基于灰色關聯度和靶心距的多屬性決策模型及其應用

劉解放，楊蓉蓉

（天津職業技術師范大學經濟與管理學院，天津 300222）

在實際生產生活中，人們經常會面對決策問題，決策問題大都帶有多屬性的特征，因此多屬性決策問題求解方法成為了研究的熱點[1-12]。求解多屬性決策問題，經常使用TOPSIS（technique for order preference）方法，該方法利用備擇方案與理想方案之間的距離作為依據，距離越小，則說明備擇方案與理想方案越接近，備擇方案越好。近年來，隨著研究的深入，有學者構造了負理想方案，決策時同時考慮備擇方案與負理想方案之間的距離，距離越大，則說明備擇方案與理想方案越接近，備擇方案越優，從而可以同時考慮備擇方案與正負理想方案之間的距離，該方法更加有效地利用了備擇方案隱含的有效信息。但是，TOPSIS方法僅從距離的角度考慮決策方案的優劣，無法體現備擇方案與理想方案之間的幾何相似性。

灰色關聯算法從序列的幾何相似程度上考慮備擇方案的優劣，備擇方案與理想方案在幾何上越相似，灰色關聯度越大，則備擇方案越優。蔣詩泉等[13]基于矩估計理論構建了一般灰數的灰色關聯決策模型；劉勇等[14]針對屬性值為區間直覺模糊數且屬性權重未知的一類決策問題，構建了一種動態區間直覺模糊數多屬性決策方法；劉中俠等[15]針對指標值為區間灰數且權重屬性部分已知、部分未知的決策問題，提出一種新的決策方法；蔣詩泉等[16]構建了新的灰色關聯度公式；鄧聚龍教授[17]提出灰靶決策方法，構建了一個球形灰靶，以最優方案為靶心，以靶心距的大小作為衡量方案好壞的依據，近年來得到了廣泛的應用。劉小弟等[18]構建了基于多維關聯抽樣的區間數灰靶決策模型；羅黨[19]考慮實際決策環境的不確定性和復雜性，提出一種新的灰靶決策模型；郭三黨等[20]考慮了決策者的心理行為，提出一種基于后悔理論的多目標灰靶決策方法?，F有的研究大都從距離的角度或者幾何相似性的角度考慮備擇方案的優劣，針對方案信息為區間數的情形，從這個方面考慮的文獻還比較少見?；诖?，本文提出了基于灰色關聯度和靶心距的多屬性決策模型，給出了模型的建模步驟和計算方法，通過實例驗證了該方法的有效性和實用性。

1 基于灰色關聯度的多屬性決策模型

1.1 區間數的距離與區間數的加權關聯度

定義1設A=[aL，aU]，aL≤aU，B=[bL，bU]，bL≤bU，為2個區間數，稱D（a，b）為區間數A與B之間的距離。

定義2設系統行為區間數序列為

系統行為區間數序列X（0），X（1），…，X（m）的權重向量為（ω0，ω1，…，ωm），稱ξ0i（k）為X（0）與X（i）在k時刻的加權關聯系數。

式中：D0i（k）為（x0L（k），x0U（k））與（xiL（k），xiU（k））之間的加權距離；ρ為分辨系數，ρ∈[0，1]。

定義3稱γ0i為區間數X（0）與X（i）的加權灰色關聯度。

1.2 基于區間數的多指標灰色關聯決策模型

假設要評價的對象為A1，A2，…，Am，評價指標為C1，C2，…，Cn，則稱決策方案集為{A1，A2，…，Am}，評價指標集為{C1，C2，…，Cn}；方案Ai對指標Cj的屬性值為區間數[xijL，xijU]，i=（1，…，m），j=（1，…，n）。則評價方案集對評價指標集的決策矩陣為

1.2.1 決策矩陣的規范化處理

為了消除指標的量綱，對數據進行規范化處理。

定義4設X=（[xL（1），xU（1）]，[xL（2），xU（2）]，…，[xL（n），xU（n）]）為區間數向量，則稱‖X‖max=max（|xL（1）|，|xU（1）|，|xL（2）|，|xU（2）|，…，|xL（n）|，|xU（n）|）為區間數向量的極大范數；稱‖X‖min=min|xL（1）|，|xU（1）|，|xL（2）|，|xU（2）|，…，|xL（n）|，|xU（n）|）為區間數向量的極小范數；則對區間數指標做如下規范化處理

若Aj為效益型指標，則

若Aj為成本型指標，則

從而得到規范化決策矩陣

很明顯，rijL，rijU∈[0，1]，i=（1，…，m），j=（1，…，n）。

1.2.2 灰色關聯決策分析

經過規范化處理的決策矩陣X，已經消除了量綱，且均已經轉化為效益型的變量，即“越大越好”。因此，只需選取區間數中最大的變量作為理想變量，選取區間數中最小的變量作為負理想變量。

定義5設ri0j=[ri0jL，ri0jU]=[max（rijL，1≤i≤m），max（rijU，1≤i≤m）]，稱

S+=ri0j={[ri01L，ri01U]，[ri02L，ri02U]，…，[ri0nL，ri0nU]}為區間數正理想方案。

定義6設ri0j=[ri0jL，ri0jU]=[min（rijL，1≤i≤m），min（rijU，1≤i≤m）]，稱

S-=ri0j={[ri01L，ri01U]，[ri02L，ri02U]，…，[ri0nL，ri0nU]}為區間數負理想方案。

由式（3）可計算得到，方案Ai與S+關于指標Cj的區間數加權關聯系數ξij+（k），進而求得區間數X（0）與S+的加權灰色關聯方案Ai與S-關于指標Cj的區間數加權關聯系數ξij-（k），進而求得區間數X（0）與S-的加權灰色關聯度為

評價方案的優劣，不僅要考慮備擇方案與正理想方案的接近程度，還要考慮備擇方案與負理想方案的遠離程度。假設設計方案Ai以關聯度pi從屬于S+，那么，Ai即以1-pi從屬于S-。定義求解綜合關聯度pi的方法為

pi越大，設計方案Ai越好。

2 基于正負靶心的灰靶決策模型

灰靶決策的基本思想是在一組序列中，找出最靠近目標值的序列，稱為靶心，各序列與靶心的距離稱為靶心距，靶心距越小，則該序列越接近目標值。依據該思想可以將最劣方案定義為負靶心，將各方案與負靶心的距離定義為負靶心距，同時考慮正負靶心距對方案進行決策分析。

定義7設xj+=max{（xijL+xijU）/2|1≤i≤m|}（j=1，2，…，n），稱Xj+={x1+，x2+，…，xn+}={[x1L++x1U+]，[x2L++x2U+]，…，[xnL++xnU+]}為正靶心。

定義8設xj-=min{（xijL+xijU）/2|1≤i≤m|}（j=1，2，…，n），稱

Xj-={x1-，x2-，…，xn-}={[x1L-+x1U-]，[x2L-+x2U-]，…，[xnL-+xnU-]}為負靶心。

記方案A（i）=（[xiL（1），xiU（1）]，[xiL（2），xiU（2）]，…，[xiL（n），xiU（n）]）的正靶心距為

負靶心距為

假設設計方案Ai與正靶心的貼近度為qi，則Ai與負靶心的貼近度為1-qi。為了確定綜合貼近度qi，定義如下求解qi，為

qi越大，設計方案Ai越好。

3 綜合考慮灰色關聯度和靶心距的決策模型

灰色關聯度可以從幾何形狀上描述方案Ai與理想方案的相似性，而靶心距可以從距離尺度上描述方案Ai與靶心的接近性，二者互相補充，可以更好地描述方案Ai的優劣，本文將關聯度和靶心距相結合，構造出一種新的多屬性決策模型，具體算法如下：

（1）確定方案集{A1，A2，…，Am}，評價指標集{C1，C2，…，Cn}以及各指標的權重向量（ω0，ω1，…，ωm），求得方案集A對指標集C的決策矩陣X。

（2）對決策矩陣X進行規范化處理，結合權重，得到規范化決策矩陣R。

（3）確定正負理想方案S+和S-正負靶心Xj+、Xj-。

（4）計算備擇方案Ai與正理想方案的關聯度γi+，與負理想方案的關聯度γi-。

（5）計算備擇方案與正靶心的距離di+，與負靶心的距離di-。

（6）計算Ai的綜合關聯度pi，求得綜合貼近度qi。

（7）計算方案Ai的綜合優屬度fi

其中，α反映了決策者對于形狀相似性的偏愛程度。

（8）按照綜合優屬度的大小對方案進行排序。綜合優屬度越大，方案越優；綜合優屬度越小，方案越劣。

4 應用舉例

某投資銀行欲對本市4家企業A1、A2、A3、A4進行投資，為了對不同的企業進行評估，選取4項指標進行投資決策。指標C1為投資凈產值率，C2為投資利稅率，C3為內部收益率，C4為環境污染程度。

區間數決策矩陣如表1所示。其中，指標A1、A2、A3為效益型指標，A4為成本型指標。各指標的權重設為（0.2，0.2，0.35，0.25）。

表1 區間數決策矩陣

（1）根據問題描述，可得方案集A={A1，A2，A3，A4}，指標集C={C1，C2，C3，C4}，方案集A對指標集C的決策矩陣X

（2）計算加權規范化決策矩陣R

（3）分別確定正負理想方案S+、S-

（4）計算方案Ai與正理想方案的關聯度γi+，Ai與負理想方案的關聯度γi-，得到方案Ai與正理想方案的關聯系數矩陣

因此，方案Ai與正理想方案的關聯度γi+=[0.498 7，0.696 4，0.716 9，0.583 2]。

方案Ai與負理想方案的關聯系數矩陣

那么，方案Ai與負理想方案的關聯度γi-=[0.7052，0.685 2，0.579 0，0.547 9]。

（5）確定正負靶心Xj+、Xj-

（6）計算方案Ai與正靶心的距離di+，與負靶心的距離di-

根據式（5），得到綜合關聯度pi=[0.333 4，0.508 0，0.605 2，0.531 2]；根據式（6），得到綜合貼近度qi=[0.173 4，0.539 4，0.645 8，0.493 0]。

（7）計算方案Ai的綜合優屬度fi=αpi+（1-α）qi，fi=[0.253 4，0.523 7，0.625 5，0.512 1]

其中，為了平衡考慮決策者對于幾何形狀相似性和距離接近相似性的偏好程度，此處取α=0.5。

（8）按照綜合優屬度的大小對方案進行排序，從計算結果可以得到：f3＞f2＞f4＞f1，則A3?A2?A4?A1，那么方案A3為最優方案。若α取不同的值，會得到不同的排序結果，不同偏好下排序結果對比如表2所示。

表2 不同偏好下排序結果對比

5 結語

針對指標值為區間數的多屬性決策問題，建立了基于灰色關聯度和靶心距的決策模型，首先計算正負理想方案和正負靶心，然后分別計算方案Ai的綜合優屬度和綜合貼近度，最終計算得到方案Ai的綜合優屬度，按照綜合優屬度的大小對方案進行排序，綜合優屬度越大，方案越優；綜合優屬度越小，方案越劣。新模型綜合考慮了備擇方案和理想方案在幾何形狀和距離上的接近性，可以有效彌補灰色關聯決策模型和灰靶決策模型的不足。該方法的物理意義明確，操作簡便，分析問題更加客觀，為指標值為區間數的多屬性決策問題的解決提供了一種新的方法。