深度整合教材 著力德育滲透
——以“事件的相互獨立性”教學設計為例

任冬宇

(云南師范大學數學學院，650500)

一、背景

2017年教育部頒布了《中小學德育工作指南》，提出不同學科應承擔的德育任務,要求數學、物理、化學等學科,要幫助學生逐步形成敢于創新、求真求實的思想品質[1].教學是德育滲透的主渠道之一,而教學設計作為課堂的預設和文本載體,在其中滲透德育對落實立德樹人的根本任務具有實質性意義.

2019年出版的《普通高中教科書·數學(人教A版)》(以下簡稱“新教材”)不同于《普通高中實驗教科書·數學(人教A 版)》(以下簡稱“舊教材”)模塊式編排方式,其中概率章節的編排變動較大,類比函數學習,教材采用一套更系統、集中的研究路徑[2].但在教學方面,一項針對全國重點高中數學教師概率教學的調查研究顯示,相比幾何、代數等內容的教學,教師在進行概率教學時,往往更易陷入困境,即使是身處教學質量金字塔頂部的重點高中,概率教學也往往存在著效果不佳的情況[3].

基于以上分析,筆者選取新教材必修第二冊第十章第二節“事件的相互獨立性”進行教學設計,以期引起一線教師對德育視域下教學設計更廣泛的思考.

二、教學設計要素分析

1.教材分析

在新教材中,該節內容是在學生已學互斥事件和對立事件的基礎上,進一步了解事件之間的關系及相應概率的計算.舊教材將本節內容設置在選修2-3,以條件概率的學習為基礎.這樣的編排順序不僅沖淡了獨立性的概念,而且過于強調獨立性和條件概率的聯系,忽視了二者之間的區別.新教材將條件概率設置在選擇性必修第三冊,而將該內容提前到必修第二冊.這樣的編排順序較好地說明二者在概率學科中承擔的不同使命[4].因此,授課時要改變以往的思維模式.

2.學情分析

在知識方面,通過前幾節課的學習,學生已初步掌握了和事件、積事件、互斥事件、對立事件等事件的關系和運算，也掌握了古典概型及概率的基本性質,為學習事件的相互獨立性奠定了基礎;在能力方面,高一學生已具備一定的試驗、觀察、分析、發現、歸納等能力,但思維的嚴謹性相對薄弱,仍需教師引導其由感性認識上升到理性認識,進一步得出事件的相互獨立性的公式;在情感方面,學生更愿意接受學中樂,樂中學的教學模式.

3.教學重點與難點

教學重點兩個事件相互獨立的直觀意義及定義,利用事件的獨立性解決實際問題.

教學難點在實際問題情境中,判斷事件的獨立性.

4.教學目標與方法

(1)教學目標

① 結合有限樣本空間,理解兩事件相互獨立的直觀意義.在掌握乘法公式P(AB)=P(A)P(B)的基礎上,結合古典概型,利用對立事件、互斥事件的概率公式進行計算.

② 通過試驗、觀察、發現、聯想、推理、歸納等環節,經歷探索兩事件相互獨立的過程,促進學生理性思維能力的發展.

③ 通過試驗探究啟發學生獲取新知,培養學生學與樂相結合的數學情感,體驗特殊與一般、正難則反等數學思想,滲透直觀想象、邏輯推理、數學抽象、數學運算等數學核心素養.

(2)教學方法

采用探究發現、講授法為主、啟發法為輔的教學方法.

三、教學過程

1.創設情境,激發興趣

情境大家都知道諸葛亮嗎?他是中國歷史上杰出的政治家和軍事家,被看作智慧的化身.一日,諸葛亮偶然間聽到一句話:“三個臭皮匠,抵個諸葛亮”,作為當事人的他對此話深表懷疑,決定用事實推翻這句話.假設已知諸葛亮獨自解出問題的概率為0.8,臭皮匠老大、老二、老三獨自解出問題的概率分別為0.5,0.45,0.4,將三個臭皮匠中至少有一個人解出問題的概率與諸葛亮獨自一人解出問題的概率作比較,誰的概率較大?

師:做概率題之前,一般先設事件.設三個臭皮匠中至少有一個人解出問題為事件D,老大、老二、老三獨自解出問題分別為事件A，B，C.分析事件D，至少有一個人解出問題,分為哪幾種情況?

生1:可以是一個人解出問題、兩個人解出問題,或三個人都解出問題.

師:事件D較復雜!對于復雜的事件,本著“正難則反”的原則,由上一節學習的對立事件可列出什么式子?

設計意圖將俗語轉化為數學模型,引起學生對舊知的主動復習,并充分調動學生認知結構中與本節課相關的知識點,發現部分問題不能解決,引發沖突,進而引出本節課要學習的內容.

2.初探新知,生成定義

問題1通過下面的兩個試驗,觀察事件A的發生是否會影響事件B發生的概率?

問題2P(A)，P(B)，P(AB)之間存在什么數量關系?

試驗1分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣,A為“第一枚硬幣正面朝上”,B為“第二枚硬幣反面朝上”.

師:首先,直觀感知,不論第一枚硬幣是正面朝上還是反面朝上,都不會影響第二枚硬幣的正反面,所以說這兩個事件的發生是互不影響的.如何從定量的角度進行描述?

(教師為學生分發硬幣,以5人為一個小組,分析討論)

師:為了方便,用1表示硬幣“正面朝上”,用0表示硬幣“反面朝上”.剛才大家也投擲了硬幣,發現樣本空間Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}；A={(1，1)，(1，0)}；B={(1，0)，(0，0)}；AB={(1，0)}.由上節課學習的古典概型,大家能求出事件A，B及AB的概率嗎?其關系如何?

師:很好,觀察力很強.那事件間互不影響和公式P(AB)=P(A)P(B)是否具有必然的關聯?該公式是否具有普遍性?現在觀察試驗2,探究是否可得出同樣的結論?

試驗2一個袋子中裝有標號分別為1,2,3,4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A為“第一次摸到球的標號小于3”,B為“第二次摸到球的標號小于3”.

師:直觀上,因為采用有放回的摸球方式,所以不論第一次摸到球的標號為多少,都不會對第二次摸球產生影響,也就是說這兩個事件是互不影響的.接下來觀察能否得出P(AB)=P(A)P(B)?

師:設樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}.因為采用有放回的摸球方式,所以m,n均可取1,2,3,4.故樣本空間有16個樣本點.

對事件A，有m<3,故A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}；對事件B，有n<3,故B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)};對交事件AB，有m<3,n<3,故AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.這三個事件的概率分別為多少?

師:最初對兩個試驗的感性認識為事件之間互不影響.對上述兩個試驗的共同屬性進一步抽象概括,從定量的角度引入這種事件關系的一般定義:對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.

設計意圖通過兩個試驗的探究,對事件的相互獨立性由感性認識上升到理性認識,得到事件的相互獨立性的定義.

師:能否用今天學習的事件的相互獨立性的定義對剛才的結論進行推理證明呢?

眾生:利用類比思想,對于三個事件同樣成立.

設計意圖通過對試驗3的探究得出如果事件A與B相互獨立,則它們的對立事件也相互獨立;再由類比思想推廣到三個事件,為解決情境中抽象出的數學問題做鋪墊.

3.解決疑問,德育滲透

師:學習了事件的相互獨立性定義后,一起和諸葛亮解決他的疑問吧.

設計意圖呼應課堂伊始的情境.一方面,學生利用所學新知解決問題,獲得成就感;另一方面,通過對情境問題的解決,對學生進行德育滲透.

4.課堂小結,觀點提煉

師:請同學們回顧并總結本節課學習的內容.

師:非常好.本節課的一個中心思想是復雜事件簡單化,對于復雜事件,由正難則反的思想,利用對立事件可輕易地將其簡單化.這就是我們本節課學習的全部內容.

設計意圖學生進行課堂總結,不僅有利于培養學生的歸納概括能力,而且有利于了解學生是否掌握本節課所學內容.值得注意的是,對于學生沒有想到的思想方法,教師要及時補充.

5.布置作業,及時鞏固

(1)除了“三個臭皮匠,抵個諸葛亮”這句諺語,“智者千慮必有一失”、“不要把雞蛋放在同一個籃子里”這兩句諺語也包含了今天所學的內容,能否用今天所學的知識對其進行解釋?

(2)事件的相互獨立性除了在諺語中有所體現,在生物學中也有所運用,比如大家熟知的孟德爾遺傳規律.閱讀課本第259頁“閱讀與思考”欄目中的內容,了解孟德爾遺傳規律與本節課所學內容的關系.