基于5-SPS并聯機構的錨桿鉆機機構運動學研究*

劉云龍， 羅彪， 黃苛， 羅運杰， 凌濤， 尹來容

(1.中鐵五局集團 第一工程有限責任公司， 湖南 長沙 410117；2.長沙理工大學 汽車與機械工程學院， 湖南 長沙 410114)

在當前科學技術高速發展的背景下，巖土工程中錨固技術應用越來越普遍。王鵬設計了一種四臂錨桿鉆車，主要應用于魏墻煤礦雙巷掘進工作面。王威設計了一種用于完成巷道中全部頂板錨桿支護和側幫錨桿支護的錨桿鉆機，解決了掘錨機組無法一次性完成全部巷道錨桿支護的問題。并聯機構具有精度高、累計誤差小、承載能力大等特點。Li Y. B.等提出了一種5-PSS/UPU并聯機構并對其進行了運動學與動力學求解。柳紀琛等提出了一種兩平移一轉動(2T1R)并聯機構，并對其進行了運動學分析與工作空間及尺度優化。沈惠平等提出了一種零耦合度、含1條冗余支鏈的三自由度2T1R并聯機構,并對該機構進行了運動學與剛度分析。葉偉等提出了一種用于微創手術的新型遠中心并聯機構，并對該機構進行了運動學分析與性能優化。本文以5-SPS并聯機構為研究對象，建立位置反解模型進行錨桿鉆機機構運動學求解。

1 機構運動學分析

1.1 機構系統坐標系的建立

如圖1所示，在5-SPS直線動平臺并聯機構的定平臺上建立定坐標系O-XYZ(簡稱O坐標系)，在直線動平臺上建立動坐標系P-xyz(簡稱P坐標系)。定平臺上5個鉸鏈點中，第3個鉸鏈點S13位于O坐標系Y軸正方向，其余4個鉸鏈點均勻分布在以坐標系原點為圓心、半徑為R的圓上，分布角為72°。直線動平臺上第1個鉸鏈點S31至第5個鉸鏈點S35間隔均勻分布在P坐標系x軸負方向，分布值為b/2,第5個鉸鏈點S35與P-xyz坐標系原點的距離為a。

P21～P25代表5個移動副

P坐標系相對于O坐標系的旋轉矩陣為：

ORP=R(y,β1)R(z,β2)=

(1)

式中：β1、β2分別為末端輸出沿Y方向和Z方向轉動的旋轉角。

1.2 機構位置分析

該機構的逆解可以簡單描述為：已知動平臺的空間位置和姿態，即給定動平臺末端輸出點P的位姿(x，y，z，β1，β2)，求解該機構的輸入量，即與定平臺相連接的該并聯機構5個驅動桿的位移L1、L2、L3、L4、L5。機構各鉸鏈點坐標見表1。

表1 5-SPS并聯機構鉸鏈點坐標

OS3i在O坐標系下的坐標為：

OS3i=ORP×PS3i+P

(2)

式中：P為P坐標系的原心相對于O坐標系的坐標表示，即輸出，P=[x,y,z]T。

對于該并聯機構的5個驅動桿，其桿長矢量為OS1iOS3i(i=1,2,3,4,5)。該并聯機構的位置約束方程為：

(i=1,2,3,4,5)

(3)

給定該并聯機構結構參數a、b后，根據動平臺運動規律，由式(3)可求出該并聯機構的位置逆解。

1.3 速度分析

對式(3)兩端求導，建立該并聯機構的速度方程，其矩陣形式為：

(4)

Jε、Jx的形式如下：

式中：

由式(4)可得速度方程為：

(5)

當det(Jε)≠0和det(Jx)≠0時，Jε和Jx均為滿秩矩陣，此時Jε和Jx可逆。

(6)

式中：

1.4 加速度分析

對式(3)進行二階求導，得：

(7)

式中：Hi為該并聯機構的二階影響系數矩陣，為Hessian矩陣，是一個5層5行5列的五維立體矩陣，自上而下共分為5層，其中每個元素均為1×5的矩陣；J為雅克比矩陣。

2 運動學分析算例

取中間分布值b/2為162 mm，a為200 mm，定平臺外接圓半徑R為340 mm。設定機構動平臺初始位置為P=(545，-134，920)T，驅動函數為：

(8)

式中：t為時間變量，其取值范圍為0～10 s。

利用MATLAB編程，繪制各驅動副位置、速度及加速度曲線(見圖2～4)。

圖2 驅動副L1～L5的位移變化曲線

圖3 驅動副L1～L5的速度變化曲線

圖4 驅動副L1～L5的加速度變化曲線

通過ADAMS軟件對該并聯機構進行運動學仿真，設定其運動驅動函數為：

(9)

式中：d為每秒轉的角度。

設置仿真時間為10 s，步數為200，在后處理中生成驅動副L1～L5的位置、速度及加速度曲線(見圖5～7)。

圖5 驅動副L1～L5的位移仿真曲線

圖6 驅動副L1～L5的速度仿真曲線

圖7 驅動副L1～L5的加速度仿真曲線

對比圖2～4和圖5～7，仿真分析結果與理論計算結果一致。根據上述逆向仿真結果，得到該并聯機構運動曲線呈有規律的周期性變化，驅動副L1～L5的運動變化平穩，該并聯機構具有良好的逆向運動特點。

3 機構奇異性分析

3.1 逆解奇異

矩陣Jε奇異而矩陣Jx非奇異，此時矩陣Jε行列式為零，矩陣Jx行列式不為零，并聯機構的自由度增多，驅動機構沒有輸入，但動平臺仍能運動，導致運動失控，此類奇異稱為逆解奇異。

求解矩陣Jε行列式為零需滿足的條件為L1、L2、L3、L4、L5的乘積為零，即矩陣對角線上的5個元素中至少需滿足其中一個為零。當L1、L2、L3、L4、L5中任一個為零時，Jε行列式為零。

對于桿長L1、L2、L3、L4、L5，考慮并聯機構的運動特性，由于伸縮桿的長度不可能為零，矩陣Jε和Jx行列式均不為零，不存在逆解奇異。

3.2 正解奇異

矩陣Jx奇異而矩陣Jε非奇異，此時矩陣Jε行列式不為零，矩陣Jx行列式為零，并聯機構的自由度減少，機構喪失某種功能，此類奇異稱為正解奇異。在MATLAB中編程，得出矩陣Jx的行列式分布(見圖8)。

圖8 Jx行列式分布

從圖8可以看出：Jx的行列式分布并沒有一個從零過渡的區間，不存在行列式為零的情況，Jx各行各列都不線性相關，矩陣Jx行列式不為零，并聯機構不存在正解奇異。

3.3 混合奇異

矩陣Jε、Jx奇異，此時矩陣Jε和Jx行列式均為零，此為混合奇異。綜合以上分析，該并聯機構不存在混合奇異。

4 結論

本文利用空間位置矢量法構建5-SPS并聯機構的運動學逆解模型，通過ADAMS仿真驗證，所設計的理論模型與仿真模型正確、合理，該并聯機構動平臺加速度變化較平穩，具有較好的運動學性能。求解該并聯機構的速度雅可比矩陣，并利用該矩陣對機構奇異性進行分析，結果表明該機構不存在正解奇異、逆解奇異與混合奇異。