兩類最優零相關區非周期互補序列集的構造

崔 莉 許成謙

①(燕山大學信息科學與工程學院 秦皇島 066004)

②(河北科技師范學院數學與信息科技學院 秦皇島 066004)

1 引言

互補對序列又稱為格雷(Golay)序列，最早由Golay[1]提出，不同于傳統通信系統中的單碼，如m序列，它由兩個序列構成，且兩個序列的自相關函數之和在零時延之外處處為0。Tseng等人[2]將互補對的概念推廣為互補序列集。在多載波碼分多址(Multi-Carrier Code Division Multiple Access,MC-CDMA)通信系統中，將互補序列集中的各個子集作為地址碼，通過為不同用戶分配不同的地址碼的方式來區分用戶，子載波將子集內的序列調制發送，接收端再將載波信號恢復成用戶信號，因此互補序列集具有重要的應用價值。然而由于參數理論界的限制，互補序列集的大小不能超過子集內序列的數目，這大大限制了通信系統可支持的用戶數目。為擴展互補序列集的大小，學者把零相關區(Zero Correlation Zone, ZCZ)的概念引入到互補序列集中，Fan等人[3]首先提出了零相關區非周期互補序列集 (ZCZ Aperiodic Complementary Sequence Sets, ZACSS)的概念。與傳統互補序列集相比，零相關區互補序列集的大小不受子集內序列數目的限制，因此可以支持更多用戶同時入網。從序列的相關函數定義來看，零相關區互補序列集分為ZCZ周期互補序列集 (ZCZ Periodic Complementary Sequence Sets, ZPCSS)與ZACSS，然而非周期互補序列集設計難度更大，因此目前主要研究成果是零相關區周期互補序列集[4–9]。

相比ZPCSS，ZACSS更貼近應用實際，因此研究參數達到理論界[3]的最優ZACSS成為序列設計領域研究的熱點問題之一。文獻[10–12]均以正交矩陣為基礎，構造了參數最優的零相關區非周期互補序列集。文獻[10]構造的非周期組間互補 (Inter-Group Complementary, IGC)序列集是一類特殊的ZACSS，它由多組ZACSS構成，不同組的序列集完全互補。然而，組內ZACSS的大小與子集內序列的數目相同，與傳統互補序列集的理論界限制相同。文獻[11]提出了基于有限域G F(p)和G F(pn)的構造方法，ZCZ長度可以靈活選擇，但正交矩陣的階數與ZCZ長度的比值被限定為素數p或pn。文獻[12]的構造過程中，在設定了ZCZ長度和正交矩陣的階數后，只能通過選擇不同的正交矩陣來構造不同的ZACSS。文獻[13,14]構造的ZACSS參數的性能取決于初始序列。文獻[15]提出了4元ZCZ非周期互補序列集的概念，并給出了構造方法。文獻[16]通過對傳統的非周期完備互補序列集的迭代，構造了組內互補 (Intra-Group Complementary, IaGC) 序列集，每組序列集具有理想的相關互補性，而組間序列集的ZCZ長度被限定為2的整數次冪，且參數不具有理想互相關互補特性。利用布爾函數，文獻[17,18]構造了2元ZACSS，所有參數都被限定為2的整數次冪的倍數。文獻[18]提出的3種構造方法中，兩種構造方法得到的ZACSS均不是最優的，另一種構造方法在限定條件下參數可以達到理論界。文獻[19]將序列長度為奇數的2元非周期ZCZ互補偶作為基序列，構造了一類序列長度 (N=2α10β26γ+1,α,β,γ均為整數) 為奇數的2元最優ZACSS。由此可見，文獻[13–18]構造的ZACSS參數的性能受到初始序列集或不同條件的限制。

本文基于正交矩陣利用矩陣變換的方法，構造了兩類參數均能達到理論界的最優零相關區非周期互補序列集，且零相關區長度可以靈活選擇。進而豐富了最優零相關區非周期互補序列集的研究成果，為多載波碼分多址系統的應用提供了理論依據。

2 基本概念

當等號成立時，稱該序列集的參數達到理論界，是最優ZCZ非周期互補序列集。

3 基于正交矩陣構造ZCZ非周期互補序列集

3.1 構造方法1

3.2 構造方法2

4 零相關區非周期互補序列集構造方法的比較及參數分析

表1對已有參考文獻和本文所提ZACSS的多種不同構造方法從構造基礎、構造結果參數，是否達到最優及ZCZ長度等幾個方面進行了比對。文獻[13]將2元ZCZ非周期互補序列集作為初始序列，通過表1可見，構造結果的參數與初始序列相同，因而參數的性能取決于初始序列。文獻[16]將完備序列集經過n次迭代，構造了 2n個組內最優的互補序列集，組間的序列集的ZCZ長度被限定為2的整數次冪，不能靈活選擇。文獻[19]基于Hadamard矩陣和長度為奇數的最佳2元ZCZ互補序列偶，構造的2元ZACSS序列長度被限定為奇數，且ZCZ長度取決于初始互補序列偶。文獻[10,11,14]均為正交矩陣為基序列，相對于完備互補序列集與已有的ZACSS，利用正交矩陣的多樣性可以構造出更加豐富的ZACSS，而且受限更小。文獻[10]構造了組間互補序列集，然而組內包含的序列集的個數、序列集內序列的數目以及序列的長度均為N，由于在MCCDMA系統中，序列需要子載波傳輸，因此，序列長度以及序列的數目受到了CDMA資源的限制。文獻[11]基于有限域 G F(p)和G F(pn)構造了最優的ZACSS，零相關區的長度相對較靈活，然而正交矩陣的階數與ZCZ長度Z的比值被限定為素數p和pn。文獻[14]以非周期互補序列集為初始序列，當初始序列為完備互補序列集，即M=N時，構造的ZACSS的參數達到理論界。

表1 ZACSS構造方法的比較

本文以正交矩陣為基序列，除此之外在構造過程中還增加了多個靈活多變的初始矩陣，相對于文獻[12]只能利用不同的正交序列集，具有更多的可選擇因素，因此可以構造出更多最優ZACSS。為了增加保密性，可利用偽隨機序列，如m序列發生器的狀態序列來設計生成初始矩陣。另外，通過構造方法1還可以得到多組ZACSS，不僅組內達到最優，而且不同組的序列集具有長度為Z的零相關區。在參數靈活性方面，由于正交矩陣的階可以為任何正整數，因此在正交矩陣的階數可以被Z整除的條件下，零相關區長度Z可以靈活選擇，從而滿足CDMA系統中對不同同步時延的要求。

5 結束語

本文首先利用矩陣變換，通過正交矩陣構造了一類參數最優的零相關區非周期互補序列集，零相關區長度可以靈活選擇。在此基礎上進一步分組，構造了多個組內完全互補的序列集，不同組的序列集具有長度為Z的零相關區，可以幫助解決多小區間的干擾問題。此外，本文還利用不同的矩陣變換方式，構造了另外一類零相關區非周期互補序列集，參數也達到了理論界，且零相關區長度可以靈活選擇。