數學實驗教學：趣折相似 巧生幾何直觀
——以“折紙中的相似”為例

黃曉雨 (江蘇省淮安市淮陰中學新城校區 223001)

縱觀近幾年的基礎教育改革,整體雖取得了不錯的成績，但數學實驗教學的發展卻止步不前、舉步維艱，主要原因在于教學環境、教學設備等客觀條件的限制以及教師對數學實驗教學的錯誤理解，即認為數學實驗教學要在高科技教室中開展，要為學生配備先進設備等，導致數學實驗教學在日常教學中難以施展.其實數學實驗教學并非一定要在高科技教室、先進設備加持下展開，日常生活中的道具都可以成為數學實驗教學的工具.本文通過學生動手折疊A4紙，揭示相似的理論依據，進一步認識幾何直觀的價值，從而提高學生幾何直觀的能力.

1 零起點緩坡度小步走——折線

·折疊線段，形成方法

準備活動(1)學生拿出A4紙、小尺、剪刀、鉛筆等工具；(2)在A4紙上畫一條任意長的線段AB.

師：請同學們動手折線段AB的垂線，并說明為什么所折的折線是線段AB的垂線．

經過小組合作交流，方法總結為：將線段AB對折(折痕兩邊重合)，使得點A與點B重合，折痕為線段AB的垂線(圖1).

圖1

理由如下：取折痕上任一點D，因為對折，所以∠BOD=∠AOD．又∠BOD+∠AOD=180°，所以∠BOD=∠AOD=90°，從而OD⊥AB.

師：有理有據！這樣的垂線有多少？怎么折？

生：無數條，將折痕兩邊的線段重合即可．

師：難度升級，請折線段AB的平行線，小組討論如何折疊．(學生疑惑，沒有思路)

師：請思考，目前要證明兩條線平行，你會從哪個角度出發？

生：角！

師：那要折兩線平行，紙中有沒有出現角？

生：沒有！但是可以作一條輔助線與線段AB相交，這樣就出現了角.

師：構造的角度是多少度角比較好呢？

生：直角！因為剛才已經折過線段的直角！

經過師生互動式交流，方法總結為：先折線段AB的垂線a,再折垂線a的垂線b(不與線段AB重合)，得到線段b∥線段AB(圖2).

圖2

師：現在在線段AB外任取一點C，如何過點C折線段AB的垂線與平行線？

生：只需讓剛才折的垂線與平行線過點C即可(圖3)！

圖3

折線總結：(1)折一條已知線段的垂線，將折痕兩端的線段重合.

(2)折一條已知線段的平行線，先折線段的垂線，再折垂線的垂線(不與已知線段重合).

2 仿操作勤督促快反饋——折三角形

·折疊圖形，探索新知

準備活動：(1)將點C與點A，B分別連結，構成△ABC；(2)過點C折△ABC的高CD.

圖4

生：利用剛才過點折垂線的方法，可以折出△ABC的高CD(圖4).

師：取高CD的中點O，過點O折線段AB的平行線，怎么折？

生：過點O折線段CD的垂線分別交線段AC，BC于點E，F，得EF∥AB(圖5).

圖5

師：點E，F在線段上的位置是否特殊？

生：點E，F分別為線段AC，BC的中點，即點O為線段CD的幾等分點，那么折出來的點E，F就分別是線段AC，BC的幾等分點！

師：也就是說，折線段AB的平行線是否只有一種方法？

生：折等分點也可以得到平行線！

折三角形總結：(1)折已知三角形某條邊的高，等價于過此邊的對角頂點折此邊的垂線.

(2)折已知三角形某條邊的平行線：方法一，先折此邊的垂線，再折垂線的垂線(不與已知線段重合).方法二，折另外兩條邊共頂點側的等分點.

3 自主學勤歸納多創新——應用

·開展應用，引領拓展

準備活動(1)請學生在A4紙上折出Rt△ABC，用記號筆描出三邊，標記三個頂點A，B，C；(2)再用剪刀將△ABC剪下.

問：如何折Rt△ABC的三個角，使得折出的三角形與原Rt△ABC相似？小組合作，動手操作．

經過小組討論，折疊的思路分為兩類：

思路1折“正A形”相似

①折銳角∠C(圖6).

圖6

②折直角∠A(方法同①).

通過折“正A形”相似發現：折“正A形”相似的本質就是折一條邊的平行線.

思路2折“反A形”相似

①折銳角∠C(圖7).

圖7

②折直角∠A(圖8).

圖8

師：通過直角折“反A形”相似，有何好方法？

生：只需將直角頂點落在斜邊中線上即可.

·變亦不變，不變亦變

拓展(課后作業)：若將Rt△ABC變成一般的△ABC，重復上面的步驟，能否折出與原三角形相似的圖形？

4 回顧與反思

本節數學實驗課的目的是教會學生動手折相似三角形．若上來就讓學生折一個隨機三角形，然后去折它的相似三角形，很多學生會一臉茫然，無從下手．那么這節數學實驗課又將變成教師主導的“灌溉課”，即教師將自己的折疊方法交給學生，學生的思維就會被禁錮，效果就會大打折扣，達不到數學實驗教學的目地．因而，本節課設計得很有層次，由簡入難，層層遞進：利用兩個基本的折紙方法作為解決問題的關鍵——折已知線段的垂線與折已知線段的平行線.首先通過折疊的性質以及直角度數的特殊性，得到折疊垂線的方法；其次引導學生從平行線判定的角度思考，折已知線段的交線(垂線)，再通過折垂線的垂線得到折平行線的方法；然后將線段變直角三角形，折直角三角形的相似，引導學生運用兩種折紙方法去觀察、描述問題，理解、解決問題.學生把理論與實踐相結合，通過所學的相似判定結合剛才的折紙方法，發現折直角三角形相似就是折垂線或折平行線，從而揭示本實驗操作的本質，甚至部分學生還將方法進行了拓展創新(折角平分線以及折斜邊中線)，積累了數學活動經驗，促進了幾何直觀發展．本節課設計的巧妙之處在于將一般性三角形先強化條件變成直角三角形，通過折直角三角形相似發現，只需要折直角(折角等)就可以得到相似；進而再將折相似弱化成折一邊的垂線或平行線；最后將問題回歸原始，折一般性三角形的相似，學生就可以利用之前所學順利解決此問題.課堂的教學自始至終都是學生自己動手操作，發現方法，得出結論，解決問題.很好地培養了學生動手操作、理論與實際結合、解決問題的能力和探索的精神，有效地將“聽”轉變為“學”的方式，從“實物直觀”“圖形直觀”的角度發展了學生的幾何直觀.

數學實驗的本質是一種學習方式，即學生運用有關工具(如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等)，通過動手動腦“做”數學的數學學習方式，這種學習方式不是簡單地讓學生被動式接受教科書上或者教師所講授的現成結論，而是讓學生從自己已有的“數學知識”出發，變“聽數學”為“做數學”，變“看演示”為“動手操作”，變“機械接受”為“主動探索”.“做實驗”的主動探究過程培養了學生的動手實踐能力、解決問題能力和創新意識，積累基本活動經驗，進而有效轉變初中數學教與學的方式.

學生在折疊實驗課中，通過“折相似”的本質感悟到“化繁為簡”的重要思想.但是，將“折相似”的實驗活動弱化成折線段的垂線或平行線，再利用這兩種方法來“折相似”，這對于學生而言是有一定難度的.這需要學生具有一定的幾何直觀能力，能夠利用圖形的本質描述與分析問題，借助幾何直觀把復雜的圖形變得簡單明了.對于學生而言，這是一個循序漸進的學習過程，在這個過程中，教師應給予學生充分的信任，給予學生更多時間和機會來展示交流，真正實現教學相長.