四面體垂心研究的進展*

曾建國

(贛南師范大學 數學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

與三角形中三條高交于一點(垂心)的情形不同，四面體的四條高不一定交于一點.因此，當人們運用類比的思維方法嘗試將垂心概念引申到四面體時遇到了不少困難.盡管如此，人們仍然在四面體垂心研究的道路上不懈努力、不斷探索，取得了豐碩的研究成果.本文對四面體垂心研究的歷程進行回顧，并介紹近年來有關四面體垂心研究的進展.

1 傳統意義的四面體垂心

按傳統意義的三角形垂心定義(三條高的交點)類比至四面體中時，我們發現，只有一類特殊的四面體——垂心四面體(三組對棱互相垂直的四面體)的四條高交于一點，此類四面體具有傳統意義的垂心.

在四面體中，如果兩組對棱分別垂直，則第三組對棱也垂直，即有

命題1[1]四面體的四條高交于一點的充要條件是兩組對棱分別垂直.

定義1垂心四面體的四條高交于一點，稱為四面體的垂心.

在三角形中，垂心、重心、外心三點共線，即有歐拉線定理(Euler，1765年).

命題2[2]三角形的外心O、重心G、垂心H共線，且OG∶GH=1∶2.

命題2引申至垂心四面體中，就得垂心四面體的歐拉線定理.

命題3[3]垂心四面體的外心O、重心G、垂心H共線，且OG∶GH=1∶1.

1995年，馮華根據命題3及四面體的萊布尼茲公式[4]證明了垂心四面體的垂心的一個性質.

命題4[5]設垂心四面體A1A2A3A4的垂心為H，外接球半徑為R，則

(1)

三角形中與垂心有關的其他性質也可以類比移植到垂心四面體中.例如，人們將三角形九點圓定理推廣至垂心四面體中，得到了垂心四面體的兩類“十二點球定理”.

第1類十二點球定理是法國數學家普魯海(Prouhet)于1863年發現的.

命題5[2,6]垂心四面體中，垂心到四面體各頂點的連線的第一個3等分點、四面體各面的垂心和重心，共12點共球，其球心為外心與垂心連線的第二個3等分點，半徑為四面體外接球半徑的三分之一.

第2類十二點球定理是法國數學家坦佩萊(Temperley)與萊維(Lévy)于1881年發現的.

命題6[2,7]垂心四面體中，每個側面三角形的三條高的垂足、6條棱的中點共12點共球，球心是四面體的重心.

但由于傳統意義的垂心概念僅適用于垂心四面體，因此所有推廣的結論也僅對垂心四面體成立，不適用于一般四面體.

2 垂心概念在四面體中的其他類比推廣

由于傳統意義的垂心概念無法類比推廣至一般的四面體中，致使三角形垂心的大量優美性質難于類比推廣至四面體中.于是人們另辟蹊徑，嘗試用其他方法推廣垂心概念.

2.1 蒙日點

2010年，耿恒考[8]類比三角形的高線并引申得到四面體的“高面”——過四面體的一條棱的中點垂直于對棱的平面，并證明了四面體的6個高面必交于一點，稱其為四面體的“垂心”.事實上，這樣類比得到的“垂心”就是四面體的“蒙日點”，是法國數學家蒙日(G.Monge)于1811年發現的[2].

命題7四面體的每條棱的中點向它的對棱引垂面，6個垂面必交于一點M.

另一位法國數學家曼海姆(V.M.A.Manheim,1831-1906)也作過一種類比推廣，用另一種方法得到一般四面體的“垂心”(也與蒙日點合同)[2].

命題8設四面體A1A2A3A4頂點Ai所對側面三角形的垂心為Hi，四面體(自頂點Ai引出)的高線為hi，則由hi與Hi(i=1,2,3,4)確定的四個平面交于一點H.

事實上，命題8中的垂心H與蒙日點M合同(曼海姆本人已證明)[1].因此我們將命題7與命題8中定義的四面體的“垂心”統稱為四面體的蒙日點.

有趣的是，四面體的外心、重心、蒙日點三點也共線，即有[2]

命題9四面體的外心O、重心G、蒙日點M三點共線，且OG∶GM=1∶1.

對照命題2可知，在垂心四面體中，蒙日點與垂心為同一點.因此，一般四面體的蒙日點是四面體垂心概念的推廣.因此我們完全有理由把命題9中的直線稱為一般四面體的“歐拉線”.

2.2 偽垂心

一般四面體的偽垂心概念是熊曾潤教授在2005年建立的.

從這一向量表示形式的角度進行類比，可得四面體的偽垂心概念如下[9]

偽垂心也在四面體的歐拉線上，即有[9]

命題10四面體的外心O、重心G、偽垂心W三點共線，且OG∶GW=1∶3.

偽垂心是四面體一個新的特殊點.根據定義2可以推得偽垂心的許多有趣性質，例如[9]

命題11設四面體A1A2A3A4的外接球球心為O、半徑為R，偽垂心為W，則

2.3 歐拉球心

2005年，熊曾潤教授將三角形的九點圓(又稱歐拉圓)引申推廣至四面體中，得四面體的歐拉球面概念[10-11].

定義3設四面體A1A2A3A4的外接球球心為O、半徑為R，頂點Aj所對的側面記作Δj(j=1,2,3,4)，

我們先討論四面體的歐拉球心與垂心的關系.

命題12四面體的外心O、重心G、歐拉球心E三點共線，且OG∶GE=1∶1.

對照命題12與命題9即知四面體的歐拉球心與蒙日點合同.進而可知，垂心四面體的歐拉球心就是其垂心[12].

對于任一給定的四面體，耿恒考定義的垂心[8]、蒙日點[2]、曼海姆定義的垂心[2]、歐拉球心[10-11]均為同一點(以下統一稱歐拉球心).類比推廣的角度、方法各不相同，得到的竟是同一個點！真可謂“殊途同歸”.這一定算得上是幾何研究歷史上的一件趣事.

綜上所述可知：任一給定四面體存在惟一的歐拉球心；垂心四面體的歐拉球心就是其垂心.由此可見，四面體的歐拉球心是垂心四面體的垂心概念的推廣.垂心四面體的垂心具有一般四面體歐拉球心的所有性質，而一般四面體的歐拉球心不一定具有垂心四面體垂心的某些性質.

因此，研究四面體歐拉球心的性質比研究垂心性質具有更為廣泛的意義.

現列舉四面體歐拉球心的兩個性質.

命題13[12]四面體的歐拉球心到一棱中點的距離等于外心到對棱中點的距離.即：若四面體A1A2A3A4的外心為O、歐拉球心為E，M、N分別是棱A1A2、A3A4的中點，則有OM∥NE且OM=NE.

前文所述垂心四面體垂心的一個性質(命題4)也可以推廣至一般四面體中.

與歐拉球心有關的四面體歐拉球面的性質更為精彩.

四面體歐拉球面是三角形九點圓在四面體中的類比推廣，由此得到的一系列共球點性質令人嘆為觀止，如

命題15[9,13]四面體A1A2A3A4的歐拉球面必通過12個特殊點，即：各頂點Aj與偽垂心H連線的中點Mj(j=1,2,3,4)；各側面Δj的歐拉球心Ej(j=1,2,3,4)；過點Ej作直線與直線AjH垂直相交的垂足Dj(j=1,2,3,4).

命題16[11,14]設四面體A1A2A3A4的外接球球心為O、半徑為R，其偽垂心為H，頂點Aj所對的側面Δj的歐拉球心為Ej，過點Ej作直線與直線AjH垂直相交于Dj，且設此直線交外接球面O于Bj、Cj兩點，則ΔAjBjCj的九點圓必在四面體A1A2A3A4的歐拉球面上(j=1,2,3,4).

命題16表明：四面體的歐拉球面通過4×9=36個特殊點．

回顧四面體垂心研究的歷程和研究成果發現，熊曾潤先生所作的工作是最重要的.

3 四面體垂心概念的后續研究

四面體垂心概念的研究歷程展現了類比推理的巧妙方法和強大威力，同時也啟發我們可進一步開展本課題研究的方向.事實上，以下兩方面的研究已經取得了初步進展：將四面體的垂心、歐拉球心、重心等概念一般化，進而研究四面體的k號心[13,15]；將四面體的垂心(包括其他心)概念進一步推廣至球內接多面體[9]、n維單形[16]、乃至n維有限點集[17-18]中.

(謹以此文紀念熊曾潤教授逝世6周年)