深度教學：初中數學概念課的教學改進
——以七上“6.2角”第一課時的教學為例*

武麗虹 (江蘇省蘇州市蘇州灣實驗初級中學 215200)

數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具[1]．數學概念教學是數學基礎知識和基本技能教學的核心，是數學教學之根本．現結合教學實踐案例來探討初中數學概念課的教學改進．

1 數學概念教學的迷失

數學是用概念思維的．數學概念學習是一個集知識技能、思想方法、思維能力以及活動經驗為一體的整體化學習．但概念教學的實際情況尚不盡人意，在實際教學中還存在種種迷失:

(1)簡單隨意，缺乏理解．用記憶替代思考的教學不能觸及概念的內核，不能引發學生觀察、理解和思考，導致學生思維固化.

(2)形式單一，缺乏體驗．學生對概念的具體形象和特征缺乏主動思考,不能在意識中引發概念形象和聯想的知識，缺乏認知感悟和思維體驗的過程.

(3)淺層應用，缺乏思考．學生缺乏對數學概念重要性和必要性的認識,應用注重表層，未能凸顯深度學習，導致思維“碎片化”和“表層化”，常常表現出“一看就會，一做就錯”．

2 基于深度教學理念的初中數學概念課的教學改進

深度教學是以學生發展為中心，基于實現學生深度學習而提出的一種新的教學理念．為了避免數學概念教學中的種種迷失，現對概念教學踐行深度教學，我們將基于深度理解而進行“重新構建”、基于深度體驗而“意義賦予”、基于深度反思而“深度學習”．其教學改進流程如圖1.

圖1

下面以蘇科版教材七年級上冊“6.2角”(第一課時)為例探索基于深度教學理念的初中數學概念課的教學改進．

2.1 樂思尋疑，感知概念——提升數學概念課堂教學的溫度

深度教學是通過真實有意義的問題情境去啟迪學生思維、激發學生情感、引發認知沖突，讓學生自主尋疑的教學．因此，教師應從學生的已有經驗出發，創設合適的問題情境激發學生的學習興趣，幫助學生進入積極思考的狀態從而去發現問題，使學生能主動體驗、直觀感知概念的產生過程，并思考感悟新的數學概念和自我之間的意義和關聯．

問題1 同學們已經學習了“直線、射線、線段”，有沒有思考過在同一平面內兩條線能組成怎樣的圖形呢？用你手邊的學具來做做看．

問題2 在你們所擺放的圖形里面有認識的最基本的圖形嗎？請你指出來并響亮地說出它的名字．

問題3 請你畫一個這樣的圖形．生活中這樣的圖形隨處可見，能說說嗎？

教學說明認知始于操作和觀察，數學概念教學的最佳方式是借助概念的直觀背景，讓學生在教師創造的情境中做一個“發現者”．深度教學需要教師營造一個符合知識本身需要的適切的真實情境，引導學生沉浸于學習情境和以知識為指向的事物的環境，讓學生在不經意的現場情境中獲得自然而豐富的直觀體驗．學生在“動手”操作過程中積極“動腦”并能舉出生活中的一些圖例，直觀感受到“角”的引進主要反映了這樣一個需要，即是如何反映直線(線段)與直線(線段)之間的位置關系[2]，從而能初步感受引入“角”概念的必要性以及接著研究與其相關概念的合理性，這是本節知識的邏輯起點．

2.2 樂探解疑，明晰概念——拓展數學概念課堂教學的廣度

數學思維的特點是用概念來思維，而深度教學就是基于學生的知識內在結構和整體性關聯，讓學生進行深度探究和思維的教學．所以，數學概念教學要根植深度教學去引導學生主動探究、深度思考，幫學生把凝結在數學概念中的思維結打開，于存疑處解疑、無疑處生疑，從而深刻理解概念的內涵和外延．同時數學概念教學要能夠以單元為抓手、以個體經驗為背景、以問題為主線、以知識為載體，引入基于概念與生活聯系、概念與概念聯系、概念間結構聯系以及概念學習的經驗與方法聯系的關聯性學習．讓學生在概念的明晰中實現數學概念體系和數學思維的同步發展，學生的思維站在數學概念體系中央，使得“數學概念”的學習真正發生．

問題4 同學們在小學時已經初步認識了角，進入初中階段后我們將從知識系統的角度來有序地進一步深入認識角．通過前面學習“直線、射線、線段”的經驗，同學們都知道，要認識一種新的圖形，首先要給它——下定義(學生齊答).

問題5 對照不停工作的時鐘，我們可以試著從另外的角度來認識角嗎？

師生活動 學生互相討論，互相補充后提煉得到角的動態定義(略)，明確角的始邊和終邊，并指出在兩種特殊位置下形成平角和周角．

教學說明給學生設置“真活動”、提出“真問題”,讓學生經歷討論歸納—自主命名—描述定義的過程，一系列活動充分展示了數學知識自然創生及發展的過程．教師通過引導學生在直觀可視的操作基礎上不斷豐富和完善角的特征和屬性，使學生深度體驗到“角”定義的形成過程，學生思維呈現可見的生長狀態．由此用數學特有的方式來激發學生的體驗、理解和反思，使得深度學習發生于真實的自主探究之中，為今后研究對象的進一步擴展打下伏筆．

問題6 根據已有的經驗，你覺得我們在得到了“角”的定義后接著需要研究角的哪些方面？

學生活動 學生相互補充說明,分別是角的符號表示、角的大小、角的比較，以及角的和、差、倍、分的作圖與計算．

問題7 我們就依次解決同學們所提出的幾個方面的問題．閱讀課本152頁第4段內容，完成以下表格，自己畫出一個角并試著表示．

角表示的方法注意事項方法一方法二方法三方法四

問題8 你會表示圖2中的角嗎？你有幾種表示方法？在∠ABC內部作一條或兩條射線(如圖3和圖4)，你能表示其中所有的角嗎？

圖2 圖3 圖4

問題9 對于圖3中的∠1和∠2以及∠ABC，你能用哪些方法比較它們的大??？你能說出它們之間的數量關系嗎?你能說出圖4中那些角之間的數量關系嗎？

問題10 如何表示角的大??？角的度量單位是度，你們認為僅一種度量單位能滿足我們的需要嗎？

師生活動 學生已經認識到需要采用比“度”更精確的計量單位來更準確地刻畫角的大?。诖嘶A上，教師介紹角的單位度、分、秒及它們之間的數量關系．

教學說明學生對“直線、射線、線段”的學習已有初步的經驗，作為同單元“角”概念的學習，應以單元為站位，從數學知識內部出發，來建構數學知識體系上具有系統一致性的結構化教學，并讓學生初步感知單元統攝下的數學結構和知識間的縱橫聯系．教師施以連環追問讓學生深度探究和思考，從而在聯系和比較中感受知識的結構性，在閱讀和思考中感知符號意義的合理性，在表達中感悟數學知識的邏輯性，學生自覺體會建立在概念系統性上的一致性、邏輯性和嚴謹性,讓知識學習往高階思維的縱深方向發展．

2.3 樂辨質疑，深刻概念——豐實數學概念課堂教學的效度

對于數學概念教學，教師要能夠創造時機，深度設計具有思辨性、開放性的問題，引導學生分析問題，將所學的概念體系充分內化與整合，主動思辨應用到新的情境中并能夠解決問題，呈現可見的創造性思維和批判性思維．在此過程中，教師要充分尊重遷移發生的規律，通過變更研究概念對象的角度和方法，在問題的變式和延展中不斷改造、不斷完善學生的元認知策略，促進學生學習的正向遷移，促使他們由知識和技能的掌握過渡到能力和素養的養成，形成數學概念深層的理解力和高效的學習力,獲得創造概念學習的意義感.如此，教師“深教”便成就了學生“智學”．

問題11 在圖4中，若∠1=23°48′，∠2=35.24°，則

①∠1=°；∠2=°′″.

②你還能提出什么問題呢？

問題12 (1)你能仿照問題11來給圖4設計問題并解決嗎？

(2)你還能提出其他不同類型的問題嗎？

教學說明整體開放性問題的設置引導學生依托所學知識從不同的角度思考問題，試著變題、編題、鑒題以及在問題中留白，引發學生進行全方位、多角度、深層次的思考，不斷提升學生“數學思考”的水平，使不同層次的學生都得到了不同的發展[3]，讓他們從模仿到主動去設計和創造并遷移應用，用不同的策略完善了對概念體系的深刻理解、思辨和創新，實現了數學學習的豐富性和多樣性，提升了批判性思維和思考型學力．

2.4 樂活再構，精致概念——根植數學概念課堂教學的深度

深度教學是立足于知識建構、促進內化與反思的教學．因此，教師要充分挖掘概念所蘊含的價值資源，超越概念表層的符號知識，以數學的教育形態將知識教學與價值觀融為一體，引領學生感悟概念體系所承載的思想方法和文化內核，形成自己對數學內容獨特的邏輯理解，并實現對知識的重構．在數學概念的意義關懷與價值情懷中感受數學文化和思想的熏陶，不斷提升數學思考的速度和深度，并不斷積累經驗、發展高階思維，使課堂教學呈現持續積極深度發展的樣式，實現知識意義增值和情感智慧共生．

問題13 今天我們類比“直線、射線、線段”的學習經驗，再探同學們熟悉的“角”圖形，你經歷了怎樣的學習過程，有怎樣的體驗和感受？

問題14 你能和同伴分享自己對角概念的學習路徑的理解嗎？

教學說明我們希翼評價從“甄別”和“選拔”走向“促進”“發展”和“重構”,使學習評價成為助推學生素養發展的特有方式和手段．本節課教師引導學生從已有的認知結構走進課堂，經歷了豐富而有意義的探索之后又重建結構并回到結構中去(如圖5)，這一“淺出深入”、充滿智慧的思維之旅讓學生深刻地感悟知識的聯系性、邏輯性和建構性，使得數學概念的知識網絡越趨完整、系統和精致，提升了數學學科關鍵能力并促進指向智慧型知識建構能力的發展．

圖5

3 結語

深度教學是教學發展性的呼喚,深度教學理念傾注了對學生發展豐富性的要求，凝聚了對學生生命成長的關注，滲透著對課堂教學發展性品質的追求[4]．數學概念本身內在的發展價值及其整體化意義需要理解至“充分深度”的深度教學，我們廣大數學教師要把深度教學落實在概念豐富多彩的學習實踐中，使學生深刻理解數學概念的多維教育價值．讓我們積極做深度教學的實踐者，不斷踐行有生命、有力量、有意義的數學教學，助推學生在數學精神的浸潤中、在數學關鍵能力的養成過程中實現數學教育價值的創生．