基于優化模型的反射面板調節問題研究

周 莉

（西安建筑科技大學（草堂校區），陜西 西安 710399）

1 觀測天體位于基準球面正上方模型的建立與求解

1.1 模型的建立

根據FAST剖面示意圖，基準球面半徑為300m，焦徑比為0.466，工作拋物面的口徑為300m，可得觀測衛星位于基準球面正上方時的幾何示意圖。

根據幾何示意圖，焦面球心的半徑為：

式中，R為基準球面半徑，F為同心球面的半徑差。

以基準球面的最低點為坐標原點，由焦面球心的半徑求得焦點P的坐標，可以得到一條理想的拋物線方程為：

將拋物線繞Z軸旋轉可進一步得到理想的拋物面方程為：

1.2 模型的求解

Step1：求解以基準球面最低點為坐標原點的理想拋物面

由式（1）可求得焦面球心的半徑r=250.2m，焦點P的坐標為（0，0，139.8），即 2p=559.2，將其代入式（3）中可得理想拋物面方程為

Step2：求解以基準球面的球心為坐標原點的理想拋物面

將以基準球面的最低點為坐標原點的坐標軸向上平移300m，可得理想拋物面方程為：

2 觀測天體偏離基準球面正上方模型的建立與求解

2.1 模型的建立

當觀測天體偏離基準球面時，確定對應的理想拋物面。需要考慮歐拉角得到旋轉矩陣，再通過旋轉變換確定理想拋物面方程。通過調節促動器的伸縮量使反射面盡量貼近理想拋物面，以照明區域內反射面板數量最多為目標函數，建立優化模型，使得反射信號接收效果最佳。

2.1.1 理想拋物面方程

代入得到Q點坐標（-49.254，-36.840-293.627）：

代入得到P點坐標。

當觀測天體偏離基準球面時，根據天體S方位角與仰角示意圖，＝78.169°，＝36.795°對于三維空間坐標軸的變化可以用3個歐拉角表示。在天體旋轉的過程中，坐標軸會隨著天體的轉動做相同的轉動。

繞X軸旋轉的歐拉角ψ為36.5°，再繞Y軸旋轉的歐拉角?為350.95°，之后繞Z軸旋轉的歐拉角θ為7.1°，則對應歐拉角的旋轉矩陣分別為：

那么，利用所求歐拉角ψ、?、θ及式（6）可推導出最終的旋轉矩陣為：

利用旋轉變換公式可以得到繞坐標軸旋轉變換后的坐標(x' ,y',z')T及理想拋物面的方程式為：

聯立式（11）和式（12），可得在空間直角坐標系中，觀測天體偏離基準球面情況下的理想拋物面方程為：

2.1.2 基于優化模型的反射面板調節

（1）目標函數

設基準球面上促動器頂端的坐標(x0,y0,z0)，理想拋物面上促動器頂端的坐標(x1,y1,z1)。則基準球面上的主索節點到球心的距離R0和理想拋物面上的主索節點到球心的距離R1為：

優化的目標是使反射面盡量貼近理想拋物面，使在照明區域內的反射信號達到最佳接收效果，以此來建立優化目標函數：

式中，d為促動器的伸縮量。

（2）約束條件

促動器的頂端沿基準球面徑向伸縮來完成下拉索的調節，從而調節反射面板的位置形成拋物面。由促動器的工作原理可知，促動器的徑向伸縮量d就等于對應的促動器頂端從基準球面移到理想拋物面上的距離。利用歐式距離公式，可求得促動器的徑向伸縮量為：

由于促動器的伸縮范圍為-0.6～+0.6m，反射面均在空間直角坐標系XOY平面下方。為滿足優化模型中目標函數的求解，故綜合以上條件，可以得出約束條件為：

2.2 模型的求解

Step1：幾何變換求解理想拋物面。當觀測天體偏離基準球面時，通過繞坐標軸旋轉得到歐拉角，進而得到旋轉矩陣，然后通過旋轉變換公式確定理想拋物面。

Step2：確定基準球面的主索節點位置圖。利用所給的主索節點坐標，可得基準球面的主索節點位置圖。

Step3：利用歐式距離公式求同一促動器頂端在基準球面和理想拋物面位置上對應的兩個坐標間的距離。

Step4：求解促動器的伸縮量及反射面板數量的最優解。

在照明區域內，當每一個促動器頂端從基準球面移到理想拋物面上的距離小于0.6m時，就是促動器的伸縮量，即反射面完全可以到達理想拋物面；當每一個促動器頂端從基準球面移到理想拋物面上的距離大于0.6m時，促動器的伸縮量只有取0.6m時才能使反射面最貼近理想拋物面。同時可以根據主索節點的個數求出反射面板數量的最優解。

3 反射球面接收比模型的建立與求解

3.1 模型的建立

3.1.1 饋源艙圓盤函數關系式

由理想拋物面頂點坐標Q（-49.254，-36.940，-293.627），饋源艙平面是以焦點P（-26.269，-19.648，-156.601）為幾何中心，半徑為0.5m的一個圓盤，且該圓盤與垂直，則有：

由于饋源艙面是空間平面，需要將該圓盤還原為垂直XOY平面的初始圓盤方程1W，再根據歐拉角和旋轉矩陣變形，可以得到初始圓盤方程1W為：

3.1.2 射入直線函數關系式

3.1.3 反射面方程

每個反射面由3個節點坐標構成，設3點坐標為：

3.1.4 射出直線函數關系式

由于射出信號直線2L與信號射入直線1L關于反射面M對稱，設垂直平面的法線方程l為：

又因為直線與平面垂直，所以函數未知數系數之比相等：

化簡得到法線方程l為：

由于已知入射直線方程，則在入射方程上任意取一點m( x '', y'',z'')，設在射出直線方程上與m( x '', y'',z'')關于法線方程l的對稱點為m'( x ''',y''',z''')，則有：

3.2 模型求解

得到2L后將其與饋源艙圓盤方程 2W聯立運行是否有解，如果方程組有解則該點信號可以被饋源艙接收，反之則該點不能。將經過調整伸縮量的點坐標分別代入，N為調整點的總數，設其中有n個點可以被接收。

通過每個節點坐標對應的平面，將得到的可以被接收信號的點坐標與表中信息對比，找出滿足3個點都在接收信號點集合內的面，利用矩陣將所有的節點編號轉換為數字信息。再將范圍內的節點數字信息放在一個集合內。將矩陣中的每一個元素都做一次判斷，判斷該元素是否在集合內，若在則編碼為1，否則為0。最后整理統計一組數據中1的數量，若數量為3則說明這3點所圍的反射面板為所求范圍內面板。計算結果為，調節后饋源艙的接收比為84.373%，基準反射球面的接收比為87.278%。