高中生數學概念學習錯誤的成因及矯正策略*

徐 方 (江蘇省新海高級中學 222006)

葛愛通 (江蘇省贛榆高級中學 222100)

1 問題提出

概念是思維的基本形式之一，是人們在認識自然、改造自然過程中從感性認識上升到理性認識，把所感覺到的事物的共同特征抽象出來加以概括和整理，形成思維體系的基本構筑單位．由于在認知過程中各種原因的積淀形成了一些模棱兩可、是非不定的前概念或錯誤概念，沒有及時采取矯正措施，日積月累直接影響高中生數學學習的進程，使得學生努力學習但數學成績不能提高，導致學生厭學、誤學．

建構主義認識論認為，認識、學習的過程不是簡單地輸入和儲存信息的過程，而是主動地將原有知識、經驗和新信息進行比較、分析、判斷、選擇和重組．建構的過程是同化和順應，當新知識與原有知識結構和思維方式相符時就被同化，否則就會被排斥，當然也可能經修正、重組后再被吸收．由皮亞杰的認知發展論可知，同化是引起認知結構量的變化，而順應是引起認知結構質的變化，順應的難度遠大于同化．高中生雖然具備了一定的批判性思維和邏輯推理能力，但由于自我控制意識能力存在顯著的差異，固有的思維方式根深蒂固，在建構、重組過程中難以擺脫原有構想．因此，研究和矯正因錯誤的前概念而產生的相異構想是高中數學教師面臨的一個極其有價值的問題．

2 高中生錯誤前概念形成的原因分析

2.1 直覺印象根深蒂固

在傳統的平面教學中，教師通常不重視平面概念的教學，表現在只借助“平靜的水面”“光滑的桌面”等物象展開告知的教學.這樣的教學設計，學生得到的只是靜態的、僵化的、沒有遷移能力和發展潛力的概念，學生不能真正理解“平面的無限延伸性”.教師以為靠“生活實例+直觀想象”，學生就能理解平面的概念，這是過高估計了學生的數學抽象能力．教學時應在學生已有的認知基礎上——直線的概念和一個平面內不平行的兩條直線相交，通過作直線的交點的方式來得到平面的公共點，讓學生在動手操作中去體會平面的無限延伸性．

例如，如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點，畫出由A1,C1,P三點所確定的平面α與平面ABCD的交線．

圖1

2.2 初中學習形成的隱性錯誤前概念的延伸

在學習拋物線的幾何性質時，筆者給出這樣一道題：已知拋物線方程y=4x2，寫出焦點坐標和準線方程．很多學生很快給出答案：焦點坐標為(1,0)，準線方程為x=-1．答案錯了，錯在受初中學過的拋物線y=ax2的影響，沒有區分現在學習的拋物線雖然形狀一樣，但研究的方法、體系不一樣，標準形式也不同．高中階段的拋物線是從方程的角度，用代數的方法研究其幾何性質，而初中學習的拋物線是從函數的角度研究其性質．

2.3 初、高中認識銜接不當

2.4 解題不嚴密形成的錯誤構想

教師上課時為了節省時間，在板書時總會省略或跳過原始公式而直接寫出推論．這種一步到位的做法會讓學生養成不按“理”列式計算的壞毛?。忸}過程大量使用“二級結論”使學生產生依賴思想，認為只要記住結論就能順利解題了．事實上解題過程應該是根據題目的已知條件，依據學過的概念、公理、定理或課本上經過證明的推理一步一步求出結果的過程，而不是簡單的羅列和利用一些所謂“巧妙”的結論直接得出結果．

生1：因為函數f(x)是奇函數，所以有f(0)=0，代入直接求得a=1．

師：你覺得你的解法正確嗎？

生1：我覺得蠻對的，以前老師就是這么講的(這個授課班級是高二分班后筆者新接的班)，是不是老師您錯了？(這時教室里發出一些笑聲，一個學生站起來反駁.)

生2：題目說函數f(x)在其定義域上是奇函數，x=0未必在定義域中，所以這道題應分開討論：當x=0在定義域中時，有f(0)=0，代入直接求得a=1；當x=0不在定義域中時，有2x+a=0，得a=-1，所以正確答案應為a=1或a=-1．

生1(有點不好意思)：老師，我明白了，我漏解了．

2.5 主觀臆斷形成的錯誤構想

數學教材一般都是從正面闡述概念，這容易使學生形成思維定勢，妨礙對概念的深刻理解，造成主觀臆斷形成的錯誤構想．在數學中，“相等”是一種非常重要的關系，兩個函數相等的充要條件是定義域相同、對應關系一致，這里對“對應關系一致”的理解是“任意一個自變量所對應的函數值相等”．函數概念的辨析要圍繞函數三要素這個整體，聚焦在對應關系這個核心．

2.6 認知層次達不到要求形成的錯誤構想

李邦河院士提出“數學是玩概念的”．數學概念既是判斷和推理的起點，更是思維的重要形式之一，概念的理解是數學理解的基礎．在概念學習時，由于學生認知思維的差異，導致認知層次的差異，達不到對概念的深刻理解，挖掘不出概念的內涵和外延以致產生一些不必要的錯誤構想．如函數零點概念的學習，很多學生認為函數的零點就是使方程等于零時函數圖象與x軸交點的坐標．

在建構數學概念過程中，無意間在大腦中丟下一粒錯誤的種子，在適當的條件下就會生根發芽，形成形式各異、是非不定的前概念或錯誤概念．數學史中的大量事實證明，錯誤認知在不斷地接受新事實的批判和改良，重新建立新的概念和構想．

3 矯正的策略

3.1 及時發現是矯正的前提

矯正錯誤的前提是要讓學生明白自己的認知是錯誤的．例如在解“函數奇偶性”有關題目時，很多學生都會直接用“若函數f(x)為奇函數，則f(0)=0”這個結論．其實教師只要追問一下“奇函數成立的條件”，或許問題就可以解決．由于學生的錯誤概念暴露的機會比較少，因此發現得越及時越好．開展小組合作學習，組內同伴相互交流時可以將隱蔽的錯誤概念顯露出來，當學生發現自己的認知與別人不同時就會產生認知沖突，引發思考后經過順應過程形成正確的認知．因此用小組合作學習方式矯正學生相異構想的效果比較好．

3.2 調整教學順序，順應學生的思維抑制錯誤構想

3.3 利用邏輯思維的嚴密性，沖擊錯誤概念形成的新認知

從錯誤的概念或構想出發，一步一步經過嚴密的推理論證，推導出相互矛盾的結果，可矯正因錯誤的概念而產生的構想．

3.4 概念形成與概念同化融合，順應矯正相異構想

我們知道概念獲得有兩種基本形式：概念形成和概念同化．概念形成側重于歸納發現，對應于布魯納的發現式學習，而概念同化則本質上是用演繹方式學習概念，對應于奧蘇貝爾的有意義接受學習，在我國表現為啟發式教學．因數學概念的“二重性”，數學概念從具體形象到表象再到抽象的層次性和多元表征，使得數學概念的學習往往需要將概念形成和概念同化融合使用而不能孤立起來．例如在學習任意角的三角函數時，學生往往對“任意角”產生相異構想(因為初中學習的是建構在直角三角形中的銳角三角函數)，這時應幫助其簡單回顧，確立三角函數是刻畫周期現象的數學模型，通過函數視角，探尋從物理到數學，從運動到對應，同化順應，按“函數—任意角三角函數—銳角三角函數”建構概念，從而矯正學生對任意角三角函數的相異構想．

3.5 養成“摳理”和表達規范的習慣

理解數學中關鍵的字詞時要對字詞的意義作出合理的解釋，如任意、存在、無數、所有、至多、至少、變化率、平均變化率、在點處的切線、過點的切線等字詞的意義，可通過討論、查字詞典的形式辨別．在數學中有相同的字眼表達的意義也不相同，在定理、公理的教學中，教師甚至應該把主謂賓、定狀補成分“摳”出來進行細分析，在學生看來教師的“摳”沒有必要，但教師不“摳”，學生就會形成零碎而復雜的錯誤認知，“摳”可以講得更明確，減少相異構想．在立體幾何“直線與平面垂直”的教學中，課本(蘇教版必修2)上是這樣定義的：如果一條直線a與一個平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a與平面α垂直．這時，教師就要“摳出”任意與無數的區別，以防止學生產生相異構想．

4 結束語

在生活和學習中的無意間，大腦中都會留下錯誤的種子，從而產生相異構想．如果在留下錯誤種子之前先把它轉變成正確的種子，錯誤的種子就不會發芽；發現錯誤的種子發芽時及時清除，雜草就不會長大；雜草根深蒂固時斬草除根，正確的禾苗照樣茁壯成長．矯治學生因錯誤的前概念而形成的相異構想，要讓學生錯誤前概念顯現出來，再利用邏輯推理、分析比較、實驗體會、規范表達等策略進行綜合矯治．高中數學教學中矯治錯誤概念中相異構想是一個長期的、反復的、螺旋上升的過程．