未知死區時滯系統的新型動態面漸近跟蹤控制

鄭 賢， 劉 燁

(上海工程技術大學，上海 201000)

0 引言

死區和時滯是機器人、航空航天和超精細加工等領域面臨的基本問題。隨著科技的發展，死區非線性時滯系統的控制器設計受到了廣泛關注。死區和時滯會導致系統性能下降甚至不穩定，所以對于死區非線性時滯系統的研究具有重要意義。在非線性時滯項滿足一定假設的前提下，自適應反推法是處理非線性時滯系統的有效策略，目前被廣泛應用[1-6]。傳統的反推法需要對虛擬控制律反復進行微分，使得控制器的設>計變得復雜，增加計算負擔。為解決這一問題，動態面控制技術[7-8]被開發出來,該技術令虛擬控制律通過低通濾波器，避免反復微分，從而解決“微分爆炸”問題。但是低通濾波器的引入會產生邊界層誤差，從而使得系統跟蹤誤差增大。隨著研究的深入，利用神經網絡和模糊系統設計的控制方案也不斷被提出[9-13]。受文獻[14]的啟發，在文獻[15-16]中，集成神經網絡的動態面控制技術可以取消非線性時滯項的假設條件，但邊界層誤差依舊存在，然而，文獻[14-16]并沒有考慮死區輸入的非線性問題。

死區輸入非線性是非光滑函數且對較小的輸入信號不靈敏，在一定范圍內沒有輸出。在文獻[17]中采用了死區逆來補償死區的影響，但是死區逆的設計比較復雜，不利于實際工程中控制器設計；為了簡化控制器的設計，在文獻[18]中提出了一個簡化的死區模型，該模型為一條直線和類干擾項的組合，此后很多研究都是基于這個簡化的死區模型提出的[19-23]；在文獻[19,24]研究中，取消了斜率的最小值限制；文獻[25]利用擴張狀態觀測器來處理死區非線性項問題。但是這些文獻跟蹤誤差只收斂到零的任意小的鄰域內。

綜上所述，盡管關于死區非線性時滯系統的研究已經取得了一定進展，但設計出使系統跟蹤誤差漸近收斂到零的控制器仍具有挑戰性，其難點在于邊界層誤差、死區未知參數及神經網絡誤差的處理。

本文考慮死區輸入的影響，研究一類非線性時滯系統的自適應控制問題。通過徑向基神經網絡逼近系統中非線性時滯項，并對神經網絡誤差及死區模型的未知參數進行在線估計。在此基礎上，設計含有正時變積分函數非線性濾波器的控制器。所設計的控制器可以有效地消除未知死區給系統造成的不良影響，確保整個非線性時滯閉環系統的所有信號半全局一致有界，且跟蹤誤差能在理論上收斂到零。

1 問題描述和假設

考慮如下具有未知非對稱死區輸入的非線性時滯系統

(1)

(2)

式中:mr(u)和ml(u)為對應區間的映射關系，均為光滑函數；u-,u+為未知正常數。

本文的控制目標在于通過設計的控制器，保證系統的所有信號在閉環系統內半全局有界，且跟蹤誤差能收斂到零。

假設 2 存在未知正常數ml0，ml1，mr0，mr1滿足如下關系

(3)

則該死區模型可表示為

N(u)=mu+d

(4)

式中:

(5)

(6)

且β≤min{ml0,mr0}為已知正常數,|d|≤D，D=max{mr1,ml1}為未知正常數。

引理1對于任意的常數ε>0，z∈R，

(7)

成立。

引理2對于任意的非線性連續未知函數F(Z)，其中,Z∈ΩZ?Rq，存在神經網絡W*TS(Z),即

F(Z)=W*TS(Z)+E(Z)

(8)

2 控制器設計

首先，定義系統式(1)的位置跟蹤誤差

(9)

根據反推控制方法設計如下。

1) 步驟1。

對式(9)中z1求導可得

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

設計Lyapunov函數

(15)

根據引理1可得

(16)

對式(15)求導，并將式(11)～(14)、式(16)代入求導后的式(15)可得

(17)

為了避免“微分爆炸”和消除邊界層誤差，令α1通過新設計的濾波器得α1d，形式如下

(18)

(19)

式中，σ1，σ2為任意正常數。

2) 步驟i。

對式(9)中zi求導可得

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

設計Lyapunov函數

(25)

對式(25)求導并代入式(21)～(24)可得

(26)

令虛擬控制律αi通過新設計的濾波器式(18)可得αid。

3) 步驟n。

對式(9)中zn求導可得

(27)

(28)

式中，

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

設計Lyapunov函數

(34)

對式(34)求導并代入式(28)～(33)可得

(35)

3 穩定性分析

對邊界層誤差ei=αid-αi微分得到

(36)

式中，Bi(·)是連續函數。

設計Lyapunov函數

(37)

式中:μi(i=1,…，n-1)是正設計參數。

定理1考慮一類包含式(1)的系統，利用虛擬控制律式(11)、式(21)、非線性濾波器式(18)、系統自適應律式(14)、式(22)～(24)、式(30)～(33)和實際控制律式(29)，滿足假設1、假設2，對于任意的初始條件V(0)≤p，其中，p是給定正常數，存在設計參數ki，γi，Λi，ηi，λ使得閉環系統所有信號是半全局一致有界的，且系統跟蹤誤差y-yr漸近收斂到零。

證明 定義有界緊集

(38)

Ω2={V(t)≤ρ}

(39)

對式(37)求導得

(40)

根據引理1得

(41)

(42)

將式(41)、式(42)代入式(40)可得

(43)

對式(43)兩邊在時間[0,t]內求積分可得

(44)

(45)

根據Barbalat引理，考慮式(45)可得

(46)

這表明跟蹤誤差可以漸近收斂到零。

4 仿真分析

考慮以下死區非線性時滯系統

(47)

仿真結果如圖1～3所示，圖1表明本文的控制算法具有良好的跟蹤性能，圖2表明跟蹤誤差收斂到零的鄰域內，圖3表明控制器u有界。

圖1 系統輸出y與期望軌跡yrFig.1 System output y and expected trajectory yr

圖2 跟蹤誤差z1Fig.2 Tracking error z1

圖3 控制器uFig.3 Controller u

5 結論

本文研究了一類死區非線性時滯系統的控制問題，在自適應反推控制理論基礎上，基于徑向基神經網絡和新型動態面技術設計控制器，該算法不僅能避免“微分爆炸”，還能有效消除邊界層誤差。除此以外，死區特性問題和神經網絡誤差可利用不等式轉化為未知項并應用自適應技術進行在線估計。本文設計的控制器能夠保證系統的跟蹤誤差漸近收斂到零，所提出神經網絡動態面控制算法為系統跟蹤誤差收斂到零提供一種新的思路。