弧邊內凹蜂窩負泊松比結構的面內沖擊動力學數值研究

尤澤華，肖俊華

(1. 燕山大學工程力學系，秦皇島 066004；2. 燕山大學河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，秦皇島 066004)

負泊松比材料由周期排列的胞元構成，受到沖擊時各胞元向載荷沖擊點集中，從而使材料的抗壓能力得到提升，材料具有高抗壓性能[1?2]。傳統材料(非負泊松比材料)受到縱向沖擊時，材料橫向發生膨脹，材料的抗壓性能較低。同時，負泊松比多胞材料含有許多空隙，在受到外載時材料容易產生大的變形，從而具有較高的能量吸收效果[3?4]。負泊松比多胞材料除了具有良好的力學性能，胞元之間的空隙使得其具有較低的結構密度。負泊松比材料的優良力學性能使其廣泛應用于實際工程中，例如：利用其高剪切模量可以作為汽車工業中的彈性座椅和建筑工程中的路面材料等[5]；利用其高抗壓性能可以制作飛機機翼的纖維增強復合材料、金屬泡沫、飛機渦輪噴氣發動機的葉片等[6]；利用其負泊松比特點可以作為傳感器[7]和過濾器[8]的制作材料；利用其輕質特點可以制作新型的作戰服、人體防護裝備、防彈衣等[9]。

負泊松比材料的胞元具有內凹多邊形幾何結構，主要有蜂窩六邊形內凹結構、內凹三角形結構、星形結構等，之后又擴展出旋轉剛體結構、手性結構、穿孔板結構、結點-纖維結構[1]。GIBSON和ASBBY[10]最早設計出以內凹六邊形為胞元周期結構的負泊松比蜂窩材料，該材料受拉時通過肋骨位移變形獲得與受力垂直方向上的膨脹，其泊松比受胞元的內凹角度、肋骨尺寸等因素影響，當胞元內凹角度不夠大時，材料不具有負泊松比特性。SMITH 等[11]通過觀察負泊松比泡沫材料在受力過程中的胞元變形，仿照軸對稱胞元的肋骨結構去掉一定比例肋骨，建立了一種新型的負泊松比泡沫材料。該模型稱為缺失肋模型，它不改變胞元內部的肋角，而將肋骨選擇性去除。與原模型相比這種材料的負泊松比效應不再借助于凹角的胞元變形，而是胞元在受力之后產生旋轉從而產生負泊松比效應。HOU 等[12]通過將內凹三角形孔隙隨機嵌于平面材料中得到負泊松比特性，討論了隨機夾雜度與泊松比之間的關系。

常見的二維負泊松比結構有多邊形內凹結構和手性結構，其中多邊形內凹結構主要有三角形內凹結構、星形內凹結構和多邊形內凹結構等[13?14]。蔣偉等[15]對傳統的負泊松比結構單元進行再設計，提出一種新型的環形結構，隨后沈建邦和肖俊華[16]在該結構的基礎上提出可變弧角弧邊負泊松比蜂窩結構。王彥斌和劉海濤[17]提出一種可變曲率內凹曲邊負泊松比結構，并分析了結構的力學性能與結構參數之間的關系與動力學沖擊下的力學性能。TAYLOR 等[18]研究了正交橢圓孔隙材料的泊松比與孔隙長徑的關系。WANG 等[19]通過在基中制作特定排列的類花生型孔隙提出一種新型的負泊松比材料。吉美娟等[20]通過建立紙蜂窩結構單面沖擊和雙面沖擊模型，探究了結構的動力響應、變形模式和緩沖吸能特性。馬芳武等[21]應用LS-DYNA模擬了不同沖擊傾角和沖擊速度下內凹三角形負泊松比材料的面內變形模態和動力響應。郭春霞等[22]對正弦負泊松比蜂窩梁進行了平面三點彎曲實驗研究，分析了相同質量時傳統蜂窩梁和負泊松比蜂窩梁在面內的彎曲破壞模式和吸能效果。張權等[23]數值研究了面內沖擊載荷作用時星形梯度負泊松比蜂窩結構的動態響應，探討了沖擊速度、厚度梯度、角度梯度對結構變形模式、動態響應、能量吸收特性的影響。王梁和劉海濤[24]將星型和內凹六邊形結合設計出一種新型內凹蜂窩結構，計算了結構的相對密度并數值模擬了軸向拉伸變形。魏路路等[25]結合負泊松比內凹六邊形結構和負泊松比手性結構，設計出一種內凹-反手性結構，研究了結構的抗沖擊性能。嚴效男等[26]分析了熱塑性聚氨酯彈性體蜂窩結構的壓縮過程，探討了胞元凹角、寬度和壁厚對結構的力學性能和能量吸收特性的影響。姚永永等[27]數值研究了傳統內凹六邊形結構的雙向沖擊行為，探討了不同沖擊速度時結構變形模式、動力響應曲線和能量吸收特性。劉海濤等[28]將圓弧桿設計于傳統星形結構，利用能量法和數值模擬討論了結構參數與等效泊松比和等效彈性模量之間的關系。

目前有關胞元為弧邊結構負泊松比蜂窩材料的動力學性能研究非常有限，本文研究一種新型的二維弧形曲邊內凹蜂窩結構，其胞元結構由全弧邊組成，弧邊角度可以改變從而可以控制材料的整體力學性能。在前期靜力學性能分析[29]的基礎上，利用數值方法研究了不同速度沖擊時結構的面內變形失效模式，獲得了結構的動力響應曲線，討論了沖擊速度、胞元弧邊內角、壓縮應變對結構能量吸收效率和平臺應力的影響規律。該研究豐富了二維負泊松泊松比蜂窩材料的動力學分析，為該類結構的曲邊胞元設計和表征提供了參考。

1 胞元與相對密度

圖1 為可變弧角內凹弧邊負泊松比蜂窩材料胞元示意圖，其中：θ 為弧邊內角；r為弧線半徑；m為連接桿長度；h為弧線半弦長；桿件橫截面為矩形；t為肋板厚度；d為面外厚度。蜂窩結構由胞元陣列構成。

相對密度是蜂窩結構的一項重要物理參數，定義為胞元的等效密度與制備材料密度的比值[30]：

式中： ρre為材料的相對密度； ρc為材料的等效密度； ρs為制備材料(本文取為鋁合金)的密度。結構中連接桿只起連接作用，圖1 胞元的相對密度可以通過圖2 計算。

圖1 弧邊內凹蜂窩胞元[29]Fig. 1 Concave honeycomb cell with arc side[29]

圖2 相對密度計算示意圖Fig. 2 Schematic diagram of relative density calculation

等效密度為制備材料所占胞元空間的比值與制備材料密度的乘積[30]：

式中：S1為胞元的二維面積(圖2 中方框面積)；S2為材料幾何形狀在平面中的面積。將式(2)代入式(1)可得：

對于薄壁胞元，肋板厚度t比桿長和弧長小很多，S1和S2可按下列公式進行計算：

由圖2 可以看出，當胞元厚度和弧邊角度分別增加時，S2隨之增加，而S1不變，材料的相對密度隨著厚度和胞元弧邊角度增大而增大。當材料受壓縮沖擊時，弧形肋邊受到擠壓導致曲率增大，胞元的弧形肋邊弦長變小、弧度增加，兩側距離變小，結構整體向內部壓縮后，其密實化程度逐漸提升，相對密度隨之增加。

2 構建結構

利用二維單胞(圖1)構建內凹蜂窩胞元結構模型(圖3)，幾何參數如下：胞元中心到胞元端部的高為30 mm，胞元之間連接桿伸長度為15 mm，弧邊的內角分別取30°、45°、60°、75°和90°，整體結構模型由胞元按照19×19 方式陣列構成。

圖3 沖擊動力學結構模型Fig. 3 Structural model of impact dynamics

利用ABAQUS 研究面內沖擊動力學性能。材料截面為長方形，截面高度為10 mm，厚度為1 mm，選用鋁合金材料，具體參數見表1。構件置于兩個板之間，兩個板的屬性為解析剛性板，使其在沖擊過程中不發生變形并提高計算效率，頂部板和底部板分別與材料設置為綁定接觸，接觸面無摩擦。

表1 材料屬性[31]Table 1 Material properties[31]

施加載荷和邊界條件如圖4 所示，頂端板沖擊速度分別為7 m/s、21 m/s、35 m/s 和70 m/s，速度向下對結構進行沖擊，底部為固定板，構件整體限制其Z方向(垂直于平面方向)位移。單元選擇8 結點六面體單元，分析方式選擇顯式動力學分析，有限元分析時將頂部剛性板和底部剛性板分別與材料綁定，以避免在沖擊過程中發生剛性板與材料之間發生穿透現象。

圖4 邊界條件和施加載荷示意圖Fig. 4 Schematic diagram of boundary conditions and load conditions

3 沖擊變形失效模式

圖5 和圖6 分別給出了沖擊過程中弧角為30°和90°結構的局部變形模式。已有研究[29]表明：30°弧角胞元為正泊松比胞元，Y軸方向受到沖擊時，胞元由內凹結構逐漸膨脹為外凸結構；而90°弧角胞元為負泊松比胞元，在沖擊過程中逐漸向中心壓縮。在變形帶與頂板之間明顯有一條弧形空隙帶，結構中間的胞元發生扭轉和位移，胞元發生扭曲變形，呈現出類星形的羅疊排列。比較圖5 和圖6 可以發現，在相同速度沖擊下，胞元弧角較大的結構在沖擊過程中密實化區域較薄，但是整體的變形范圍較大。

圖5 30°弧角胞元結構沖擊變形模式Fig. 5 Impact deformation mode of 30 degree arc angle cellular structure

圖6 90°弧角胞元結構沖擊變形模式Fig. 6 Impact deformation mode of 90 degree arc angle cellular structure

圖7 為弧角90°胞元在沖擊過程中的變形模式。在變形初期胞元向幾何中心壓縮，材料的相對密度隨之減??；隨著變形增加，胞元上下連接桿錯位，胞元受到扭矩的影響發生扭轉變形，對角方向上的弧線夾角在扭轉過程中相互貼合；隨著變形繼續增加，胞元在壓力作用下各邊貼合直至壓縮成為片狀。

圖7 胞元沖擊變形模式Fig. 7 Deformation mode of the cell under impact

圖8 分別為胞元弧形肋內角為30°和90°時整體結構在21 m/s 速度沖擊下的變形模式。從圖8中變形來看，當胞元弧角為30°時結構初始變形區域主要集中在上部，呈現V 字型；隨著應變的增加，材料的中部開始進入密實化，上方V 字型變形區域開始扁平化，變形區域左右兩側位移有明顯的向外增加的趨勢，這與30°胞元結構的正泊松比力學性能相符合；在沖擊過程后期，結構的變形區域開始壓縮，變形主要集中在中間區域，上方與下方形成密實化的長方形區域帶。當胞元弧角為90°時，在沖擊過程初期，變形區域與30°弧角胞元結構大致相似，但是90°胞元結構的上方變形區域較大，且下方也有微小變形，材料中間區域出現向內位移趨勢，這與90°胞元結構的負泊松比力學性能相符；隨著變形的增加，結構上方區域變形保持不變，結構下方變形程度增加，變形方式與上方相似，中部保持向內擠壓狀態，整體呈現X 型。相對于30°弧角胞元結構來看，90°弧角胞元結構在沖擊過程中的變形區域更大，由其負泊松比效應所表現出來的變形模式非常顯著；對比30°弧角胞元結構，90°弧角胞元結構在整個沖擊過程中變形更加平均，結構的密實化程度由于材料向內壓縮也相對較高，因此，在沖擊過程中的能量吸收效率比30°弧角胞元結構更好。

圖8 結構的沖擊變形模式Fig. 8 Impact deformation modes of the structure

4 動力響應曲線

圖9 為不同弧邊肋角時負泊松比結構受不同速度面內沖擊時的應力-應變動力響應曲線，其中橫坐標為名義應變，縱坐標為名義應力。

由圖9 可以看出，結構在初始受沖擊階段名義應力快速增大，隨后微弱降低并在某一數值范圍內波動；最后結構進入密實化階段，名義應力繼續增加。沖擊過程應力應變曲線可分為三個階段：初始階段、穩定階段和鎖定階段。初始階段的應力稱為初始應力，穩定階段的應力稱為平臺應力，鎖定階段的應變稱為鎖定應變。在初始階段，結構中的大部分胞元處于向幾何中心壓縮的狀態；之后結構進入穩定階段，胞元在壓縮與扭轉雙重作用下發生變形，成為類星形結構，此時結構中大部分胞元變形類似于圖7(b)；最后結構進入鎖定階段，此時胞元接近壓實狀態，即處于圖7(d)形變情況。從動力響應曲線可以看出，不同沖擊速度下、相同應變情況時，結構中的名義應力隨著沖擊速度的增加而增大?；∵厓冉遣煌瑫r，由于結構中胞元幾何參數的變化，相對密度隨弧邊肋內角的增加而增大，結構受到沖擊后，在產生相同的應變時其密實化程度相對于弧邊內角較小的結構增大，因此結構進入密實化階段時所對應的鎖定應變較小，即：胞元的弧邊角度越大，密實化程度越高，結構進入密實化時間越早，結構在密實化階段所對應的應變越小。本文所得動力響應曲線不同于非負泊松比材料的結果[32]。

圖9 不同沖擊速度和弧角時應力-應變曲線Fig. 9 Stress-strain curves under different impact velocity and angle

結構在沖擊載荷作用時，其能量吸收特性與平臺應力和密實應變有很大關系，通常用材料的體能量吸收值進行評價，體能量吸收值、平臺應力和鎖定應變如下式[31]：

5 能量吸收率

式中：Wv為材料在沖擊過程中的體能量吸收值；εr為初始應變；εD為沖擊過程中的鎖定應變；σ(ε)為沖擊過程的應力；σp為平臺應力。

圖10 為不同弧邊肋內角結構在不同沖擊速度下的能量吸收曲線。由圖10 可知，當弧邊肋內角一定時，低速沖擊時結構在沖擊前期吸能效果較低，在沖擊中期階段結構的能量曲線有較大增加，而后趨于能量穩定吸收狀態。胞元弧邊肋角度越大，體能量吸收值的顯著增加階段越早出現。當沖擊速度一定時，在沖擊初始階段各結構間的能量吸收效率差距較小，而在沖擊中后期階段，結構的弧邊肋角越大，其體能量吸收值越高；隨著沖擊速度的增加，這種變化逐漸變得不明顯。高速沖擊時，弧邊肋角大的胞元結構其體能量吸收值在沖擊初始階段高于角度小的胞元結構，并在整體上呈現這種趨勢。

圖10 不同沖擊速度和弧角時體能量吸收值曲線Fig. 10 Curves of volumetric energy absorptivity under different impact velocity and angle

6 平臺應力

圖11 為不同弧角結構的平臺應力隨沖擊速度的變化曲線。已有研究[33]表明：多孔結構的平臺應力與沖擊速度大致成二次關系，這與本文結果相一致。圖11 中顯示：平臺應力隨沖擊速度的增加迅速增大；沖擊速度相同時，平臺應力隨弧角的增加而增大，沖擊速度越大，不同弧角結構之間的平臺應力差距越大，弧角為90°時結構的吸能效果最好。

圖11 平臺應力隨沖擊速度的變化曲線Fig. 11 Variation of platform stress with impact velocity

圖12 為不同沖擊速度時平臺應力隨曲邊弧角的變化曲線?？梢钥闯?，同一沖擊速度時結構的平臺應力隨弧角的增加而遞增，且沖擊速度越大這種現象越明顯。這是由于結構的相對密度隨著弧角的增加而增大，沖擊過程中胞元弧角參數越大其結構所能承受的平臺應力越高。對比圖11 和圖12 可以發現：平臺應力受胞元弧角的影響較小，其值主要由沖擊速度決定。

圖12 平臺應力隨胞元弧角的變化曲線Fig. 12 Variation of platform stress with cell angle

7 結論

針對可變弧邊內凹多胞蜂窩結構，利用數值手段研究了結構在沖擊載荷作用下的變形失效模式、動力響應曲線、能量吸收特性和平臺應力特征。研究發現：

(1) 沖擊載荷作用下，結構胞元出現旋轉位移，胞元發生扭曲變形，呈現出類星形的羅疊排列，在變形帶與頂板之間有一條弧形空隙帶。

(2) 胞元弧角較小時(文中以30°為例)，初始變形區域主要集中在上部呈現V 字型，隨著應變的增加，材料中部開始進入密實化，上方V 字型變形區域開始扁平化，變形區域左右兩側有明顯的向外位移，在沖擊過程后期，結構的變形區域開始壓縮，變形主要集中在中間區域。胞元弧角較大時(文中以90°為例)，沖擊過程初期變形區域與低弧角胞元結構大致相似，隨著變形增加，中部保持向內擠壓狀態，整體呈現X 型。

(3) 結構在初始受沖擊階段名義應力快速增大，隨后微弱降低并在某一數值范圍內波動；最后結構進入密實化階段，名義應力繼續增加。沖擊過程應力-應變曲線可分為三個階段：初始階段、穩定階段和鎖定階段。

(4) 低速沖擊時結構在沖擊前期吸能效果較低，在沖擊中期階段結構的能量曲線有較大增加，而后趨于能量穩定吸收狀態。胞元弧邊肋角度越大，體能量吸收值的顯著增加階段越早出現。沖擊速度一定時，在沖擊初始階段各不同弧角結構間的能量吸收效率差距較小，而在沖擊中后期階段，結構的弧角越大其體能量吸收值越高。

(5) 平臺應力隨沖擊速度的增加迅速增大；沖擊速度一定時，平臺應力隨弧角的增加而遞增，且沖擊速度越大這種現象越明顯。