精準診斷破抽象 有效拓展提素養

潘光勇 (浙江省青田縣中學 323900)

在網絡信息發達的今天，各地的高考模擬試題如雨后春筍般冒出來，“好題”不斷，給一線的數學教師提供了很多可以拓展的知識素材，也為各種“秒殺技”提供了肥沃的土壤．利用某些特殊的二級結論(即一些拓展知識)可以在解題過程中實現“秒殺”，在追求“秒殺”的過程中教師總是主動(或被動地)進行各種“秒殺”知識的拓展．這些拓展知識除了讓學生聽得“云里霧里”、似懂非懂外，也極大地影響著教師對知識拓展方向和拓展深度的判斷，嚴重影響高三數學復習課的教學質量．同時也增加了學生的學習負擔，學生總覺得有學不完的數學知識；打擊了學生學好數學的自信心，對學生基礎知識和基本技能的落實以及數學素養的培養產生不可估量的負面影響，實在是得不償失．對于一線高三數學教師來說，對某些重要的學科主干知識進行拓展延伸是一件正常的事，但在復習教學時要拓展什么內容、拓展到什么程度、按什么邏輯順序進行拓展，這些問題卻讓很多教師糾結、迷茫，很多教師只是“隨卷而動”“隨題拓展”，盲目跟風．

本文以2020年11月浙江省衢州、麗水、湖州三地市教學質量檢測試卷第21題解析幾何題為例，從案例展現、拓展有理，真題研磨、拓展有向，反思教學、拓展有法三個方面出發，談談如何在高三數學教學時進行知識的有效拓展．

1 案例展現，拓展有理

(1)當點G在橢圓T上時，求GF的值；

(2)如圖1，過點G的直線l1與橢圓T交于P,Q兩點，與拋物線M交于A,B兩點，且G是線段PQ的中點，過點F的直線l2交拋物線M于C,D兩點．若AC∥BD，求l2的斜率k的取值范圍．

圖1

1.1 數據查因，精準診斷

筆者對學生答題情況和后臺數據進行分析，發現多數學生只能完成第(1)小題的解答，對第(2)小題無從下手或者解題思維混亂，平均得分為5.86分，解析幾何相關的數學素養欠缺明顯．通過對學生答卷重新進行面批以及對答題數據進行分析，學生的錯誤原因初步診斷如下．

診斷1 圖形復雜直線多，起步艱難缺方法．學生畏難情緒嚴重，靜不下心來分析試題中各幾何元素間的關系．

診斷2 在已知中點的情況下，不會求弦l1的斜率，說明學生對重要知識的掌握不嫻熟，數學素養有待提高．

診斷3 對試題中的直線與橢圓、直線與拋物線的關系不清晰，沒能從直線AC與直線BD平行這一條件找到解題的化簡目標．

從整個改卷情況看，多數學生對解析幾何涉及的基礎知識、基本方法、基本技能的掌握還不到位，沒有明確的解題目標，缺少積極的思維心態和數學素養．

1.2 理清關系，破解難點

本例中涉及的圖形有橢圓、雙曲線、過點G的直線、過點F的直線．點G是橢圓弦PQ的中點，由點差法可以求出弦PQ所在直線l1的斜率，故可以求出l1的方程．由AC∥BD知，兩直線的斜率相等，必然涉及到A,B,C,D四個點的坐標，必須要讓直線l1,l2分別與拋物線方程聯立，利用韋達定理找出坐標間的關系，從而實現順利求解．

1.3 再現基礎，順勢拓展

1.4 靈活應用，簡化運算

從本例的解析可以看出，對橢圓的中點弦問題進行知識拓展顯得非常必要．抓住問題的結構特征，運用已掌握的拓展知識，簡化直線l1方程的求解，對本題的順利求解起到非常重要的作用．

2 真題研磨，拓展有向

“磨刀不誤砍柴功”，在高三的數學復習教學中明確復習方向，才能讓知識拓展“有的放矢”．然而，高中數學知識點中可以拓展的知識點多，僅圓錐曲線中可以拓展的“二級結論”就多達上百條，如此多的“二級結論”全部拓展一遍，不僅耗時耗力，學生也掌握不了．對于如何把握知識拓展內容和拓展方向，教師可以從以下幾個方面進行操作．

2.1 重做真題，拓展有向

比如，引例中出現的拓展知識點：橢圓中的“垂徑定理”，在高三的復習教學中，有沒有必要對此進行拓展、拓展到什么程度，這樣的拓展能否有助于學生解決相關試題？我們可以通過研磨歷年的浙江高考數學真題，從中尋找答案．

圖2

圖3

從近五年浙江高考卷的解析幾何題中我們可以發現，橢圓中的“垂徑定理”這一拓展知識的運用還是比較常見的．對于涉及橢圓中點弦的相關問題，學生容易運用這一結論簡化運算、理清解題思路，尋找試題的解決方向和目標，避免繁雜的運算．像這種在高考試題中經常出現的知識，我們進行重點知識拓展是非常必要的，而且是必須的．這種知識拓展不僅不會增加學生的負擔，還能優化運算，何樂而不為？

2.2 寬度拓展，發展素養

橢圓中具有這樣精美的結論，那么雙曲線、拋物線中否也具有相似的結論呢？

這樣拓展操作，我們可以輕松實現從知識“點”到知識“面”的拓展，圍繞著“中點弦問題”這個知識“點”作縱深的挖掘，起到鞏固和發展的作用．這樣的拓展既讓學生有興趣又有挑戰性，更方便架構知識的網絡．因此，教師要根據高考考試要求，善于對知識點進行適度拓展，引導學生深入思考．

3 反思教學，拓展有法

“數學教學要著重培養學生的數學素養，讓學生學會從數學的角度分析問題，用數學的思想方法解決問題．”因此，數學教學中教師要善于適度拓展，豐富、創新教學方式，讓學生真正掌握學習數學的方法，促進學生數學素養的提升．

3.1 “鏈”式追問，“單點”拓展

在精選試題、立足基礎、優化運算、找準拓展知識點后，教師通過對問題的引申、層層遞進，對問題涉及的知識點進行分析討論，引向深入，重點突出，自然拓展．可以通過“問題鏈”的形式，精心設計“問題鏈”，從易到難，層層深入，引導學生從知識拓展的深度出發，不斷深化對拓展知識點的認知．這樣的設計有力地牽引著學生正確迅速地掌握新知、理清知識脈絡．可以緊扣教學重點，輕松地化解了學生理解中的難點，不僅關注了學生對基礎知識和基本技能的掌握，也關注學生思維品質的培養以及意志品質的磨練，還能實現“做一題、會一類”的教學目標，擺脫題海，提升效率；同時提升學生的思維深刻性、靈活性、廣闊性．

3.2 找準“標靶”，“串聯”拓展

數學是一門邏輯性很強的學科，知識的邏輯體系決定了知識間的聯系，這種內在聯系為學生掌握新知架起了橋梁，實現各知識點間的“串聯”拓展．為了提高各知識間的有效“串聯”，我們可以在問題猜想處進行知識點的“串聯”拓展，主動拓展探究空間，引導學生主動探索，使學生真正成為探索創造者．認知心理學指出：人的認知結構是平衡的，一旦出現不平衡就會自然產生一種趨力去力求改變這種狀態，重新恢復認知系統的內在平衡，即恢復其內在的一致性．因此我們還可以在主要知識概念的矛盾處進行“串聯”拓展，拓展學生的積極思維空間．此外，學生學習數學只有通過自身的操作活動和主動參與去做才能產生效果．所以我們還可以在教學關鍵處進行“串聯”拓展，讓學生去主動學習，自主建構概念．總之，對學科知識進行拓展的方法是多樣的、靈活的，教學時應抓住教學目標，根據課堂教學的需要，在知識拓展的寬度、深度方面靈活設計各類問題，營造一種探究式的數學場景，激發學生的學習興趣，引導學生主動探索，達到培養學生數學思維、發展學生數學素養的目標．

知識的拓展沒有固定的方法與模式，教師作為教學的直接推進者和課堂決策的制定者，應在研究高考試題的基礎上，明確主干知識的拓展方向.在知識拓展的方法上，可以根據課堂的預設與生成，通過各種檢測數據的積累和綜合分析，科學準確地診斷學生知識掌握的優劣，精準剖析問題錯因，靈活地在核心知識概念的形成、限用范圍、深度提升等方面進行拓展，精心設計各種“問題鏈”，鞏固基礎知識和基本技能，破解教學難點，以幫助學生提升數學學科素養．