基于反步法的耦合分數階反應擴散系統邊界輸出反饋控制

莊波 崔寶同 樓旭陽 陳娟

耦合分數階反應擴散系統中包含多個反常擴散的系統分量,各系統分量在擴散的同時發生反應并相互轉化,這種耦合性在反應擴散系統中是普遍存在的[1].與經典的高斯擴散不同,反常擴散過程表現出冪率(Power law)和重尾(Heavy-tailed)分布的特征,其見于多種物理場景中,如連續時間隨機游走[2]、通過多孔介質的擴散等[3],并廣泛應用于物理、生物、工程等許多領域[4-6].耦合分數階反應擴散系統作為一種典型的分布參數系統,在整個空間區域上進行測量和控制通常是很困難的.實際上,在很多復雜的應用場景中,如高溫、高腐蝕,或涉及液體流動的應用,受到經濟或技術條件的限制,通常在系統邊界上進行測量和控制,其成本更低且容易實現.因此,使用邊界測量值設計輸出反饋的邊界控制器具有重要的理論意義和應用價值.本文主要針對一類帶有空間依賴耦合系數的分數階反應擴散系統,利用反步法研究其邊界輸出反饋控制問題(如圖1 所示).

圖1 耦合系統的邊界輸出反饋控制Fig.1 Output feedback boundary control for coupled systems

反步法(Backstepping)是一種穩定動態系統的特殊方法,其主要思想是:尋找合適的核函數構造可逆的反步變換,將原系統映射到一個穩定的目標系統,再導出使原系統穩定的控制器和相應的控制增益.將反步法應用于偏微分方程(Partial differential equations,PDEs)邊界控制問題,已經取得許多重要成果[7-10].早在2003 年,Liu[7]利用反步法研究了一類不穩定熱方程的邊界反饋鎮定問題,其中控制增益核函數是一個連續函數,突破了此前基于離散化的方法.隨后,Smyshlyaev等[8]深入研究了一類拋物型偏積分微分方程的邊界控制問題,證明了核函數方程的適定性并給出了數值解和特定條件下的解析解.在文獻[9]中,利用邊界測量設計了指數收斂的觀測器,實現了輸出反饋控制,同時考慮了傳感器與執行器并列和非并列的情況.關于PDEs 反步法的更多內容可參見文獻[11-12].

近年來,耦合PDEs 反步邊界控制成為新的研究熱點[13-18].Baccoli等[13]利用反步法解決了常系數耦合的反應擴散系統鎮定問題,針對擴散系數相同和相異兩種情況分別設計了基于狀態反饋的邊界控制器,并得到了核函數矩陣的級數解.Orlov等[16]系統地研究了常系數耦合反應擴散系統的狀態反饋控制、觀測器設計和輸出反饋控制等一系列問題.Liu等[15]研究了基于觀測器的常系數耦合反應擴散系統邊界輸出反饋控制,并利用Poincaré不等式改進了文獻[13]的結果.針對耦合反應擴散方程的研究進一步推廣到具有空間依賴參數的情形[17]以及輸出調節問題[18].

最近幾年,分數階反應擴散系統的邊界控制問題引起了研究者的關注[19-28].Ge等[19]應用PDEs 反步法[8, 11]研究了具有Dirichlet 和Neumann 邊界的分數階反應擴散系統的邊界控制問題,證明了閉環系統的Mittag-Leffler 穩定性[29-30].隨后,針對一類半線性時間分數階擴散系統研究了Luenberger 型觀測器的設計[20],然后又推廣到系統參數隨空間變化的情形[22]和事件觸發控制[23].Chen等[24]研究了帶有混合或Robin 邊界條件的分數階反應擴散系統的邊界控制問題,并推廣到擴散系數隨空間變化(各向異性)的情形[26],然后又研究了觀測器設計[25]和輸出反饋控制[27]等問題.Zhou等[28]深入研究了一類不穩定的時間分數階反應擴散方程的邊界反饋鎮定問題,同時考慮了Dirichlet 邊界和Neumann邊界控制,采用Riesz 基方法和分數階Lyapunov 方法[29]證明了閉環系統解的存在唯一性和Mittag-Leffler 穩定性.目前,針對耦合分數階擴散系統邊界控制的研究還很少.Ge等[21]針對帶有空間依賴參數的耦合半線性反常亞擴散(Subdiffusion)系統,利用反步法設計了基于觀測器的輸出反饋控制器,并證明了閉環系統的Mittag-Leffler 穩定性.在假設設計參數與核函數矩陣同為對角矩陣的條件下,得到了核函數矩陣方程的解析解,并推廣了文獻[13,15-16]的結果.然而,一方面,上述研究結果中設計參數的選擇范圍仍存在改進的空間;另一方面,為得到核函數的解析解,需要假設核函數矩陣為對角陣或數量陣,或者滿足特定的不等式,這在一定程度上增加了選擇設計參數的難度.同時,當系統的耦合系數隨空間變化時,很難求得核函數矩陣方程的解析解[8].這些問題在一定程度上限制了該方法的應用.

鑒于以上考慮,本文利用PDEs 反步邊界控制方法,針對具有空間依賴耦合系數的分數階反應擴散系統,設計基于邊界測量的觀測器和輸出反饋控制器,實現邊界測量、邊界控制的輸出反饋控制系統.利用Wirtinger 不等式[31]改進控制參數滿足的條件,擴大其取值范圍.針對包含空間依賴耦合系數的控制增益和觀測增益核函數矩陣方程,在分析解的適定性的基礎上給出數值解法,在無需假設核函數矩陣結構的條件下直接求解,從而簡化設計參數的選取方法.最后,利用數值仿真驗證理論結果.

1 系統模型與問題描述

考慮n個分數階反應擴散系統組成的耦合系統

具有Dirichlet-Robin 型混合邊界條件

注 1.Mittag-Leffler 函數是指數函數的推廣,實際上,E1(t)=exp(t). 根據定義2,當t→∞時,Eα(-ρ(t-t0)α)→0,故一個Mittag-Leffler 穩定的系統也是漸近穩定的,從而也是Lyapunov 穩定的.因此,Mittag-Leffler 穩定性也稱為分數階Lyapunov 穩定性.Mittag-Leffler 穩定性本質上是一種多項式穩定性[28].

2 基于狀態反饋的反步控制器

為得到反饋控制的增益核函數,首先簡要回顧利用反步法針對系統(1)～(3)設計狀態反饋的邊界控制器的方法和主要結果.

考慮以下可逆反步積分變換

推導過程與第3.1 節類似,此處略.利用逐次逼近和數學歸納法[13,17]可以證明方程(9)～(11)是適定的.

注 2.若系統(1)～(3)耦合反應項系數Φ(x)=Φ為常數,且B=0,控制增益核函數K(x,y)=k(x,y)I,則令C=acI-Φ,其中c＞0 為常數,可將控制增益核函數方程(9)～(11)化為n個相同的方程

其中,In(·)為修正的n階Bessel 函數.

另外,需要指出的是,若 Φ (x)非常數矩陣或0,要求得方程(9)～(11)的解析解是困難的.對此,本文將給出相應的數值解法.

以下為敘述方便,對任意n階方陣X,記S[X]=(X+XT)/2 為X的對稱部分,λ(X)為X的所有特征值,即X的譜,記λi(X)為 第i個特征值,i=1,···,n.對n階實對稱矩陣X,λmin(X)=min1≤i≤n λi(X)和λmax(X)=max1≤i≤n λi(X)分別表示矩陣X的最小和最大特征值.

對于式(1)～(3)和式(8)組成的狀態反饋控制閉環系統,有以下結果:

定理1.對任意初值Z(x,0)∈[L2(0,1)]n,若矩陣C滿足

則系統(1)～(3)在 [L2(0,1)]n空間上Mittag-Leffler穩定,即存在不依賴于Z(x,0)的常數M＞0,使得

其中,控制器為式(8),控制增益核函數矩陣K(x,y)由方程(9)～(11)確定.

定理1的證明與定理4 類似,此處省略.

3 觀測器的設計

為了針對系統(1)～(3)設計觀測器,考慮以下估計系統

3.1 確定核函數和觀測增益

下面確定反步變換式(21)中的核函數矩陣R(x,y),進而確定觀測增益R1(x)和R10.

命題 1.若核函數R(x,y)滿足方程

其中,In(·)為修正的n階Bessel 函數.

然而,若 Φ (x)非常數矩陣,則難以求得方程(25)～(27)的解析解.對此本文將給出其數值解.

關于核函數矩陣方程(25)～(27)的適定性,有以下結論.

定理2.核函數矩陣方程(25)～(27)在0≤y ≤x ≤1上有唯一解,且二階連續可微.

其中,0≤η ≤ξ ≤2.利用文獻[14] 中定理3,可知方程(47)～(49)的解是有界的.與文獻[8]類似,采用逐次逼近法容易證明方程(47)～(49)的解存在且唯一,并且該解是二次連續可微的.再根據上述變換中方程的等價性,可知結論成立.

3.2 誤差系統的穩定性

下面先考慮目標系統(22)～(24)的穩定性,再討論誤差系統(18)～(20)的穩定性.為證明目標系統的穩定性,先給出一個重要引理.

引理1[34].若z(t)∈R 是連續且可微函數,對任意時刻t≥t0≥0,有

注 4.定理3 可以看作對文獻[15]中定理3的推廣,由于證明過程中應用了Wirtinger 不等式[12,31]而非Poincaré不等式,所以得到的條件式(50)更加寬松,不等式右端從-a/4 降至-π2a/4,進一步擴大了設計參數的選擇范圍.

另外,根據文獻[28]中引理2.1,定理3的結果式(51)可具有更緊的形式:

但這并不影響定理條件式(50).

下面說明變換式(21)是可逆的.假設其逆變換為

4 基于觀測器的輸出反饋控制器

為設計基于觀測器的輸出反饋控制器,考慮可逆的反步積分變換

從定理4 和定理5的結論可以看出,設計參數和C直接決定了觀測增益核函數R(x,y)和控制增益核函數K(x,y),從而決定了觀測器和輸出反饋控制器的設計.另外,若要得到核函數的解析解,則需對參數施加其他約束[21].反之,若利用核函數的數值解,則可以更加靈活地選取設計參數.在實際應用中,可根據需要采取適當的策略.下面針對兩種典型情況,給出兩個算法實現基于觀測器的輸出反饋控制設計.該算法將用于第5 節的數值仿真.

數值求解核函數矩陣方程(25)～(27)和(9)～(11),分別得到觀測增益(28)和(29)以及控制增益K(1,y).具體的數值解法將在第5 節給出.

顯然,上述算法中矩陣和C的特征值分別為和ca,滿足條件式(83)的矩陣和C同時滿足定理4、定理1 和定理5的條件.

5 數值仿真

為了驗證本文的理論結果,下面給出兩個數值仿真例子.利用文獻[36]提出的Caputo 分數階擴散方程數值解法,針對耦合分數階反應擴散系統(1)～(3)和觀測器(15)～(17)及控制器(69)組成的閉環系統,采用有限差分方法在空間域和時間域上離散化.這里將空間域 [ 0,L] 和時間域 [ 0,T] 分別均勻劃分為N和Q個區間,其中L=1,N=100,T=5,Q=500.

當 Φ (x)為 非常數矩陣時,難以求得核函數K(x,y)和R(x,y)的解析解,可采用數值方法求解對應的核函數方程(9)～(11)和(25)～(27).下面將文獻[8]中提出的核函數方程數值解法推廣到耦合系統,分別給出相應核函數方程的數值解法.首先對空間0≤y ≤x ≤1 離散化,令h=1/N,xi=(i-1)h,i=1,···,N+1,yj=(j-1)h,j=1,···,i.對控制增益核函數K(x,y),記Kij=K(xi,yj)∈Rn×n,Φi=Φ(xi),則有以下數值解:

為驗證受控系統對測量噪聲的魯棒性,對邊界測量輸出Y(t)=Z(0,t)添加信噪比為 25 dB的白噪聲信號,圖5 給出了系統的控制輸入以及系統狀態L2范數和狀態演化.從圖5(b)～5(d)可以看出,在有測量噪聲的情況下,受控系統和觀測器誤差系統狀態均魯棒地收斂到 0,說明本文提出的基于觀測器的輸出反饋控制方法對測量噪聲具有較好的魯棒性.

仿真 2.考慮由3 個 (n=3)分數階反應擴散過程組成的耦合系統(1)～(3),其中α=0.7,a=1,b=1,空間依賴的耦合反應項系數 Φ (x)為

圖2 開環和閉環系統的狀態 L2 范數Fig.2 The state L2 norm of open-loop and close-loop systems

圖3 觀測增益,控制增益核函數和控制輸入Fig.3 The observer gain and control gain kernel functions,and control input

圖4 閉環系統狀態各狀態分量的演變Fig.4 Evolution of state compoments of the close-loop system

圖5 存在測量噪聲的情況Fig.5 The case with measurement noise

同時,數值求解控制增益核函數矩陣PDE (9)～(11)得K(1,y)=K(x,y)|x=1(圖7(b)).利用式(69)得到基于觀測器的邊界控制輸入U(t)(圖7(c)).

圖6(b)給出了閉環系統、觀測器和誤差系統的狀態范數.可以看出誤差系統的L2范數收斂到 0,說明了觀測器(15)～(17)的有效性.圖8(a)～8(c)給出了閉環系統各狀態分量的時空演化過程.可見閉環系統的狀態L2范數收斂到 0,這說明基于觀測器的邊界控制式(69)使耦合系統(1)～(3)Mittag-Leffler 穩定.

圖6 開環和閉環系統的狀態 L2 范數Fig.6 The state L2 norm of open-loop and close-loop systems

圖7 觀測增益,控制增益核函數和控制輸入Fig.7 The observer gain and control gain kernel functions,and control input

圖8 閉環系統的各狀態分量Fig.8 Evolution of state compoments of the close-loop system

最后,圖9 對比了不同控制參數下系統的狀態范數,可以看出隨著控制參數和c增大,受控系統的收斂速度變得更快.

圖9 不同控制參數下閉環系統的狀態 L2 范數Fig.9 State -norm of close-loop systems under different control parameters

6 結束語

本文針對具有空間依賴耦合系數的時間分數階反應擴散系統,利用PDEs 反步法提出了一種邊界測量、邊界控制的輸出反饋控制器,選擇適當的設計參數,可使閉環系統以一定的收斂速率Mittag-Leffler 穩定.首先,基于邊界測量輸出設計了系統觀測器,選擇適當的觀測器參數,可根據觀測增益核函數矩陣PDE 求得觀測增益,并且可保證觀測器的狀態估計以一定的速率收斂到系統真實狀態.然后,進一步利用PDEs 反步法提出了基于觀測器的邊界輸出反饋控制器,選擇合適的控制器參數,可根據控制增益核函數矩陣PDE 求得控制增益,且保證閉環系統以一定的速率Mittag-Leffler 穩定到平衡點.同時,進一步擴大了觀測器和控制器設計參數的選擇范圍.

本文分析了觀測增益和控制增益核函數矩陣方程解的存在唯一性,并且針對耦合系數為常數矩陣的情況,在假設核函數矩陣為數量陣的條件下,可以求得兩個核函數的解析解.但當耦合系數矩陣隨空間變化時,通常無法求得解析解.為此,本文給出了控制增益和觀測增益核函數矩陣的數值解,無需預先假設核函數矩陣的結構,即可直接求得矩陣中n2個核函數,使得設計參數矩陣的選擇更加簡便和靈活.數值仿真驗證了本文提出方法的有效性.