基于“自治自動”的數學教學實踐與思考
——以“解三角形復習課”為例*

戚有建 (江蘇省揚州中學 225009)

1 問題提出

上世紀二十年代，美國著名教育學家、心理學家杜威首先提出了“自治自動”教育思想，并于1919—1921年間來華訪問和講學.受杜威先生影響，陶行知、朱自清成為“自治自動”教育思想的積極傳播者和實踐者.陶行知先生撰文《學生自治問題之研究》對“自治自動”進行闡述：學生自己管理自己，自我評價，自己發揮主觀能動，實現自我成長.朱自清先生的教育理念集中體現在他給母校揚州中學譜寫的校歌中：“人格健全，學術健全，相期自治與自動，欲求身手試英豪，體育須兼重.”“人格健全，自治自動”也成了揚州中學沿承百年的教育主張.作為揚州中學的一名教師，筆者也在努力繼承和發揚這一教育主張，并且將其與數學教學融合起來，充分發揮學生的主體作用，促進學生數學思維的提升，逐步實現用數學的眼光觀察世界，用數學的方法研究世界，用數學的語言表達世界.

為了踐行“自治自動”，筆者以“解三角形復習課”為題上了一節公開課，授課對象是揚州中學高一理科重點班的學生，他們基礎扎實、思維敏捷、積極性高，有較強的合作精神和探究能力．本節課的設計定位是“問題由學生提、思路由學生想、方法由學生說、反思由學生悟”．新穎的教學設計、豐富的數學活動，催生了精彩的數學課堂，取得了良好的教學效果，受到聽課教師們的一致好評．

2 教學案例

2.1 基本構想

解三角形是由已知的邊角確定未知邊角元素的過程．而正、余弦定理的作用就是將邊角間的關系數量化，從而構建方程(或方程組)，因此方程思想是解三角形的關鍵．如果已知的方程個數比未知的邊角元素個數少，這樣就變成不確定三角形，此時就可以研究三角形中的最值(范圍)問題．

2.2 教學過程

(1)學生自治自動提出問題

情境三角形的6個元素(3條邊和3個角)中知道幾個就能解三角形？有哪些類型？

意圖此情境幫助學生回憶正、余弦定理的內容，思考正、余弦定理的作用及解三角形的幾種常見類型.

問題在△ABC中，已知b=7，B=60°，，求.(請填一個條件，然后解答問題)

意圖以開放題的形式呈現，讓學生自己填寫條件解答問題，可以激發學生興趣，啟發學生思考，讓學生學會自己提出問題，從而實現自治自動，提升數學思維．

教學中，學生首先想到的是下面兩種方案：給角求邊、給邊求角.學生根據這兩種方案很容易編題，例如下面的題目1、題目2.

(2)學生自治自動分析問題

追問比較題目1和題目2，哪個問題值得進一步研究(哪個問題復雜點)？為什么？

意圖啟發學生進一步深入思考，體會這兩類問題的差異，雖然都是用正弦定理處理，但是題目2中三角形可能會有兩解.此時學生很自然地會想到編寫這方面的題目，例如下面的題目3、題目4.

題目3 (判斷三角形有幾個解)在△ABC中，已知b=7，B=60°，a=8，判斷△ABC有幾個解？(答案：2個解)

題目4 (判斷三角形有幾個解)在△ABC中，已知b=7，B=60°，a=5，判斷△ABC有幾個解？(答案：1個解)

教學中還有學生想到了給邊求邊,例如：

題目5 (給邊求邊)在△ABC中，已知b=7，B=60°，a=8，求c.(答案：3或5)

解析本題可以用正弦定理處理，也可以用余弦定理處理，可啟發學生體會其中的差異.實際上用余弦定理簡單，因為它將原問題轉化為二次方程問題，如果用正弦定理，則轉化為三角方程問題，而且解題步驟會多一些.

教學中，還有學生想到了給面積求周長，或者給周長求面積，例如下面的題目6、題目7.

解析題目6、題目7旨在幫助學生體會正余弦定理的作用是將邊角間的關系數量化，從而構建方程(或方程組)，而在具體處理方程時可以一解到底，也可整體處理、設而不求.

(3)學生自治自動解決問題

學生的主動性被激活了之后就愿意思考、樂于思考.以上面的題目3為例，在“有幾個解”這個重難點上，學生經過思考想到了很多好的解法：

解法1(交軌法)先作∠B=60°，然后在一條邊上取BC=8，再以C為頂點、7為半徑畫圓(圖1)，因為圓與∠B的另一條邊有兩個交點，所以△ABC有2個解.

解法3(余弦定理法)在△ABC中，由余弦定理得c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，所以△ABC有2個解.

(4)學生進一步提出問題

如果已知的方程個數比未知的邊角元素個數少，則三角形不確定，此時就可以研究三角形中的最值(范圍)問題.例如下面的題目8、題目9.

題目9 在△ABC中，已知b=7，B=60°，求△ABC周長的最大值.(答案：21)

題目9實際上可以歸結為題目8，題目8的處理方法很多.

解法1構建基本不等式求最值

解法2構建目標函數(三角函數)求最值

解法3借助軌跡求最值

3 教學思考

3.1 “自治自動”是踐行課標理念的有效途徑

新課標強調，教師要更新教育觀念，改變教學方式，讓學生由被動學習轉變為主動學習，由被動接受者轉變為主動建構者.而自治自動的教育主張可以充分發揮學生的主體性，幫助學生自己主動發現問題、分析問題、解決問題，并且能及時地對自己的思維過程進行自我調控.自治自動可以促進高中數學教師教學方式和教學理念的轉變，實現教學策略的改進，從而促進高中生數學學習方式的轉變，實現數學思維能力的提升.

3.2 要努力培養學生發現問題和提出問題的能力

新課標中明確提出了“四基”和“四能”兩大課程目標,“四能”具體是指提高學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．愛因斯坦曾指出：“發現一個問題往往比解決一個問題更重要，因為提出新問題，需要創造性的想象力”.顧明遠教授說：“新世紀的教育要求學生獨立思考，敢想敢做，勇于創新，不能提出問題的學生不是一個好的學生”.可見，發現問題和提出問題是創新的開始.教學中，教師可以從問題的聯想和類比、問題的延伸和推廣等方面啟發學生去發現問題和提出問題．

3.3 要讓學生經歷探究的過程，體驗過程的艱辛

教學方式、學習方式的轉變是新課標的本質要求，新課標倡導通過各種形式的數學活動，讓學生親身體驗數學知識的發生、發展和形成過程．波利亞說過“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其內在規律”．現在的學生都是在“順利”中長大的，生活中缺乏挫折和磨練，而通過一些“不順利”的數學探究之路，可以讓學生對探究歷程的艱辛有深刻的認識，對科學道路的曲折有深刻的理解，同時也能培養學生堅強的毅力與不服輸的精神．