例析求解分段函數問題的方法與技巧

龔自輝

(湖北省黃岡市蘄春縣劉河鎮劉河中學,435325)

分段函數在各地中考試題中時有出現,主要考查學生的閱讀理解能力,以及發現問題、分析問題和解決問題的能力.分段函數常以函數應用為背景,其常見中考題型有解析型、圖象型、列表型以及綜合型等.下面我們舉例說明,與大家共享.

一、解析型

解析型的分段函數,在解題時要注意自變量的取值范圍,以自變量不同范圍內的解析式,作為解題的數量條件來解決問題.

例1在建設兩型社會的過程中,為推進節能減排,發展低碳經濟,我市某公司以25萬元購得某項節能產品的生產技術后,再投入100萬元購買生產設備,進行該產品的生產加工.已知生產這種產品的成本價為每件20元.經過市場調研發現,該產品的銷售單價定在25元到35元之間較為合理,并且該產品的年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數關系式為:

(年獲利=年銷售收入-產品成本-投資成本)

(1)當銷售單價定為28元時,該產品的年銷售量為多少萬件?

(2)求該公司第一年的年獲利w(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式,并說明投資的第一年,該公司是盈利還是虧損?若盈利,最大利潤是多少?若虧損,最小虧損是多少?

(3)第二年,該公司決定給希望工程捐款Z萬元,該項捐款由兩部分組成:一部分為10萬元的固定捐款;另一部分則為每銷售一件產品,就抽出一元錢作為捐款.若除去第一年的最大獲利(或最小虧損)以及第二年的捐款后,到第二年年底,兩年的總盈利不低于67.5萬元,請你確定此時銷售單價的范圍.

解(1)當25≤x≤30時，y=40-x,

∴yx=28=(40-x)x=28=12(萬件).

(2)當25≤x≤30時，

w=(40-x)(x-20)-25-100

=-x2+60x-925

=-(x-30)2-25.

當x=30時，w最大為-25，即公司最少虧損25萬元；

當30

w=(25-0.5x)(x-20)-25-100

故當x=35時，w最大為-12.5,即公司最少虧損12.5萬元.

綜上，投資的第一年，公司虧損，最少虧損12.5萬元.

(3)當25≤x≤30時，

w=(40-x)(x-20-1)-12.5-10

=-x2+61x-862.5≥67.5.

化簡，得x2-61x+930≤0,

解得30≤x≤31.

當兩年的總盈利不低于67.5萬元時,x=30;

當30

w=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10

化簡，得x2-71x+1230≤0,

解得30≤x≤41.

故當兩年的總盈利不低于67.5萬元時,30

綜上,到第二年年底,兩年的總盈利不低于67.5萬元,此時銷售單價的范圍是30≤x≤35.

評析本題主要考查二次函數的性質、解不等式.此題涉及的數據較多,認真審清題意是解決問題的關鍵.

二、圖象型

圖象型的分段函數是在自變量的取值范圍內,根據圖象的形狀選取正確的函數模型,再根據圖象上的點的坐標,利用待定系數法求出解析式.

例2(2022年湖北黃岡中考題)為增強民眾生活幸福感,市政府大力推進老舊小區改造工程.和諧小區新建一小型活動廣場,計劃在360 m2的綠化帶上種植甲、乙兩種花卉.市場調查發現:甲種花卉種植費用y(元/m2)與種植面積x(m2)之間的函數關系如圖1所示,乙種花卉種植費用為15元/m2.

(1)當x≤100時,求y與x的函數關系式,并寫出x的取值范圍;

(2)當甲種花卉種植面積不少于30m2,且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時.

① 如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費用w(元)最少?最少是多少元?

② 受投入資金的限制,種植總費用不超過6000元,請直接寫出甲種花卉種植面積x的取值范圍.

解(1)當0

當40≤x≤100時,設y=kx+b,則有

(2)① 由題意,可得

360-x≥3x,解得x≤90.

又x≥30,∴30≤x≤90.

當30≤x<40時,

w=30x+15(360-x)=15x+5400.

∵15>0,∴w隨x的增大而增大.

當x=30時，w最小值=15×30+5400=5850.

當40≤x≤90時,

當x<50時,w隨x增大而增大,所以當x=40時,w最小值=6000;

當x>50時,w隨x增大而減小,所以當x=90時,w最小值=5625.

∵5625<5850<6000,

∴w的最小值為5625.

故甲種花卉種植面積為90m2,乙種花卉種植面積為270m2,總費用最少,最少是5625元.

② 30≤x≤40或60≤x≤90.

評析建立函數模型、確定自變量的取值范圍以及掌握一次函數和二次函數的性質是解決問題的關鍵.

三、列表型

解決以函數應用為背景的列表型函數問題,關鍵是要從列表中判斷若干個數據適合的函數種類,既可以用待定系數法求出不同種類的函數解析式,再將余下的數據代入驗證,從而得到滿足條件的函數解析式;也可以用描點、連線畫圖象的方法,來確定函數的種類;其實,不同的函數列表中的數據,有其不同的函數特點,還可以根據函數列表中的數據特點,選取正確的函數模型,求出函數解析式,從而使問題得以解決.

例3(2020年貴州安順中考題)2020年體育中考,增設了考生進入考點需進行體溫檢測的要求.防疫部門為了解學生錯峰進入考點進行體溫檢測的情況,調查了一所學校某天上午考生進入考點的累計人數y(人)與時間x(分鐘)的變化情況,數據見表1.(表中9～15表示9

表1

7899～15770800810810

(1)根據這15分鐘內考生進入考點的累計人數與時間的變化規律,利用初中所學函數知識求出y與x之間的函數關系式;

(2)如果考生一進考點就開始測量體溫,體溫檢測點有2個,每個檢測點每分鐘檢測20人,考生排隊測量體溫,求排隊人數最多時有多少人?全部考生都完成體溫檢測需要多少時間?

(3)在(2)的條件下,如果要在12分鐘內讓全部考生完成體溫檢測,從一開始就應該至少增加幾個檢測點?

解(1)由表1中數據的變化趨勢,可知當0≤t≤9時，y是x的二次函數.

當x=0時,y=0,則二次函數的關系式可設為y=ax2+bx.

而當x=1時,y=170；

當x=3時,y=450,

∴二次函數的關系式為

y=-10x2+180x.

又當9

∴y與x的關系式為

(2)設第x分鐘時排隊人數是w,則

① 當0≤t≤9時，

w=-10x2+140x=-10(x-7)2+490.

∴wmax=wx=7=490.

② 當9

綜上,排隊人數最多時有490人.

要全部考生都完成體溫檢測,則得

810-40x=0,解得x=20.25.

故全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘.

故一開始就應該至少增加2個檢測點.

評析根據函數列表中存在兩種不同的函數變化趨勢,可知是分段函數.本題考查了二次函數的實際應用及性質,一元函數的性質、一元一次不等式的應用,其中確定y與x之間的函數關系式是解題的關鍵.

四、綜合型

綜合型分段函數試題,要求學生了解函數解析式與函數列表之間、函數列表與函數圖象之間的聯系和特點,讓學生感悟數形結合的數學思想.

例4(2018年湖北黃岡中考題)某鄉鎮在“精準扶貧”活動中銷售一農產品,經分析發現月銷售量y(萬件)與月份x(月)的關系為

每件產品的利潤z(元)與月份x(月)的關系見表2.

表2

(1)請你根據表格求出每件產品利潤z(元)與月份x(月)的關系式;

(2)若月利潤w(萬元)=當月銷售量y(萬件)×當月每件產品的利潤z(元),求月利潤w(萬元)與月份x(月)的關系式;

(3)當x為何值時,月利潤w有最大值,最大值為多少?

解(1)當1≤x≤10時,設每件產品利潤z(元)與月份x(月)的關系式為z=kx+b,則有

∴z=-x+20.

當11≤x≤12,z=10.

(2)當1≤x≤8時，

w=(x+4)(20-x)

=-x2+16x+80;

當9≤x≤10時，w=(-x+20)2;

當11≤x≤12時，

w=(20-x)×10=-10x+200.

綜上，可得

其中x為整數.

(3)當1≤x≤8時，

w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,

∴wmax=wx=8=144;

當9≤x≤10,w=(20-x)2,

∴wmax=wx=9=121；

當11≤x≤12時，w=-10x+200,

∴wmax=wx=11=90.

∵90<121<144,

∴當x=8時，月利潤w有最大值，最大值為144萬元.

評析本題主要考查根據實際的數據探究各數據符合的函數形式,同時考查了一、二次函數的實際應用.分類討論和熟練掌握一、二次函數的性質是解題的關鍵.