的角度發現,兩個一次函數圖象平行時沒有交點,相應的方程組無解.
師生活動:
生:方程組無解,兩個函數的圖象平行,沒有交點,因為它們的k值是一樣的.
問題7:求關于x的不等式-x+3>x2+1的解集.
設計意圖:引導學生從多角度觀察式子,提煉多種解法和思考路徑.
師生活動:
師:你有哪些方法解決呢?
生1:畫一次函數y=-x+3和二次函數y=x2+1的圖象,從圖象上看出解集.
生2:把這個不等式移項,整理得x2+x-2<0,畫二次函數y=x2+x-2的圖象,在x軸下方的圖象部分對應x的值就是這個不等式的解集.
師:這個不等式,你想怎么命名?
生:一元二次不等式.
師:關于一元二次不等式,你還聯想到什么?你有新的解法嗎?
圖3
生:我想到了一元二次方程,可以對式子x2+x-2因式分解得(x-1)(x+2),也就是(x-1)(x+2)<0,再根據異號兩數相乘得負,得到這兩個因式異號,分類討論求解.
問題8:通過今天的學習與研究,你對函數、方程、不等式有哪些新的認識?
追問:你還有新的問題提出嗎?
設計意圖:引導學生從整體上歸納、概括“函數、方程、不等式”的內在關聯,進一步體會到通過“讀圖”常??梢詾榻鉀Q有關方程、不等式的問題提供方便;函數的圖象直觀,便于從“形”的特征解決方程、不等式的問題;“函數”是函數、方程、不等式三者關系中的主干這些深刻思想.
師生活動:
力爭給學生充分的時間和空間,思考與表達,再整合歸納、提煉升華.
微專題的關鍵就是要選擇有代表性的研究主題,聚焦于一些核心素材,確立合適的教學目標,通過設計有針對性的系列活動,從整體上看待知識之間的內在聯系,旨在解決課堂教學中的一些典型問題.本專題正是基于以上考慮,抓住函數、方程、不等式三者之間一脈相承的關系,揭示知識的內在結構體系,實現其整體性和統一性.在教學過程中,突出了方法主線,不斷地通過“數”與“形”的雙向結合,讓學生切身感受“數形結合”思想,以及圖象解法的直觀性、代數解法的精準性.正如華羅庚先生所言:“數缺形時少直觀,形缺數時難入微”,本專題在“數”與“形”方面的整體處理意識,有效地促進了學生對知識方法的融會貫通.
課堂順利展開的有效紐帶是問題,問題驅動的動力在于良好的問題結構,即環環相扣的結構性問題才能有效驅動課堂活動,誠如波利亞所指出的“良好組織的問題能使所提供的素材容易用上”.本微專題正是以8個結構性問題為驅動,由淺入深,逐步遞進,體現了思維的連貫性與發展性.在問題的展開過程中,注意課堂中的充分“留白”,給予學生充足的思考時間與空間,啟發學生從整體上看待知識間的內在聯系,感受和諧統一的本質特征.其中問題1由函數引入,問題2~4分別將函數與方程以及不等式的關系串聯起來,問題5通過再次引入一個函數圖象,啟發學生結合前面的研究經驗,自主提出問題,問題6~8則是在內容拓展及深度思考上再加引導.
教學生學會思考應成為課堂教學的不懈追求,將知識的構建、方法的形成、能力的發展在學生深度思考的場域內自動生成.陳省身先生曾言:“數學是自己思考的產物.”學生思維素養的提升,主要依靠教師啟迪、引導,激起學生自主探究的意識,而后自己及時反思、監控的思考行為.本專題正是基于以上的思考,確立了“教學生學會思考”的教學宗旨,著力為學生搭建深度思考的平臺,幫助學生形成系統的知識和一般的數學研究方法.例如在核心問題的追問中,以及一些需要學生反思提問的活動環節中,都有效地激起了學生深度思考的興致.
毋庸諱言,微專題的教學設計不同于新授課,新授課涵蓋的知識點或涉及的思想方法可能并不系統,而微專題恰好可以彌補這方面的缺憾,從整體上把握核心知識及重要方法,起到“見微知著”之效.本文的探索只是個人教學實踐中的“拙見”,后續尚有諸多問題有待探討和完善.