求解空間幾何體體積問題的兩種途徑

曹文軍

空間幾何體的體積問題側重于考查棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球的體積公式的應用，這類問題對同學們的空間想象和邏輯推理能力有較高的要求.有些空間幾何體體積問題較為復雜，很多同學不知如何求解.本文介紹兩種求解此類問題的途徑.

一、割補圖形

有些幾何體為不規則圖形，或無法直接求得幾何體的底面和高，此時直接運用棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球的體積公式，很難求得幾何體的體積，需將幾何體進行適當的分割、填補，將其構造成規則的棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球，以便利用棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球的體積公式求解.

1.分割圖形

有些圖形是由多個棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球等拼接而成的，無法直接求得幾何體的底面和高，此時可采用割補法，將幾何圖形分割為幾個簡單空間幾何體，如棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球，然后根據棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球的體積公式分別求出分割后幾何體的體積，最后把所得的結果相加，即可得到不規則幾何體的體積.

例1.如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=3，PA，BC的公垂線ED=2，求三棱錐P-ABC體積.

解：

我們無法直接運用公式求出三棱錐P-ABC的體積，于是采用割補法，通過添加輔助線，將三棱錐P-ABC分割為兩個直三棱錐B-APD和C-APD，再根據直三棱錐的體積公式進行求解即可.

例2.

解：

幾何體A1-EBFD1為不規則幾何體，需運用割補法，把該幾何體分割為三棱錐B-A1EF和三棱錐D1-A1EF，然后根據錐體的體積公式求出兩個三棱錐的體積，最后將所得結果相加，即可求得幾何體的體積.

2.填補圖形

有些幾何體是從一個大的規則幾何體中挖去一部分得到的，此時不易求得幾何體的底面和高，無法直接運用簡單幾何體的體積公式求解，我們需采用割補法，將幾何體填補成完整的、規則的棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球，然后根據棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球的體積公式求得大幾何體和挖去部分的體積，最后將所得的結果相減.

例3.如圖4，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點M、N分別是邊長AD、CC1的中點，點O是平面A1B1C1D1的中心，求三棱錐O-MNB的體積.

解：

我們無法直接求得三棱錐O-MNB的底面和高，于是延長B1N，即可將三棱錐O-MNB填補成大三棱錐O-MBP，只需將三棱錐O-MBP的體積減去N-MBP的體積，即可求得三棱錐O-MNB的體積.

例4.如圖6，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，側面三角形PAD面積為3，點C到平面PAD的距離為1，求四棱錐P-ABCD的體積.

解：

根據所給的條件直接求四棱錐P-ABCD的體積存在一定的難度，由于已知△PAD的面積和點C到平面PAD的距離，于是采用割補法，將四棱錐填補為三棱柱PAD-EBC，用該三棱柱的體積減去三棱錐E-PBC體積，即可求得四棱錐P-ABCD的體積.

二、采用等體積法

當不易求得三棱錐的底或高時，可采用等體積法，將同一個和全等的三棱錐的底面和高轉換，求得轉換后三棱錐的底和高，即可求得三棱錐的體積.對于其他的空間幾何體，可根據問題中所給的條件，將幾何體割補為三棱錐，然后采用等體積法求得幾何體的體積.

例5.

解：

由題意和三棱錐的體積公式：V=13S底×高，可知要求得三棱錐P-MAC的體積，需求得底面PCM的面積和點A到底面PCM的距離，而求點A到平面PCM的距離較難，且VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN，于是采用等體積法，通過轉換底面，求得三棱錐M-ACN的體積，來間接求得三棱錐P-MAC的體積.

例6.

解：

由于A、B都是平面ABCD上的點，到平面A1B1C1D1的距離相同，所以三棱錐B-AEF的體積與三棱錐A-BEF的體積相等，于是采用等體積法，求得△BEF的面積和點A到平面BEF的距離，即可求得三棱錐A-BEF的體積，進而得到三棱錐V-BEF的體積.

通過上述分析可知，當求幾何體的體積受阻時，要仔細觀察幾何體的結構特征，調整思路，通過割補圖形，轉化底面和高，將問題轉化為簡單的棱錐、棱柱、棱臺、圓柱、圓臺、圓錐、球的體積問題來求解，這樣可以達到化難為易，化繁為簡的效果.

（作者單位：甘肅省敦煌中學）