變寬截面箱梁剪力滯效應研究

盧敏鋒， 丁南宏

(蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070)

1 引 言

受地形條件和交通的限制，橫向變寬度橋梁運用越來越廣泛，但變寬度箱梁的理論研究還較少。剪力滯是由于箱梁翼緣板的剪切變形不均勻，造成彎曲正應力沿梁寬方向不均勻分布的現象。文獻[1]應用變分法分析了等截面箱梁的剪力滯效應，提出了分析簡支箱梁及連續箱梁剪力滯效應的方法。文獻[2,3]運用能量變分原理對多箱室等截面箱梁建立了相應的控制微分方程和邊界條件。文獻[4-7]應用能量變分法，分析了波形鋼腹板組合箱梁的剪力滯效應，給出了計算組合箱梁剪力滯系數的解析方法。文獻[8-12]分別考慮了梗腋、翼板厚度變化、懸臂板寬度以及腹板剪切變形等因素對箱形梁剪力滯的影響，運用能量變分原理導出了計算箱梁剪力滯效應的公式。文獻[13]應用能量變分原理,對變高度梯形截面箱梁的剪力滯及剪切變形效應進行了分析，導出了箱梁在橫向荷載作用下的剪力滯控制微分方程和邊界條件，獲得相應的閉合解。文獻[14]用能量變分法分析了變寬截面波形鋼腹板組合箱梁剪力滯，推導出了簡支箱梁在均布荷載和集中荷載作用下剪力滯系數的計算公式。文獻[14]為四箱單室箱梁，縱向位移函數為二次函數，未考慮頂板寬度變化對箱梁正應力的影響。文獻[15]以等截面箱梁控制方程為基礎，推導出變高度波形鋼腹板箱梁的控制微分方程，應用差分法得到變高度箱梁的剪力滯系數計算公式。

上述文獻主要針對等截面箱梁及變高度箱梁的剪力滯效應進行了研究。目前，對于變寬度箱梁剪力滯效應的研究較少，研究方法主要是有限元分析，且箱梁的結構形式和截面參數變化情況也不相同。本文以三次拋物線作為箱梁縱向翹曲位移的分布函數，應用能量變分原理，建立控制微分方程?？紤]到頂板寬度沿梁的線性變化時截面參數I(x)和h(x)的變化以及對箱梁正應力的影響，采用差分法計算箱梁在集中荷載和均布荷載作用下的正應力，總結頂板變寬箱梁的剪力滯效應分布規律。

2 基本假定

(1) 中和軸仍位于按初等梁理論計算的位置。

(2) 腹板變形符合平截面假定，只考慮縱向彎曲變形勢能，忽略橫向彎曲變形勢能。

(3) 翼緣板的豎向無擠壓即εz=0，板平面外剪切變形γx z與γy z以及橫向變形εy均忽略不計。

(4) 箱梁在豎向對稱荷載作用下，翼板的縱向位移假設為

(1)

(2)

(3)

頂板寬度沿梁長的變化函數為

(4)

圖1 變寬箱梁平面圖

圖2 箱梁橫截面

3 變寬度箱梁控制微分方程及其解答

3.1 總勢能表達式

當箱形梁彎曲時，外力勢能

(5)

組成箱梁各板的應變能為

(6)

(7)

將式(1～3)分別代入式(6，7)得

底板應變能為

(8)

頂板應變能為

(9)

懸臂板應變能為

(10)

腹板應變能為

(11)

體系總勢能為

(12)

3.2 控制微分方程的建立

根據最小勢能原理，在外力作用下結構處于平衡狀態時，當有任何虛位移時，體系總勢能的變分為零[1]。

(13)

將總勢能變分，整理得控制微分方程為

(14)

(15)

邊界條件為

(16)

當b1=b2=b3=b時，為等截面箱梁，即α=0，此時的剪力滯效應控制微分方程和邊界條件退化為

與文獻[1]一樣，說明本文方法具有一般性。

3.3 控制微分方程的求解

對式(14)兩邊求導，代入式(15)，移項整理得到關于剪切轉角U(x)的方程為

(17)

將式(14)代入式(16)，可得邊界條件

(18)

將式(17)中U″(x)的系數化為1，整理簡化后為

(19)

底板正應力為

(20)

頂板正應力為

(21)

懸臂板正應力為

(22)

由于直接求解U(x)比較復雜，因此采用差分法來求解U(x)，沿梁長度方向劃分網格，步長為λ，則點i縱向位移差函數U(x)的差分形式由文獻[15,16]可知

(dU/dx)i=(Ui +1-Ui -1)/2λ

(d2U/dx2)i=(Ui +1-2Ui+Ui -1)/λ2

(23)

將式(23)代入式(19)整理后得

Ui -1(2-miλ)+Ui(-4+2λ2ki)+

Ui +1(2+miλ)=2λ2fi

(24)

式中fi=-ai[M/(EI)]′-di[M/(EI)]

邊界條件的差分形式為

網格內的每一點利用式(24)列出方程，在邊界點采用相應的邊界條件，得到差分方程組，求解方程組得到變寬截面箱梁剪力滯效應縱向位移差函數U(x)，然后根據式(20～22)求出箱梁截面正應力。

4 算 例

已知簡支鋼箱梁的跨長L=30 m，其L/4位置和L/2位置截面尺寸如圖3所示，材料特性為E=2.06×105MPa，G=0.79×105MPa，泊松比μ=0.31。(1) 在沿跨長腹板頂面，對稱地作用均勻線荷載q=50 kN/m； (2) 在跨中腹板的頂面上對稱地作用一對集中力2P=2×50 kN。計算在兩種荷載作用下的箱梁截面應力。

圖3 箱梁L /4和L /2位置橫截面(單位：mm)

利用有限元軟件建立薄壁鋼箱梁板殼單元模型，單元采用SHELL181單元。根據文獻[16,17]可知，網格會對計算結果產生影響。因此需要對不規則的網格進行單獨劃分，以免影響結果的準確性。根據ANSYS模型得到應力結果列入表1和表2。

表1 均布荷載作用下簡支箱梁截面應力(單位：MPa)

按變分法與有限元法計算在集中荷載和均布荷載作用下箱梁L/4和L/2位置截面應力，計算結果列入表1和表2，沿跨長腹板頂面應力如 圖4 和圖5所示?？梢钥闯?，變分法結果與有限元結果相吻合，表明本文的方法是可行的。但由于有限元法考慮的因素較多，網格劃分以及差分法求解時，步長的選取也會對計算結果的精度產生影響，因此變分法的結果與有限元結果存在一定誤差。

圖4 均布荷載作用下變分解與有限元解

圖5 集中荷載作用下變分解與有限元解

對變寬箱梁和等截面箱梁的跨中截面頂板進行比較，分析變寬箱梁和等截面箱梁的剪力滯分布差異。等截面梁的尺寸如圖3(1/2橫截面)所示，在相同荷載條件下等截面梁和變寬截面梁的跨中截面頂板應力分布如圖6和圖7所示，等截面簡支箱梁的應力計算方法根據文獻[1]得到。

圖6 均布荷載下跨中截面頂板應力(單位：MPa)

圖7 集中荷載下跨中截面頂板應力(單位：MPa)

從圖6可以看出，均布荷載作用下變寬度梁和等截面梁的跨中截面應力為正剪力滯分布；變寬箱梁與等截面腹板頂面應力相差約7.86%；變寬箱梁跨中截面的頂板應力分布變化較大，最大和最小應力相差14.25%。等截面梁最大和最小應力相差4.32%。由此可知，在均布荷載作用下，變寬截面的頂板應力變化幅度大，峰值更高，頂板的寬度變化對剪力滯效應影響比較大。

從圖7可以看出，集中荷載作用下變寬度梁和等截面梁的跨中截面應力為正剪力滯分布。變寬箱梁與等截面腹板頂面應力相差0.099%，頂板中心應力相差2.69%，二者應力分布曲線擬合較好。由此可見，在集中荷載作用下，變寬度梁與等截面梁的頂板應力分布相似，在懸臂板端部和頂板中心略有差異，頂板的寬度變化對剪力滯效應影響較小。

5 結 論

(1) 當箱梁頂板、底板和懸臂板寬度沿跨長相等時，推導的剪力滯效應控制微分方程退化為等截面箱梁剪力滯效應控制微分方程，說明本文的方法具有一般性。應用能量法與有限元法計算結果相吻合，二者應力分布曲線擬合較好。

(2) 在均布荷載作用下，變寬箱梁和等截面箱梁跨中截面應力為正剪力滯分布，與等截面梁相比，變寬截面梁應力變化幅度更大，腹板頂面應力峰值也更高，寬度的變化對剪力滯影響較大。

(3) 在集中荷載作用下，變寬箱梁和等截面箱梁跨中截面應力為正剪力滯分布。二者應力分布曲線相似，在懸臂板端部和頂板中心略有差異，故箱梁寬度的變化對剪力滯的影響較小。