一種拉伸式準零剛度隔振系統的設計和特性分析

何 波，楊 康，吳少培，李國芳，丁旺才，張 龍

（蘭州交通大學 機電工程學院,蘭州 730070）

近年來，隨著人們對振動認識的不斷加深，振動的有益性得到了很好開發。如在醫療器械方面可以利用超聲波診斷出多種疾??；振動產生的波速可以用來勘測地下礦產。但是大多數情況下，振動會對人類的生產、生活造成負面影響，如振動產生的噪聲會對人體的聽覺器官、神經系統等造成不同程度的損害；振動還會對精密儀器的靈敏度造成影響。線性隔振理論表明：只有當系統的激勵頻率大于倍的固有頻率時，系統才有隔振效果。要減小系統的固有頻率可以增加質量或減小剛度，質量增加使得制造成本增加；剛度減小固有頻率降低，隔振效果越好。但是，低剛度會引起很大的變形，隔振系統容易變得不穩定。因此，在不影響承載能力的前提下，構造出具有低頻隔振效果的隔振系統意義非凡。近年來國內外學者對準零剛度隔振系統做了大量研究，最早，Molyneux[1]采用傾斜彈簧作為負剛度機構與豎向線性彈簧并聯組成準零剛度隔振器，通過調節負剛度機構，使得系統不僅具有較高的承載能力，還實現了較低的動剛度。Alabuzhev等[2]在原有線性彈簧的基礎上引入了負剛度機構，對其結構和動態響應做了較為全面的分析。Carrella等[3]提出了一種三彈簧結構，采用兩根傾斜的彈簧產生負剛度，與提供正剛度的豎向彈簧并聯實現了準零剛度?？梢酝ㄟ^調節豎向彈簧和傾斜彈簧的預變形量，實現對準零剛度平衡位置和承載能力的調節。Kovacic等[4]研究了這種三彈簧結構，并在非對稱作用下對該系統進行動力學分析，研究了周期倍化分岔的出現以及如何發展為混沌運動。在準零剛度的研究中利用不同的負剛度機構設計出了多種隔振系統，Valeev等[5]把碟形彈簧作為負剛度機構應用于準零剛度隔振結構中。Shaw等[6]將雙穩態復合板與螺旋彈簧并聯組成準零剛度隔振器。Zhou等[7]利用電磁系統所提供負剛度設計了一種頻率可調的準零剛度隔振器。Lu等[8]設計了一種以歐拉壓桿為負剛度機構的準零剛度隔振器。

楊雪鋒等[9]為解決低頻振動對康復機器人的影響，在康復機器人下肢足部安裝了由負剛度拉伸彈簧并聯線性正剛度彈簧的準零剛度隔振器，該研究實現了對下肢機器人足部低頻振動的有效衰減。Thanh等[10]把準零剛度隔振器應用到汽車座椅上，通過理論分析和對裝配零件實測數據分析確定了系統在平衡位置處的參數。實驗表明，準零剛度車載隔振系統在0～4 Hz 低頻段與傳統隔振器的座椅相比，隔振效果顯著，舒適性大幅度提高。聞榮偉[11]提出了一種應用于大型精密儀器、基于洛倫茲力致動器主動控制負剛度的微振控制策略，有效減小了振動對大型精密儀器的損壞程度。劉吉曄[12]將SD 振子模型應用于浮置板軌道系統，大幅提高了浮置板軌道的低頻隔振性能。

本文在前人研究的基礎上，構造了一種拉伸式準零剛度隔振器。首先，對準零剛度隔振系統進行靜力學分析，提出了實現準零剛度的條件及具體參數；其次，建立了系統的非線性動力學方程，采用諧波平衡法求解了系統的動力學響應和多穩態區域，研究了系統多穩態區域及隔振有效范圍與參數關聯關系，最后運用胞映射進行驗證，分析了系統參數和激勵幅值對幅頻響應和力傳遞率的影響。

1 準零剛度隔振系統模型的建立及靜力學分析

1.1 準零剛度隔振器模型的建立

該隔振系統主要由一個豎向壓縮彈簧和一對橫向拉伸彈簧組成，豎向壓縮彈簧提供正剛度，一對橫向拉伸彈簧在拉伸過程中具有負剛度特性，采用正負剛度并聯的原理在平衡位置實現零剛度，既保留了正剛度機構的高承載能力，又顯著降低了系統的動剛度，使得系統的隔振頻帶向低頻延伸，實現低頻隔振的目的。本模型采用三維建模軟件SolidWorks進行設計，準零剛度隔振器模型、負剛度系統和力學模型分別如圖1(a)、圖1(b)、圖1(c)所示。

圖1 準零剛度隔振系統

其中，1為承載臺，2為豎向壓縮彈簧，3為底座，4為滑塊，5為向拉伸彈簧，6為軸，7為銷，8為車輪，L為旋轉桿插銷的長度，L0表示未受力時橫向拉伸彈簧長度的一半，橫向拉伸彈簧的剛度為ka，豎向壓縮彈簧的剛度為kb，h表示初始位置與水平面的垂直距離，角θ表示任意位置時旋轉桿插銷與水平拉伸彈簧的夾角。F為豎向壓縮彈簧和一對橫向拉伸彈簧產生的彈性力的矢量和。

1.2 靜力學分析

對準零剛度隔振系統進行靜力學分析，則系統彈性力的模為：

滿足關系式：

得到式（1）無量綱化關系式為：

對式（4）求導，可得其無量綱剛度表達式為：

式中：α為橫向彈簧的剛度與豎向彈簧剛度的比值；λ為初始位置時旋轉桿插銷的長度與橫向拉伸彈簧長度一半的比值。

由式（6）得到系統在平衡位置實現準零剛度（Quasi-zero-stiffness，QZS）的參數條件為：

由式（4）和式（5）可以得到剛度比α=0.8、長度比變化時，系統的無量綱力-位移曲線、無量綱剛度-位移曲線分別如圖2（a）、圖2（b）所示，長度比λ=1.45、剛度比變化時系統的無量綱剛度-位移曲線如圖2(c)所示。

從圖2（a）、圖2（b）可以看出，λ=1.65時，系統表現出雙穩態特征，理論上講系統可在靜平衡位置保持不動，但是任何微小的擾動都會使系統偏離零點，進而破壞系統的平衡狀態，使系統進入其他穩定平衡狀態，系統表現為雙穩態特性。λ<1.45 時，系統的剛度為正值；λ=1.45 時，豎向壓縮彈簧提供的正剛度與一對橫向拉伸彈簧產生的負剛度在平衡位置剛好抵消，無量綱剛度為零，系統恰好處于準零剛度狀態；1.45<λ≤1.65時，系統在平衡位置的剛度由零變為負值。λ為初始位置時旋轉桿插銷的長度與橫向拉伸彈簧長度一半的比值，故λ>1。在實際工程中，剛度一般取正值，要實現準零剛度長度比λ應滿足1.05<λ≤1.45。從圖2（c）可以看出，λ=1.45 時，該系統在=0 處剛度最小且關于=0 左右對稱。α<0.8 時，系統的剛度為正值；α>0.8 時，系統的剛度為負值；α=0.8 時，系統的剛度為零，這表明豎向彈簧提供的正剛度與橫向拉伸彈簧產生的負剛度恰好能相互抵消，實現了零剛度。在實際工程中，剛度一般取正值，要實現準零剛度，剛度比α應滿足0.5<α≤0.8。

圖2 長度比、剛度比變化時無量綱力-位移、剛度-位移曲線

2 簡諧力作用下準零剛度隔振系統的幅頻響應分析

2.1 動力學微分方程的建立

將式（4）、式（5）代入式（8）得到：

在滿足準零剛度的條件下，將式（6）代入式（9）得到：

如圖1(c)所示，準零剛度隔振系統承載質量為m的被隔振物體后，受到重力作用到達靜態平衡位置且滿足準零剛度特性。此時，被隔振物體的重量完全由被壓縮的豎向彈簧支撐，故被隔振設備質量m滿足條件：

對系統施加簡諧作用力f=fcos(wt)，建立系統的非線性微分振動方程如下：

對式（12）進行無量綱化得到：

2.2 諧波平衡法求解動力學微分方程

對式（13）采用諧波平衡法并忽略高階諧波求其穩態響應解，設式（13）的穩態響應解為e=Acos(Wτ+φ)，A是響應幅值，將穩態響應解代入式（13）得到準零剛度隔振系統的諧波響應幅頻特性方程為：

由式（14）可以得到：

當阻尼比ξ很小時，向下跳躍頻率Wd對應的響應幅值是最大值Amax，此時，得到：

式（17）是關于A2的一元二次方程，解之得到：

將式（18）代入式（17）得到系統的下跳頻率Wd為：

采用近似法求解上跳頻率，令ξ=0，=0，解之得到：

將式（20）代入式（17）得到系統的上跳頻率Wu：

由式（19）和式（21）得到系統的多穩區域：

阻尼比ξ=0.04，非線性項γ=1.25，激勵幅值=0.02時，得到了系統幅頻特性曲線并與數值方法所得結果進行對比，如圖3所示。

圖3 準零剛度隔振系統幅頻特性曲線

從圖3 可以看出，用諧波平衡法和數值方法得到系統的幅頻響應基本吻合。向右掃頻：頻率比從零開始緩慢增加，則響應幅值將從1點連續變化到2點，2點為鞍結分岔點，對應的幅值記為最大值Amax。在鞍結分叉的誘導下響應幅值從2 點瞬間跳躍到3點，2 點對應的頻率稱為向下跳躍頻Wd。頻率比繼續增大，則響應幅值從3 點沿著分叉在其誘導下響應幅值從2點瞬間跳躍到3點，2點對應的頻率稱為向下跳躍頻Wd。頻率比繼續增大，則響應幅值從3點沿著坐標軸正向連續移動到4 點。向左掃頻：隨著較大值處的頻率比減小，響應幅值從4 點開始沿著坐標軸的負方向連續變化到5點，5點為鞍結分岔點，在鞍結分叉的誘導下響應幅值瞬間從5 點跳躍到6點，5點對應的頻率稱為向上跳躍頻率Wu。從6點開始頻率比繼續減小，響應幅值從6 點沿著坐標軸負方向減小。當WWd時，系統處于穩定平衡狀態；當Wu

圖4 胞映射

阻尼比、非線性項、激勵幅值變化時，系統的幅頻特性曲線分別如圖5（a）、圖5(b)、圖5（c）所示。

圖5 阻尼比、非線性項、激勵幅值變化時的幅頻響應曲線

2.3 穩定性判別

從圖（3）可以看出，準零剛度隔振系統存在多態共存，會發生頻率跳躍。其中兩個穩定解和一個不穩定解可根據目標周期軌道鎮定化。因此，有必要對系統的穩定性進行判別。在進行穩定性判別時，采用馬蒂厄方程，首先引入一個非常小的擾動項，設系統的穩態響應解=Acos(Wτ+φ)+，則：

將式（23）、式（24）代入式（13），得到馬蒂厄方程如下：

將式（26）、式（27）代入式（25）得到：

將式（29）、式（30）代入式（28）得到：

聯立式（31）、式（32）得到準零剛度隔振系統的穩定性判別條件如下：

若系統的判別式的值Δ<0，則系統處于不穩定狀態，在幅頻特性曲線中表現為頻率的跳躍；若系統的判別式Δ>0，則系統處于穩定狀態。由式（33）可得系統在不同激勵力下的穩定邊界和幅頻響應，如圖6所示。

從圖6 可以看出，阻尼比、非線性項一定時，隨著激勵幅值的增加，隔振系統的響應幅值逐漸增加且共振頻率增加，但是穩定邊界不受影響；該系統共有3個周期響應解，其中兩個是穩定解，分別為上支穩定和下支穩定，另一個不穩定解是中支不穩定；幅頻響應曲線落在不穩定區域對應系統的不穩定解。

圖6 激勵幅值變化時的穩定邊界和幅頻響應曲線

3 準零剛度隔振系統與線性系力傳遞率對比分析

力傳遞率定義為經準零剛度隔振系統傳遞到剛性基礎力的幅值和激勵幅值的比值，則力的傳遞率為：

去掉負剛度后，該隔振系統變為線性隔振系統，其力傳遞率表達式為：

激勵幅值、阻尼比、非線性項變化時系統的力傳遞率曲線分別如圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）所示。

從圖7（a）看出，當阻尼比ξ=0.2、非線性項γ=0.53 時，激勵幅值對線性隔振系統沒有影響。激勵幅值f=0.38時，由式（19）表示的準零剛度系統的起始隔振頻率比為0.73，相比于線性系統，準零剛度系統的起始隔振頻率低，峰值有效減小。隨著激勵幅值增加，準零剛度隔振系統的共振峰值增大，系統更容易跳躍，系統的起始隔振頻率也變大。隨著激勵幅值變大，系統表現出的非線性越強，力傳遞率的共振峰值越大，可能會導致準零剛度隔振系統比線性隔振系統效果差。因此，準零剛度系統在較小激勵幅值條件下隔振性能更好。但是在高頻區激勵幅值對準零剛度系統的隔振性能影響不大。

從圖7(b)可以看出，當激勵幅值f=0.38、非線性項γ=0.53 時，隨著阻尼比的增加，線性系統的共振頻率沒有變化，共振幅值逐漸減??；而準零剛度隔振系統的共振幅值和起始隔振頻率越低，系統的隔振頻帶被拓寬，跳躍區間逐漸減小。因此，在低頻區較大的阻尼比有利于提升準零剛度系統的隔振性能，但是在高頻區，阻尼比對準零剛度系統的隔振性能影響不大。

從圖7(c)可以看出，當激勵幅值f=0.4、阻尼比ξ=0.2時，隨著非線性項的增加，準零剛度隔振系統的向右彎曲程度增加，起始力傳遞率值和共振幅值變小，但是共振頻率增加，系統的隔振頻帶減小了，不利于低頻隔振。因此，取適當非線性項的值有利于提高隔振性能；在高頻區，非線性項對準零剛度系統的隔振性能影響不大。

圖7 力傳遞率曲線

4 結語

利用正負剛度并聯的原理構造了1種拉伸式準零剛度隔振器，建立了系統動力學模型。采用諧波平衡法求解了穩態響應和多穩態區，與數值結果基本吻合，在W=0.4 處用胞映射驗證了多態共存；運用馬蒂厄方程進行穩定性判別。分析了系統參數對幅頻響應和力傳遞率的影響，主要結論如下：

（1）通過靜力學分析確定了系統實現準零剛度的條件，可以調節長度比λ和剛度比α使系統在平衡位置處的動剛度為零。通過動力學分析表明，較小的激勵幅值和較大的阻尼比ξ有利于提高隔振性能，而非線性項不宜過大，較大的非線性項會導致系統的隔振性能變差。

（2)對于線性系統，激勵幅值對其沒有影響，隨著阻尼比增加，線性系統的響應幅值減小，共振頻率不變。在同樣的參數條件下，明顯可以看出，準零剛度隔振系統的隔振性能更好。

(3)在簡諧力作用下，準零剛度系統的起始隔振頻率比在0.73 左右，而線性系統的起始隔振頻率比為，相比于線性隔振系統，準零剛度系統的起始隔振頻率比減小了50%左右，拓寬了隔振頻帶，實現了低頻隔振。