方程思想在面積問題中的應用
——以求解與圓有關的陰影部分面積為例

楊再發

(貴州省沿河縣第六中學,565302)

與圓有關的陰影圖形的面積,一般可通過圖形面積的和、差,或割補重組,或等積變換等手段來解決.但當圖形構造較為復雜時,仍用一般方法求解陰影圖形的面積會比較麻煩.其中有些問題通過設元,建立方程組求解,往往顯得簡單明了.這里,筆者略舉幾例加以說明,供大家參考.

例1如圖1,在Rt?ABC中,∠C=90°，AC=2,BC=4.分別以AC,BC為直徑畫弧,求圖中陰影部分的面積.

設三個陰影部分的面積分別為x,y,z,兩個空白部分的面積分別為a,b，則有

①

y+b+z=2π,

②

a+y+b=4.

③

④

例2如圖2,正方形的邊長為a,以各邊為直徑在正方形內畫半圓,求所圍成的陰影部分面積.

解由圖形的對稱性,可知正方形被分成兩種類型的圖形,設它們的面積分別為x,y,則有

①

4x+4y=a2.

②

例3如圖3,在Rt?ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分別以AC,BC為直徑作半圓,求圖中陰影部分面積.

設三個陰影部分面積分別為S1,S2,S3,空白面積分別為a,b,則有

①

②

③

由①+②-③,得

例4如圖4,正方形ABCD的邊長為2,分別以AB,BC為直徑,在正方形內作半圓,求圖中陰影部分的面積.

解由圖形的對稱性,可知正方形被分成兩種類型的圖形,設弓形的面積為x,每一個曲邊三角形的面積為y,則有

①

②

例5如圖5,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點E,以C為圓心,CB長為半徑畫弧交CD的延長線于點F,求圖中陰影部分的面積.

解易知S矩形ABCD=AB×BC=6,

設圖中兩個陰影部分的面積分別是x,y,兩個空白部分的面積分別是a,b,則有

a+y+b=6,

①

a+y=π,

②

③

由①-②,得b=6-π.

④

設圖中兩個陰影部分的面積分別為x,y,兩個空白部分的面積分別為a,b,則有

a+x+b=12,

①

x+b+y=3π,

②

x+a=3π.

③

由②+③,得2x+a+b+y=6π.

④

由④-①,得x+y=6π-12.

故圖中陰影部分的面積是6π-12.

例7(2015年巴彥淖爾中考題)如圖7,在半徑為2,圓心角為90°的扇形ACB內,以BC為直徑作半圓,交弦AB于點D,連結CD,則圖中的陰影部分面積是多少?

設圖中兩個空白部分的面積分別是a,b,陰影部分的面積分別是x,y,則由CD=BD,得S?ADC=a+b=1.

∵S扇形ACB=x+y+a+b=π,

∴x+y=π-1.

故圖中陰影部分的面積是π-1.

例8如圖8,已知邊長為a的正方形ABCD內接于⊙O,分別以正方形的各邊為直徑向正方形外作半圓,求四條弧所圍成的四個新月形的面積.

解由題意,得四個等腰直角三角形面積相等,四個空白弓形面積相等,四個月形面積相等.

設一個月形面積為x,一個空白弓形面積為y,一個等腰直角三角形面積為z,則有

①

②

∴4y+4z=4x+4y,∴x=z.

∵4z=a2,∴S陰影=4x=4z=a2.

例9如圖9,已知菱形ABCD的兩條對角線長分別為a,b,分別以每邊向形內作半圓,求四條半圓弧圍成的花瓣形的面積(陰影部分面積).

設圖中S陰影AOE=x,S弓形AE=y,S弓形OB=z,S空白=d,則有

①

②

①-②,得

∴S陰影=4(x+y+z)

例10如圖10,正方形ABCD中,有一個以正方形的中心為圓心,以一邊長為直徑的圓,分別以A,B,C,D為圓心,以邊長的一半為半徑畫四條弧.若正方形邊長為2a,求所圍成的陰影部分的面積.

解設圖10中一個月形面積為x,中間大空白部分面積為y,圓外四個空白中的一個空白部分面積為z,則有

4x+y=S圓=πa2,

①

②

4x+y+4z=S正方形ABCD=4a2.

③

④

∴S陰影=4x=2a2π-4a2.

例11如圖11,在等腰Rt?ABC中,∠ACB=90°，AC=4,以BC邊的中點D為圓心,CD的長為半徑作弧,交AB于點E,以點A為圓心,AC的長為半徑作弧,交AB于點F,求陰影部分的面積.

設空白部分的面積分別是a,b,c,陰影部分面積分別是x,y,則有

x+a=π,

①

y+b=2,

②

x+y+c=2π,

③

x+y+a+b+c=S?ABC=8.

④

④-①-②,得c=6-π,

∴x+y+6-π=2π,

∴S陰影=x+y=3π-6.

例12如圖12,在Rt?ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,在AB的同側，分別以AB，BC，AC為直徑作三個半圓，求圖中陰影部分的面積.

解易得AB=13,

設圖中兩個陰影部分面積依次為S1,S2,兩個月型空白部分面積依次是a,b,則有

①

S1+a=18π,

②

③

由②+③-①,得S1+S2=30.

故圖中陰影部分的面積是30.