戚有建 (江蘇省揚州中學 225009)
上世紀二十年代,美國著名教育學家、心理學家杜威首先提出了“自治自動”教育思想,并于1919—1921年間來華訪問和講學.受杜威先生影響,陶行知、朱自清成為“自治自動”教育思想的積極傳播者和實踐者.陶行知先生撰文《學生自治問題之研究》對“自治自動”進行闡述:學生自己管理自己,自我評價,自己發揮主觀能動,實現自我成長.朱自清先生的教育理念集中體現在他給母校揚州中學譜寫的校歌中:“人格健全,學術健全,相期自治與自動,欲求身手試英豪,體育須兼重.”“人格健全,自治自動”也成了揚州中學沿承百年的教育主張.作為揚州中學的一名教師,筆者也在努力繼承和發揚這一教育主張,并且將其與數學教學融合起來,充分發揮學生的主體作用,促進學生數學思維的提升,逐步實現用數學的眼光觀察世界,用數學的方法研究世界,用數學的語言表達世界.
為了踐行“自治自動”,筆者以“解三角形復習課”為題上了一節公開課,授課對象是揚州中學高一理科重點班的學生,他們基礎扎實、思維敏捷、積極性高,有較強的合作精神和探究能力.本節課的設計定位是“問題由學生提、思路由學生想、方法由學生說、反思由學生悟”.新穎的教學設計、豐富的數學活動,催生了精彩的數學課堂,取得了良好的教學效果,受到聽課教師們的一致好評.
解三角形是由已知的邊角確定未知邊角元素的過程.而正、余弦定理的作用就是將邊角間的關系數量化,從而構建方程(或方程組),因此方程思想是解三角形的關鍵.如果已知的方程個數比未知的邊角元素個數少,這樣就變成不確定三角形,此時就可以研究三角形中的最值(范圍)問題.
(1)學生自治自動提出問題
情境三角形的6個元素(3條邊和3個角)中知道幾個就能解三角形?有哪些類型?
意圖此情境幫助學生回憶正、余弦定理的內容,思考正、余弦定理的作用及解三角形的幾種常見類型.
問題在△ABC中,已知b=7,B=60°,,求.(請填一個條件,然后解答問題)
意圖以開放題的形式呈現,讓學生自己填寫條件解答問題,可以激發學生興趣,啟發學生思考,讓學生學會自己提出問題,從而實現自治自動,提升數學思維.
教學中,學生首先想到的是下面兩種方案:給角求邊、給邊求角.學生根據這兩種方案很容易編題,例如下面的題目1、題目2.
(2)學生自治自動分析問題
追問比較題目1和題目2,哪個問題值得進一步研究(哪個問題復雜點)?為什么?
意圖啟發學生進一步深入思考,體會這兩類問題的差異,雖然都是用正弦定理處理,但是題目2中三角形可能會有兩解.此時學生很自然地會想到編寫這方面的題目,例如下面的題目3、題目4.
題目3 (判斷三角形有幾個解)在△ABC中,已知b=7,B=60°,a=8,判斷△ABC有幾個解?(答案:2個解)
題目4 (判斷三角形有幾個解)在△ABC中,已知b=7,B=60°,a=5,判斷△ABC有幾個解?(答案:1個解)
教學中還有學生想到了給邊求邊,例如:
題目5 (給邊求邊)在△ABC中,已知b=7,B=60°,a=8,求c.(答案:3或5)
解析本題可以用正弦定理處理,也可以用余弦定理處理,可啟發學生體會其中的差異.實際上用余弦定理簡單,因為它將原問題轉化為二次方程問題,如果用正弦定理,則轉化為三角方程問題,而且解題步驟會多一些.
教學中,還有學生想到了給面積求周長,或者給周長求面積,例如下面的題目6、題目7.
解析題目6、題目7旨在幫助學生體會正余弦定理的作用是將邊角間的關系數量化,從而構建方程(或方程組),而在具體處理方程時可以一解到底,也可整體處理、設而不求.
(3)學生自治自動解決問題
學生的主動性被激活了之后就愿意思考、樂于思考.以上面的題目3為例,在“有幾個解”這個重難點上,學生經過思考想到了很多好的解法:
西盟縣在引入云嶺牛項目之初,就已擺脫傳統的農戶散養模式,千百年來靠山散養的落后畜牧方式已經升級換代。在云南省其他地方,云嶺牛推廣一開始就全產業鏈介入,規?;B殖使得產業得到穩步發展。
圖1
解法1(交軌法)先作∠B=60°,然后在一條邊上取BC=8,再以C為頂點、7為半徑畫圓(圖1),因為圓與∠B的另一條邊有兩個交點,所以△ABC有2個解.
解法3(余弦定理法)在△ABC中,由余弦定理得c2-8c+15=0,解得c=3或c=5,所以△ABC有2個解.
(4)學生進一步提出問題
如果已知的方程個數比未知的邊角元素個數少,則三角形不確定,此時就可以研究三角形中的最值(范圍)問題.例如下面的題目8、題目9.
題目9 在△ABC中,已知b=7,B=60°,求△ABC周長的最大值.(答案:21)
題目9實際上可以歸結為題目8,題目8的處理方法很多.
解法1構建基本不等式求最值
解法2構建目標函數(三角函數)求最值
解法3借助軌跡求最值
新課標強調,教師要更新教育觀念,改變教學方式,讓學生由被動學習轉變為主動學習,由被動接受者轉變為主動建構者.而自治自動的教育主張可以充分發揮學生的主體性,幫助學生自己主動發現問題、分析問題、解決問題,并且能及時地對自己的思維過程進行自我調控.自治自動可以促進高中數學教師教學方式和教學理念的轉變,實現教學策略的改進,從而促進高中生數學學習方式的轉變,實現數學思維能力的提升.
新課標中明確提出了“四基”和“四能”兩大課程目標,“四能”具體是指提高學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.愛因斯坦曾指出:“發現一個問題往往比解決一個問題更重要,因為提出新問題,需要創造性的想象力”.顧明遠教授說:“新世紀的教育要求學生獨立思考,敢想敢做,勇于創新,不能提出問題的學生不是一個好的學生”.可見,發現問題和提出問題是創新的開始.教學中,教師可以從問題的聯想和類比、問題的延伸和推廣等方面啟發學生去發現問題和提出問題.
教學方式、學習方式的轉變是新課標的本質要求,新課標倡導通過各種形式的數學活動,讓學生親身體驗數學知識的發生、發展和形成過程.波利亞說過“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現,因為這種發現理解最深刻,也最容易掌握其內在規律”.現在的學生都是在“順利”中長大的,生活中缺乏挫折和磨練,而通過一些“不順利”的數學探究之路,可以讓學生對探究歷程的艱辛有深刻的認識,對科學道路的曲折有深刻的理解,同時也能培養學生堅強的毅力與不服輸的精神.