基于自適應FLANN的頻率不匹配應對方法

王枝鑫，劉 劍

（1.南京航空航天大學 自動化學院，南京 211106；2.南京航空航天大學 高速載運設施的無損檢測和監控技術工信部重點實驗室，南京 211106）

隨著現代社會的發展，噪聲污染日益嚴重。傳統的被動消聲裝置在應對低頻噪聲時造價昂貴，體積龐大，而主動噪聲控制（Active noise control，ANC）技術因其在抑制低頻噪聲方面的優越性而受到廣泛的關注[1－3]。ANC 是利用聲波的相消干涉原理，針對信號源（主波）產生一個與其幅值相同、相位相反的參考波（次波），兩聲波相互疊加，達到噪聲抑制的目的[13]。

在窄帶前饋ANC系統中，為避免聲反饋，往往采用非聲學傳感器（如轉速計、加速度計）獲取噪聲頻率進而產生參考信號[1]。由于元件老化或環境溫度的影響，所獲取的參考信號頻率與目標噪聲的真實頻率之間容易存在誤差，即產生了頻率不匹配（Frequency mismatch，FM）[4]。這種誤差只會嚴重降低窄帶前饋ANC 系統的降噪性能，即使只有1%的誤差存在，傳統窄帶ANC系統降噪性能也會急劇下降[5]。此外，初級噪聲信號的非平穩也是常見的且對系統噪聲抑制性能同樣有嚴重影響。如風扇、引擎和大規模切割機械等旋轉設備在進行換擋、變速等操作時，初級噪聲信號幅值和頻率會隨著時間的變化而變化，造成噪聲信號的非平穩，使得系統追蹤能力的穩定性降低[5]。

Xiao 等針對FM 問題，提出利用2 階自回歸（Autoregressive，AR）模型對參考信號進行建模，并通過最小均方（Least Mean Square，LMS）誤差算法更新模型參數[4,6]，通過參數的不斷調整，使得參考信號頻率逐步逼近真實信號頻率。該方法結構簡單，計算復雜度低，能夠應對一定程度的FM，但當頻率失調信號為非平穩信號時，該方法對頻率跟蹤能力下降[7]。常見的ANC系統均采用信號發生器產生參考信號，Ho 等[8]在不依賴于信號發生器的情況下設計了1種與自適應線性增強器相結合的窄帶ANC系統，此方法可應對20 Hz 以內的FM，為降低計算復雜度而只計算基波頻率，此種處理手段僅適用于基波和諧波頻率的處理。另外，變步長算法[9]也可用于應對一定程度的FM，但由于其步長不穩定，因而存在魯棒性較差的問題。實際上，通過對FM 的深入分析已知，控制濾波器權值或系統的均方誤差（Mean Square Error，MSE）是頻率不匹配量的非線性函數[10－11]。顯然，FM 問題可被視為1 種非線性失調，典型的用于應對非線性失調的非線性濾波器包括Volterra 濾波器[12]以及函數鏈人工神經網絡（Functional Link Artificial Neural Network，FLANN）[13－15]等。

本文基于AR模型對系統進行改進設計，提出1種基于自適應FLANN 的應對FM 的新系統。通過仿真，對新系統所能應對的FM 量以及引入非平穩初級噪聲時的性能進行分析。在對初級噪聲的非平穩進行建模過程中，充分考慮了頻率隨時間線性變化的情形。

1 傳統組合器型窄帶ANC系統

典型的組合器型窄帶ANC 系統如圖1 所示[1]，目標噪聲信號p(n)為：

圖1 傳統窄帶前饋ANC系統

其中：ωp,i為窄帶噪聲頻率的第i個頻率分量，q為頻率成分個數為離散傅里葉系數（DFC），vp(n)為加性環境噪聲，一般取均值為0、方差為的高斯白噪聲。

對于第i個頻率通道，按式(2)給出參考信號：

其中：ωi為根據非聲學傳感器（如轉速計等）獲得的由同步信號轉換而來的頻率值；ai和bi為幅值系數。第i個頻率通道次級信號yi(n)由相應參考信號經過系數為的線性組合器合成得到：

基于濾波-X 最小均方（FXLMS）算法的線性組合器系數更新方程為：

其中：μi為步長因子為濾波-X參考信號，由參考信號經過次級通道S(z)的估計而得，其表達式為：

式(8)中：M和分別為次級通道S(z)的長度和單位沖擊響應系數。

系統殘余噪聲信號e(n)通過式(10)計算得到：

則系統n時刻的MSE為e2(n)的期望，即：

對于自適應系統性能的仿真評價，通常在有限次（如40 次、100 次、200 次等）獨立計算機實驗后以e2(n)的集平均作為MSE(n)的估計，即：

其中：T為所進行的獨立計算機實驗次數，et(n)為根據第t次獨立計算機實驗計算得到的系統誤差。若以分貝值呈現，MSE(n)按式(13)計算：

本文中，取T=40。

當系統中存在FM，即Δωi=ωp,i-ωi≠0時，FM量定義為：

當系統中不存在FM時，圖1所示系統對窄帶噪聲具有良好的抑制效果。而當系統中僅有1%FM時，窄帶噪聲抑制性能將受很大制約[4]。

2 基于FLANN的窄帶ANC系統

1種簡單有效的應對FM的基本系統是采用2階AR 模型，由該模型產生參考信號[4,6]。在此基礎上，為進一步提高系統應對FM 的性能，本文設計了一種基于自適應FLANN 濾波器的窄帶ANC 系統，如圖2所示。

在圖2 所示系統中，2 階AR 模型用于在給定失真頻率初始值條件下自動跟蹤目標噪聲信號并產生參考信號xa(n)和xb(n)：

圖2 基于FLANN的單頻率通道窄帶ANC系統

其中：c(n)為AR 模型的自適應參數，其初始值為c(0)=c(1)=-2cos(ω)。

參考信號經過自適應FLANN 濾波器生成次級源信號y(n)，其由兩部分構成：

其中：

次級源信號y(n)經過次級通道S(z)輸出次級噪聲信號ys(n)，ys(n)與目標噪聲信號p(n)疊加相消，得到系統殘余噪聲e(n)：

濾波器權值wa(n)和wb(n)以及AR 模型自適應參數c(n)分別通過FXLMS 算法以及LMS 算法更新。經最速下降原則推導出這些參數的更新方程：

其中，μ和μc為相應更新步長因子。

3 仿真結果與分析

為了模擬實際聲學環境中窄帶噪聲的變化情況，在應對FM的仿真中，同時考慮了頻率非平穩情形，典型情形為頻率隨時間發生慢速或快速線性變化。

仿真中，次級通道S(z)被設定為截止頻率等于0.4π 的FIR 低通濾波器。利用離線LMS 算法對次級通道進行辨識得到其估計模型(z)[1－2]。研究表明，次級通道S(z)的辨識誤差對整個窄帶ANC系統的性能并不起決定性作用，且影響很有限[15]。因此，為簡便起見，(z)與S(z)的長度取為一致。

此外，用于產生初級噪聲信號及參考信號的基本參數設置如表1所示。當初級噪聲中的加性高斯白噪聲能量給定為0.01 時，在窄帶噪聲完全被抑制的理想情況下，系統穩態殘余噪聲能量為-20 dB。為驗證系統對不同FM 量的應對能力，考慮1%FM和5%FM兩種情形。

根據表1 的參數設置，若M==12，則S(z)和均為11 階的FIR 低通濾波器。當截止頻率為0.4π時，S(z)的單位沖擊響應系數為：

表1 用于產生初級噪聲信號及參考信號的基本參數設置

利用LMS 離線系統辨識方法對S(z)進行辨識可得到的單位沖擊響應系數與相同。

3.1 頻率恒定

噪聲頻率不隨時間而改變，取為200 Hz，即ωp=0.08π。對于兩種系統，步長均設為一致，即μ=μc=0.002。系統MSE變化曲線如圖3所示。顯然，針對不同%FM 情形，新系統均比僅有AR 模型的系統收斂要快，且穩態MSE 更小，新系統具有更理想的降噪效果。另一方面，隨著FM 的增加，根據穩態MSE可知，僅有AR模型的系統性能隨之下降，而新系統表現出很好的適應性，穩態MSE 均接近-20 dB。

圖3 頻率恒定時系統MSE變化曲線

3.2 頻率慢速變化

初級噪聲信號頻率按照式（26）慢速線性變化，其模型如圖4所示。

圖4 初級噪聲信號頻率變化曲線

仿真過程中，對于僅有AR 模型的系統，步長取μ=0.025，μc=0.000 5；而對于新系統，步長取μ=0.006，μc=0.000 4。系統MSE 變化曲線如圖5 所示。對于不同%FM，在獲取較小穩態MSE 基礎上，新系統收斂速度均遠快于僅有AR 模型的系統，表現出優異的收斂性能。圖5 顯示，在初級噪聲信號頻率緩慢變化階段，僅有AR 模型的系統不能快速跟蹤頻率的變化，而新系統卻能夠快速跟蹤頻率的變化。另一方面，對于僅有AR模型的系統，在步長因子取值相同條件下，1 %FM 對應的穩態MSE 要比5 %FM對應的穩態MSE稍大。

圖5 頻率慢速變化時系統MSE變化曲線

原因在于所選取的步長因子對于1%FM偏大，導致穩態MSE偏大。為了證實這一點，取μ=0.01，該系統至少需要15 s 才能收斂至穩態，而且穩態MSE 僅為-16.51 dB（圖5 上圖中為-14.74 dB）。當步長進一步取小，如取為與新系統中一致時，該系統在應對1%FM過程中，至少要超過40 s才能收斂至穩態，而且穩態 MSE 反而增大至-13.72 dB。我們知道，對于不存在FM的情形，取相對小的步長因子，雖然收斂速度減緩，但可以獲得更小的穩態MSE。大量仿真與分析顯示，當系統存在FM時，確保最小穩態MSE的最優步長因子與%FM的大小有很大關系[10－11]，基本規律是：隨著%FM 的增加，應適當增大步長因子。根據這個規律，能夠準確解釋在相同步長因子取值基礎上，圖5 下圖所示穩態MSE（-18.40 dB）比圖5上圖中的要小。而圖5所示由新系統所得穩態MSE卻相當，分別為-19.88 dB和-19.86 dB。綜上，針對初級噪聲信號頻率緩慢變化的非平穩情形，新系統在收斂性能上相較于AR模型有極大提升。整體上，新系統呈現出較好的頻率跟蹤性能，對%FM 波動適應性強，收斂速度快，降噪效果理想。

3.3 頻率快速變化

初級噪聲信號頻率快速線性變化模式及其曲線如式（27）和圖4所示[5]。

這里，在僅有AR模型的系統中，步長取μ=0.025，μc=0.000 5；在新系統中，步長取μ=0.007，μc=0.000 5。系統MSE 變化曲線如圖6 所示。圖中MSE 變化曲線顯示，當初級噪聲信號頻率相對較快變化時，兩種系統均需要更長的時間跟蹤頻率，收斂至穩態。同時，新系統能夠在取較小步長值的條件下，仍然保持較快的收斂速度，并且穩態誤差較小。

圖6 頻率快速變化時系統MSE變化曲線

進一步仿真顯示，隨著%FM 的增加，在與圖5相同步長前提下，新系統仍然能夠表現出極好適應性，如圖7 所示。即使%FM 高達25%，新系統在應對頻率慢速和快速變化時，穩態MSE 分別能夠達到-19.81 dB和-19.98 dB。另一方面，隨著頻率通道增加，新系統在噪聲抑制及FM 應對方面均有更加明顯的優勢，這可以從圖8所示3頻率通道（200 Hz、400 Hz、600 Hz）情形仿真結果明顯看出。多頻率通道仿真基本參數設置如表2 所示，其余參數設置與表1中的相應參數設置一致。

圖8 多個恒定頻率通道條件下系統MSE變化曲線

表2 多頻率通道情形仿真基本參數設置

圖7 25%FM時系統MSE變化曲線

最后，對FLANN 濾波器長度的取值進行討論。在僅有AR 模型的窄帶ANC 系統基礎上，使用FLANN 結構會在一定程度上增加計算量。對于一個頻率通道，每次迭代增加的計算量中，乘法增加了6(N-1)次，加法增加了2(N-1)次。

以圖7 所示的仿真條件為例，取不同的N，得到如圖9所示的仿真結果。顯然，當N的取值較小時，系統收斂速度受到了限制，反之當N的取值過大時，不僅收斂速度并沒有得到明顯的提升，還增加了計算量。因此，取得合適的N值，在保證系統收斂速度較快的同時，并未帶來過多額外的計算量。

圖9 不同N取值下頻率慢速變化時系統MSE變化曲線

4 結語

本文主要針對非平穩FM 問題，設計了基于自適應FLANN 濾波器的窄帶ANC 系統并與僅含2 階AR模型的系統進行比較。理論和仿真結果表明，新系統在同時存在較大FM 量和頻率非平穩情況下，能夠有效抑制窄帶噪聲，驗證了所設計系統在應對窄帶ANC系統中FM問題的有效性。在設置的仿真條件下，其性能均優于僅含2 階AR 模型的系統，尤其是當頻率時變且存在較大FM 量時采用僅含2 階AR模型的系統已經無法取得理想降噪效果，而新系統仍然表現出極佳的降噪性能和收斂速度。