改進灰色理論模型在隧道施工控制中的應用

陳 卓，張宏光，何 俊，晏長根

(長安大學 公路學院，陜西 西安 710061)

0 引言

隨著公路工程建設在我國的不斷發展，隧道作為穿山越嶺的主要構造物得到了長足發展[1]。新奧法作為隧道施工的主要方法，監控量測是其中不可或缺的一環[2]。隧道開挖破壞了開挖面附近的原始應力平衡狀態，引起洞周各點產生位移，周圍巖體的應力重新平衡。對于穿越斷層破碎帶或富水帶等不良地質段的隧道，盲目開挖將造成塌方、涌水、涌泥等災害，此時圍巖變形預測直接影響施工安全和決策。因此，利用已監測的圍巖位移值建立數學模型對隧道圍巖變形發展趨勢進行預測，及時了解掌握圍巖的變形規律，已成為隧道工程施工中確保安全和施工質量的關鍵且重要的工作[3-4]。

目前，用于隧道圍巖變形預測的數學模型主要有回歸分析[5]、時間序列分析[6-7]、BP神經網絡[8-11]、灰色預測模型等。每種變形預測模型各有優劣，回歸分析適用于小波動、趨勢明顯的序列；時間序列分析和神經網絡模型則需要大量的原始序列樣本，難以預測少信息數據。由于隧道位移監測信息只是圍巖變形過程中的部分信息，屬于少信息、貧信息的位移序列，采用灰色預測模型可避免相關位移序列信息不足的缺陷，灰色預測模型已被證明是一種簡單、快速、有效的隧道位移時序預測方法。但是隧道圍巖變形趨勢和力學行為具有隨機性和不確定性，導致傳統灰色預測模型的相對誤差較大、精度降低，因此需要對傳統灰色預測模型進行分析優化。目前對于傳統GM(1，1)模型的優化改進主要體現于原始序列和邊界條件優化[12-14]、背景值優化[15-16]、模型參數優化[17-18]、與其它算法結合優化[19-21]。這些優化方法在一定程度上提升了模型預測精度，但其大多單一地對原始序列進行平移、指數、對數變換等預處理來改善序列的光滑性，缺乏理論依據，對模型預測精度的提升有限。

為減小圍巖變形序列中奇異點和數據不穩定對模型精度的影響，減小傳統灰色預測模型的預測誤差，提高灰色預測模型的有效性和適用性。本文以灰色預測理論為基礎，對傳統GM(1，1)模型背景值的求解方法進行改進，并結合最小相對誤差平方和準則，優化得到一種精度高穩定性好的隧道圍巖變形預測灰色模型[NCBC-GM(1，1)]。以阿爾金山隧道圍巖變形實測值作為原始序列，建立基于背景值構造誤差和最小相對誤差平方和準則優化的灰色預測模型，并與傳統GM(1，1)模型和基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型[22]的預測結果進行對比分析，結果證明了本文提出的NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的可靠性和有效性。

1 灰色系統理論

1.1 灰色預測原理

灰色預測系統是一種信息半揭露的系統，即系統信息不明晰、邏輯結構不明了、系統理論不確定?；疑到y以結果信息包容消化一切為核心，科學揭示系統內部各事物間更深刻的廣泛聯系，實現對系統運動規律、行為邏輯的有效追蹤?；疑到y理論就是通過強化原始序列數據的規律性，從系統結構上、建模機制上使系統白度逐漸增加，從表象離亂的數據中，挖掘利用內在邏輯，增強序列規律的確定性，進而在不充分條件中建立廣義的因果邏輯?；疑Ｐ屯負浣Y構如圖1所示。

圖1 灰色模型拓撲結構

1.2 灰色理論GM(1，1)模型

GM(1，1)模型的白化方程為：

(1)

Y=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)]T

(2)

2 GM(1，1)優化模型的構建

傳統GM(1，1)預測模型是基于齊次指數序列推導而來，適用于數據少、波動小的時間序列；但隧道圍巖變形原始序列具有波動性和復雜性，地質條件和施工作業等因素導致變形影響因子難以量化，并非齊次指數序列[23]，故傳統GM(1，1)模型對隧道圍巖變形的預測效果有一定的偏差。本文以灰色預測理論為基礎，對傳統GM(1，1)預測模型背景值的求解方法進行改進，并結合最小相對誤差平方和準則，優化得到一種預測精度更高的隧道圍巖變形預測灰色模型[NCBC-GM(1，1)]，如圖2所示。

圖2 NCBC-GM(1，1)模型建模流程

2.1 GM(1，1)模型背景值的優化

傳統GM(1，1)灰色模型的背景值構造通常采用公式：

(3)

(4)

(t-k+1)(t-k-1)…(t-n)

(5)

k=2，3，…，n-1

(6)

以k-1、k、k+1、k+2作為插值節點，構造三次牛頓插值多項式，則x(1)(t)的三次牛頓插值多項式為

N3(t)=x(1)(k-1)+x(1)[k-1，k](t-k+1)+

x(1)[k-1，k，k+1](t-k+1)(t-k)+

x(1)[k-1，k，k+1，k+2](t-k+1)(t-k)×

(t-k-1)，k=2，3，…n

(7)

2.2 GM(1，1)模型邊界優化

ce-β1t-ce-β1(t-1)=ce-β1t(1-eβ1)

(8)

采用最小二乘法，并依據相對誤差平方和最小準則求解參數c：

(9)

令：

(10)

令:

(11)

3 工程實例分析

3.1 工程概況

柳格國高阿爾金山隧道地處甘肅省阿克塞哈薩克族自治縣西南部，地質鉆探資料表明阿爾金山隧道地質結構復雜，節理裂隙較發育，對隧道圍巖的整體穩定性有較大影響。隧道采用雙洞分離式設計，單洞長7 527 m，隧底海拔約3 500 m，最大埋深530 m，屬高寒高海拔特長石質隧道。其間隧道穿越斷層破碎帶和富水帶，隧道掘進中極易發生坍塌、涌水、涌泥等災害(見圖3)。為保證隧道施工建設的安全和質量，在隧道建設全過程中實施了多項監測措施，主要有周邊收斂、拱頂下沉、地表沉降、支護內力、圍巖壓力等。以隧道監控量測實測數據為原始序列對圍巖變形序列進行預測。由監測數據分析得出，同一斷面圍巖周邊收斂與拱頂下沉變形規律基本相似，本次選用典型斷面ZK288+730對連續20 d的收斂數據進行擬合和預測。

圖3 隧道災害

基于灰色預測模型特征，隧道圍巖收斂變形原始數據被劃分為前16 d的擬合集和最后4 d的檢測集。為體現NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的優化作用，以及NCBC-GM(1，1)灰色預測模型對隧道圍巖收斂變形數據的預測效果，本次選取采用相同數據樣本建模的傳統GM(1，1)預測模型和基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型的預測結果，并與NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的預測結果對比分析。

3.2 結果分析

3.2.1模型優化結果分析

為表述方便，規定模型1：傳統GM(1，1)預測模型；模型2：基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型；模型3：NCBC-GM(1，1)灰色預測模型。圖4、圖5分別為預測結果曲線和相對誤差曲線。

從圖4、圖5中可以發現，在相同原始數據樣本下，隧道圍巖變形實測值的發展趨勢與3種預測模型的圍巖變形預測值變化趨勢基本一致，由于下導開挖，變形趨勢由緩慢增長階段過渡到急劇增長階段。隧道圍巖變形初期預測值較變形實測值存在一定偏差，模型1和模型2的相對誤差變化曲線在變形預測初期有略大波動，NCBC-GM(1，1)模型在變形預測初期的相對誤差表現較好，由于模型1和模型2依據新信息優先準則，取x(1)(n)為邊界條件建模，而NCBC-GM(1，1)預測模型依據相對誤差平方和最小準則減小了前期誤差。由于圍巖變形實測值受到各種外界因素的影響，經由NCBC-GM(1，1)預測模型計算得到個別變形預測值與實測值存在一定偏差，但NCBC-GM(1，1)預測模型整體擬合度較好，NCBC-GM(1，1)模型圍巖變形預測值的相對誤差優于另外兩種預測模型。

圖4 周邊收斂位移灰色預測結果曲線

圖5 周邊收斂位移灰色預測相對誤差曲線

為直觀反映各模型的預測效果，采用殘差(RE)、平均相對誤差(MRE)和均方根誤差(RMSE)作為模型預測精度評定指標進行評價，各模型預測精度評定如表1所示。

表1 不同預測模型預測結果和預測誤差比較Table1 Comparison of prediction results and prediction errors of different prediction models時間/d模型1模型2模型3殘差/mm相對誤差/%殘差/mm相對誤差/%殘差/mm相對誤差/%17-0.67-2.14-0.30-0.95-0.19-0.61 18-2.73-8.15-0.30-0.89-0.16-0.4719-3.30-9.17-0.32-0.89-0.14-0.40 20-3.63-9.48-0.05-0.12 0.17 0.46 RMSE/mm 2.83— 0.27— 0.17—MRE/%— 7.24— 0.71— 0.48

由表1可知，傳統GM(1，1)模型預測精度低、預測值相對誤差波動大，不適于實際工程的變形預測；基于背景值構造優化的GM(1，1)模型的預測精度較傳統GM(1，1)預測模型優化明顯，但略遜于NCBC-GM(1，1)灰色預測模型；NCBC-GM(1，1)預測模型與傳統GM(1，1)模型和基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型相比，精度評定指標最優，其中均方根誤差分別減小2.66、0.10 mm，平均相對誤差分別減小6.76%、0.23%，證明NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的精度和穩定性得到明顯的改善，達到了模型優化的目的。

3.2.2模型預測精度分析

為避免單一隧道斷面的圍巖收斂數據樣本過于單薄，導致擬合和預測分析結果不具代表性，NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的有效性有待進一步驗證。故結合施工進度安排，進一步采用相同擬合集和預測集時間的ZK288+730、Yk288+690、Yk288+810、Zk288+925共4個斷面的圍巖收斂變形數據建立預測模型。為進一步驗證NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的隧道圍巖變形預測效果，使用傳統GM(1，1)預測模型、基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型和NCBC-GM(1，1)灰色預測模型對4個斷面的收斂變形進行預測，并將3種模型的預測結果與實測值進行對比分析得到表2、表3、表4、表5、圖6。

從表2、表3、表4、表5可以發現，單一利用傳統GM(1，1)預測模型時，預測值的相對誤差較大，考慮背景值構造誤差和隧道圍巖變形波動性的NCBC-GM(1，1)灰色預測模型相對誤差有一定幅值的減小。3種灰色預測模型在隧道圍巖收斂變形的擬合和預測中，改進后的NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的預測精度較傳統GM(1，1)預測模型和基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型最大提高6.76%和0.23%，預測精度得到較明顯地優化，預測效果更加穩定。但是隨著時間推移，隧道變形預測精度有一定的下降趨勢，NCBC-GM(1，1)灰色預測模型更適于圍巖變形的短期趨勢預測。由圖6可知，NCBC-GM(1，1)灰色預測模型與基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型的預測結果偏離較小，兩模型的預測值變化趨勢與實測值相同；NCBC-GM(1，1)灰色預測模型較傳統GM(1，1)預測模型和基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型的預測追蹤效果更優，預測數據更貼合實測值。因此與其它預測模型相比，基于背景值誤差來源和最小相對誤差平方和準則優化的NCBC-GM(1，1)灰色預測模型有著更好的預測效果和穩定性，在隧道變形趨勢的預測和施工控制中具有廣泛的應用價值。

表2 ZK288+730斷面不同模型預測結果Table 2 Prediction results of different models for ZK288+730 section時間/d實際值/mm模型1模型2模型3預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%1731.2130.54-2.1430.91-0.9531.02-0.611833.4830.75-8.1533.18-0.8933.32-0.471935.9432.64-9.1735.62-0.8935.80-0.402038.2834.65-9.4838.23-0.1238.45 0.46平均相對誤差 — 7.24— 0.71— 0.48

表3 YK288+690斷面不同模型預測結果Table 3 Prediction results of different models for YK288+690 section時間/d實際值/mm模型1模型2模型3預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%1747.7146.54-2.4446.19-3.1946.13-3.311852.2952.760.9052.09-0.3952.02-0.521956.1759.806.4658.744.5758.664.432063.4567.786.8366.244.3966.144.25平均相對誤差/% —2.94— 1.35—1.21

表4 YK288+810斷面不同模型預測結果Table 4 Prediction results of different models for YK288+810 section時間/d實際值/mm模型1模型2模型3預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%1756.2456.790.9856.00-0.4355.97-0.481859.7761.943.6360.891.8760.851.811964.4067.564.9166.202.7966.162.742069.8273.695.5471.973.0871.943.03平均相對誤差/% —3.76— 1.83—1.78

表5 ZK288+925斷面不同模型預測結果Table 5 Prediction results of different models for YK288+925 section時間/d實際值/mm模型1模型2模型3預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%預測值/mm相對誤差/%1768.2167.79-0.6266.64-2.3066.59-2.371872.6074.833.0773.190.8173.140.741976.2182.608.3980.385.4780.325.402083.2291.199.5788.286.0888.226.00平均相對誤差/% —5.10—2.52—2.44

圖6 不同斷面不同模型預測結果

4 結論

a.依據背景值構造誤差來源和相對誤差平方和最小準則優化的NCBC-GM(1，1)預測模型，改變了傳統GM(1，1)灰色預測模型背景值構造方法和白化方程邊界條件，均方根誤差較傳統GM(1，1)預測模型和基于背景值構造優化的GM(1，1)預測模型降低2.66 mm和0.10 mm，模型精度明顯提升。

b.NCBC-GM(1，1)灰色預測模型運用于多個隧道斷面圍巖變形預測分析，監測斷面變形預測值的平均相對誤差分別為0.48%、1.21%、1.78%、2.44%，證明了NCBC-GM(1，1)預測模型具有較高的穩定性和有效性，在隧道圍巖變形趨勢預測和施工控制中具有較高的理論和應用價值。

c.隨著時間推移，NCBC-GM(1，1)灰色預測模型的隧道變形預測精度有一定下降趨勢，預測值相對誤差略有增加，因此NCBC-GM(1，1)灰色預測模型適于圍巖變形短期趨勢預測，不適于隧道圍巖變形的長期預測。