“初見函數”教學設計和思考*

倉萬林 (江蘇省江陰市要塞中學數學寫作工作室 214432)

1 學情分析

教學對象是三星級普通高中高一學生，數學基礎一般，剛剛進入高中不到一個月的時間，處于從初中到高中數學學習的轉折階段．

2 教材解讀

本節課是第三章“函數的概念與性質”第一節內容．函數是高中數學的核心概念，也是普通高中人教A版數學教材第一冊的主體內容，包括函數概念和性質、常見類型的函數(冪函數、指數函數、對數函數和三角函數).因為函數是貫穿高中數學課程的主線，所以函數內容在高中數學課程中具有奠基地位，對培養學生的數學抽象、直觀想象、數學運算和數學建模等素養有重要意義．

教學目標 (1)閱讀函數歷史相關材料，感受函數概念的發展脈絡，用集合語言和對應關系刻畫函數；(2)了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域；(3)了解函數的主要內容和學習方法，提升邏輯推理等學科核心素養．

教學重點 函數的概念和函數概念理解．

教學難點 函數概念中對應關系f和函數記號y=f(x)的理解．

3 過程實錄

(課前循環播放視頻：函數歷史人物)各位同學，下午好，今天我們一起“初見函數”(課題取自清代著名詞人納蘭性德的詞：“人生若只如初見”)．

3.1 教學環節1：漫話函數

函數是中學數學中最常用也是最重要的概念，已經有三百多年歷史．17世紀中葉，數學從常量數學發展到變量數學時期，函數的概念應運而生．1637年前后，法國數學家笛卡爾(圖1)在《幾何學》中已注意到一個變量y對另一個變量x的依賴關系，這是函數思想的萌芽．17世紀后期，牛頓、萊布尼茲(圖2)出場．1694年，萊布尼茲首次使用function(函數)表示“冪”，如x,x2,x3都叫函數．牛頓在討論微積分時，使用“流量”來表示變量間的關系．

圖1 笛卡爾

1718年，瑞士數學家約翰·貝努利(圖3)對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量”．變量x和常量構成的式子都叫做x的函數．函數從此進入解析式時代．1837年，德國數學家狄利克雷(圖4)認識到如何建立x與y之間的對應關系無關緊要，因而創立了現代函數的正式定義：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數．”這個定義抓住了概念的本質屬性．初中函數的定義就是這個版本．

圖3 約翰·貝努利

20世紀初，德國數學家康托爾(圖5)創立的集合論在數學中確立了重要地位，數學家們用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義．現在高中課本采用的就是這種形式．

圖5 康托爾 (1845—1918)

一般地，設A,B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A．其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．

如今是一個大數據的時代，算法為王，蘇教版教材上的函數概念解讀方式如圖6，秒懂．

圖6 圖7 李善蘭(1811—1882)

函數(function)，由中國的數學家李善蘭(圖7)翻譯．李善蘭十分貼切地創譯了大批科學名詞，如代數學中的代數、函數、常數、變數、系數、已知數、未知數、方程式、單項式等．

設計意圖通過函數歷史的梳理，使學生體會到函數的歷史就是一個函數內涵不斷被挖掘、豐富和精確刻畫的歷史過程，同時也可以看出數學并非生來就有、一成不變，數學也在與時俱進．

3.2 教學環節2：概念理解

為什么高中把“對應”叫做函數，而初中把y叫做x的函數呢？高中將函數的記號寫成“y=f(x)，x∈A”，y=f(x)的形式頗令人費解．

f(x)=4x與f(t)=4t，甚至f(2x)=4(2x)都表示同一對應關系(表示一個函數)：□→4×□，意味著將任一實數擴大到原來的4倍，與選用什么字母表示輸入值沒有關系．

函數，作為對應關系，實現了“將每一個輸入值x變為與之對應的唯一輸出值y”的功能．好像把豬送進一種機器加工，出來后變成令人垂涎的“香腸”(圖8)．函數，就如同香腸加工的機器，實現了“變豬為香腸”的功能．

圖8

有正向的函數加工過程，反過來就有反函數，我們可以把豬變成香腸，但反過來不一定能做得到．一個函數是否存在反函數是要看是否具備了一定條件的，后面我們會繼續學習．

設計意圖通過簡單的案例，從不同的視角認識函數對應的本質，復合函數和反函數的出現更能體現對函數對應本質的理解．

3.3 教學環節3：內容掃描

(1)函數的概念

一般地，設A,B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x)，x∈A．

函數的定義域、對應法則、值域稱為函數的三要素，當定義域和對應法則確定之后，值域也就確定了．判斷兩個函數是否為同一個函數，只要看函數的定義域和對應法則是否相同．

例1(人教B版第一冊第87頁)求下列函數的定義域：

例2下列函數中哪個與函數y=x是同一個函數：

例題講解(略).

(2)函數的性質

在初中原有函數性質基礎上作進一步抽象和延伸．

·單調性

如圖9，一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D?I：如果?x1,x2∈D，當x1

圖9 圖10

如圖10，一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D?I：如果?x1,x2∈D，當x1f(x2)，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減．

·奇偶性

如圖11，一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數就叫做偶函數．

圖11 圖12

如圖12，一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)= -f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數．

·周期性

如圖13，一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x) 就叫做周期函數．非零常數T叫做這個函數的周期．

圖13

設計意圖讓學生了解函數研究的主要內容，同時掌握簡單函數的定義域的求解方法，會辨析兩個函數是否為同一個函數，兼顧眼前的“茍且”與“詩和遠方”．

3.4 教學環節4：學習指南

設計意圖立意在引領學生從方法角度審視高中數學學習．

3.5 課堂小結(略)

3.6 課后作業

(1)閱讀課本相關內容，完成第72頁習題3.1練習1～4．

(3)(選做題)數學閱讀與寫作題：閱讀函數等相關材料，寫一篇題為《函數面面觀》或者《邂逅函數》的文章，文體不限，可以參考微信公眾號“數學寫作”中的學生作品．歡迎投稿至：sxxzlm@163.com，優秀稿件可以在微信公眾號“數學寫作”推送或者推薦到數學雜志發表．

設計意圖作業1，回歸課本閱讀，培養學生的自學能力．作業2，狄利克雷函數是體現函數發展的重要經典函數之一．作業3，數學閱讀與寫作題，意在引領學生關注數學閱讀和寫作．同時，“邂逅”在語境上對應前面的初見，再次點題．

4 教學思考

本次《中學數學月刊》“走進課堂”活動，同時也是“數學寫作”學校聯盟“進入課堂的數學寫作”系列活動之一，在前期，已經有6篇教學設計和思考的系列文章發表．下面從本節課的課型確定、設計思路、內容選擇等方面呈現筆者的思考．

4.1 對章節起始課的理解

章首課，是一種新型教學形式，其基本目標是讓學生對即將學習的內容有一個宏觀的了解，對整章知識結構進行初步的思維建構，促進學生有意義的學習．隨著課程改革的不斷深入，教與學的行為逐漸聚焦“核心素養”，我們越來越重視教學過程中的返璞歸真．課本中章頭圖、章首語等隱性課程元素也逐漸體現出應有的教育價值，于是在傳統課型之外，章節起始課應運而生．雖然章節起始課的研究和實踐時間不是很長，但其重要性和價值正逐漸為廣大一線教師所慢慢接受．事實上，章節起始課的教學可以促進新知識的學習，具有先行組織者的作用．章節起始課教學能夠幫助學生構建良好的數學認知結構，掌握基本的思想方法，感受數學應用的廣泛性，對培養學生的數學核心素養大有裨益，應得到足夠重視．

4.2 本節課的設計思路

本節課選用了“4W”設計法，緊緊圍繞是什么(what)、為什么學(why)、學什么(what)和怎么學(how)四個環節展開，讓學生整體把握全章的相關背景知識、知識內容之間的相互聯系、邏輯體系以及知識背后的文化與應用，明晰本章的學習特點和學習方法．[1]

章節起始課的設計應追求大利益、高境界，勾勒出特定內容的研究藍圖．根據目前的研究成果來看，章節起始課一般分為兩種類型：章節內容和第一自然小節整合型章節起始課和大單元視角下的章節起始課．筆者嘗試貼近實際，整合多個版本教材，如例題1和蘇教版教材上函數概念的理解等，進行跨章節視角下的章節起始課教學，試圖向學生傳遞數學的整體觀和研究數學新問題的基本意識．對函數而言，它的知識生長點是函數的概念、函數的基本性質、基本初等函數等等，課堂教學時需要引導學生回顧已有的對函數概念的認知和熟悉的研究路徑，一方面可以整體認識單元的學習內容，另外一方面可以讓學生初步了解問題的研究思路．選擇跨章節視角下的章節起始課的原因在課題設計中已有所暗示，本節課安排了多個數學閱讀環節，比如函數的發展歷史、函數概念等，體現了教學中對文本閱讀的訓練，另外從學生已有的知識儲備來看，函數的簡單概念和性質等在初中已經有所接觸．至于學習方法建議中的猜想-證明的思路，其實前兩個步驟在其他內容中已廣泛應用，因此從跨章節視角來設計函數單元起始課是基本符合學生的認知規律的．

本節課按一明一暗兩條線索展開教學活動．第一條是明線：知識的線索．主要回答以下幾個問題：為什么要學習函數？(數學內部發展的需要．)函數中學習什么？(函數概念、函數性質等．)如何學習函數？(重視定義域，函數性質的證明，用好技術手段等．)第二條是暗線：數學欣賞的線索．從視頻片段欣賞到圖片欣賞，在數學閱讀中，結合科普化的圖片案例，潛移默化中完成了系列的數學閱讀和欣賞過程．函數中有豐富的數學文化的內容，這些需要我們在日常教學中引起足夠重視．在本次章節起始課中，引導學生“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界”[2]，或多或少，我們接近和初步達到了核心素養下的課程目標．

4.3 本節課的內容選擇

本節課的一個最大嘗試在于教學內容的選擇，主要說明兩點：

(1)章節視角下的章首課教學，一般以整章內容為范圍，將基本的冪函數、指數函數、對數函數內容整體納入本節課．本課設計在內容上進行了舍取，去掉了冪函數、指數函數、對數函數，補充了三角函數中才出現的函數的周期性，這也是課后爭議比較多的地方．

(2)在函數概念理解中引入了復合函數和反函數的概念．通常認為這兩個難點內容不應該出現在概念課上，尤其是反函數的概念．本節課中，筆者從簡單的案例出發，用對應的觀點解讀復合函數概念，這與傳統的復合函數教學方式有較大差異．對于反函數，本節課留給師生們印象最深的是科普化的卡通豬變香腸的案例(當然，這里的類比推理是否合適，有值得討論的地方)，這也是當初教學設計時沒有想到的，或許也啟示我們課堂教學探索可以沒有禁區，更不能主觀地畫地為牢．反函數概念的引入，恰恰幫助我們理解了函數中對應的概念本質，有降維打擊的效果．

4.4 本節課的不足

在授課后筆者認為需要改進的地方有如下兩處：(1)函數性質中概念理解的抽象化程度較高，從圖的視角呈現概念，一定程度上脫離了學生的知識實際．在函數性質中，可以選擇講透函數的一個性質，而不是一一簡單羅列．(2)函數的概念引入中，歷史材料的簡單羅列并未在學生思維上形成函數概念的認知沖突．或許可以從函數歷史發展過程中的問題出發引進函數概念，引發函數概念的歷史升級，比如作業中的第2個問題．