空間參數曲線的雙目標能量極小化方法及其應用

李軍成，劉成志，羅志軍，龍志文

空間參數曲線的雙目標能量極小化方法及其應用

李軍成，劉成志，羅志軍，龍志文

（湖南人文科技學院 數學與金融學院，湖南 婁底 417000）

能量極小化方法已廣泛用于平面曲線的構造，而在空間曲線構造方面的應用尚少。首先介紹了空間參數曲線的彎曲能和扭曲能，然后提出了一種以彎曲能和扭曲能同時極小為目標的空間參數曲線構造方法，最后以空間三次Bézier曲線為例，探討了該方法在曲線的構造、延拓、平滑等問題中的應用。所提出的方法更符合空間參數曲線既需考慮彎曲又需考慮扭曲的特點。

空間參數曲線；能量極小化；彎曲能；扭曲能；雙目標優化； Bézier曲線

在幾何設計與計算中，如何利用能量極小化方法構造曲線、曲面廣受關注。近年來，已有許多針對此問題開展的研究，例如，利用能量極小化方法構造B樣條曲線［1-2］、Bézier曲線［3-5］、插值曲線和曲面［6-9］，進行Hermite插值［10-16］以及生成曲面網格［17-18］等。

在利用能量極小化方法構造曲線時，大多以平面曲線為研究對象，對空間曲線的構造研究較欠缺。文獻［19］給出了空間曲線彎曲能和扭曲能的定義，并討論了彎曲能極小和扭曲能極小的情況。通常，平面曲線僅需考慮彎曲，空間曲線則既需考慮彎曲又需考慮扭曲，因此，在利用能量極小化方法構造空間曲線時，應同時考慮彎曲能和扭曲能。遺憾的是，目前鮮有文獻討論如何利用彎曲能和扭曲能同時極小化構造空間曲線。

首先介紹空間參數曲線的彎曲能和扭曲能，然后給出一種用于構造空間參數曲線的雙目標能量極小化方法，最后以空間三次Bézier曲線為例，給出雙目標能量極小化方法在空間三次Bézier曲線構造中的應用。

1　空間參數曲線的能量

為簡化計算，式（1）和式（2）可近似表示為［19］：

分別稱為空間參數曲線的近似彎曲能和近似扭曲能。需要說明的是，式（3）在文獻［2-3，7，10］中為平面參數曲線的近似彎曲能（又稱應變能），式（4）在文獻［2-3，5，13，15］中為平面參數曲線的近似曲率變化能（又稱Jerk能）。

2　雙目標能量極小化方法

通?？蓪⑹剑?）轉化為單目標優化問題：

Step 1 計算2個單目標之間的偏差：

Step 2 計算2個單目標的偏差之和：

Step 3 計算2個單目標的初始權重：

最后，利用相應優化方法求得式（6）的最優解，得到式（5）的非劣解。

3　應用

空間三次Bézier曲線可表示為［21］

3.1　空間三次Bézier曲線的構造

Bézier曲線是一種重要的幾何造型工具，廣泛應用于工業設計領域。在構造Bézier曲線時，需施加一定的幾何或物理約束，使得所構造曲線滿足相應要求。其中約束類型眾多，能量約束已成為構造光順曲線的一種常用方式。例如，文獻［3，5］給出了利用能量極小化構造Bézier曲線的方法。用能量極小化構造三次Bézier曲線時，除給定首、末控制頂點外，還需給定第3個控制頂點，才能確定第4個控制頂點，從而構造具有極小能量的三次Bézier曲線。然而，若利用文獻［3，5］中的方法構造三次Bézier曲線，無論是應變能極小還是Jerk能極小，均僅考慮了曲線的彎曲或扭曲。

于是，由式（6）可得優化問題：

證明由式（11）可得

（i）若僅考慮彎曲能極小，則

（ii）若僅考慮扭曲能極小，則

（iii）若同時考慮彎曲能和扭曲能極?。p目標能量極?。?，則

采用3種能量極小化方法構造的空間三次Bézier曲線如圖1所示，計算所得的彎曲能、扭曲能如表1所示?？芍?，采用雙目標能量極小化方法所構造曲線的彎曲能和扭曲能介于另2種方法之間，這符合空間參數曲線既需考慮彎曲又需考慮扭曲的特點。

圖1　3種能量極小化方法構造的空間三次Bézier曲線

Fig.1　Spatial cubic Bézier curves constructed by three energy minimizations

表1　3種能量極小化方法的彎曲能和扭曲能

3.2　空間三次Bézier曲線的延拓

在計算機輔助設計系統中，為滿足復雜曲線的造型需要，將一條已知的Bézier曲線延拓至給定的點，延拓曲線亦用Bézier曲線表示，并與原曲線在連接點處滿足一定的連續性條件。

不妨設曲線

空間三次Bézier曲線的延拓如圖2所示。

圖2　空間三次Bézier曲線的延拓

3.3　空間鏈接曲線的平滑

在利用空間三次Bézier曲線進行復雜幾何造型時，需鏈接多條空間三次Bézier曲線，當空間鏈接曲線的連續性較低時，需通過調整控制頂點提高其連續性。

給定2條空間三次Bézier曲線：

其中，

由式（3）、式（4）、式（23）和式（24），經平滑處理后2條曲線的總彎曲能函數和總扭曲能函數分別為：

其中，

于是，由式（6）可得雙目標能量優化問題：

證明由式（25）可得

由式（26）可得

證明由式（27），可得

0連續鏈接曲線與平滑后的1連續鏈接曲線如圖3所示。

圖3　空間鏈接曲線的平滑

4　結語

針對如何利用能量極小化方法構造空間參數曲線的問題，提出了一種雙目標能量極小化方法，探討了該方法在構造空間三次Bézier曲線及其延拓和平滑等問題中的應用。因雙目標能量極小化方法同時考慮了彎曲能和扭曲能，其較僅考慮彎曲能極小或扭曲能極小的方法更符合空間參數曲線的特點。研究為利用能量極小化方法構造空間參數曲線提供了一種有效的手段。

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Bi-objective energy minimization of spatial parametric curves and its applications

LI Juncheng, LIU Chengzhi, LUO Zhijun, LONG Zhiwen

（，，，417000，，）

Although approach of energy minimizations has been widely applied in the construction of planar curves, it is seldom used in the construction of spatial curves. In this paper, we first introduce the bending energy and twisting energy of spatial parametric curves. A method of constructing spatial parametric curves aiming at minimizing the bending energy and twisting energy simultaneously is then proposed. Finally, the applications of the proposed method in the construction, extension, and smoothing of the cubic Bézier curve are discussed. The proposed method conforms with the fact that both bending and twisting are important shape features of spatial parametric curves.

spatial parametric curve; energy minimization; bending energy; twisting energy; bi-objective optimization; Bézier curve

TP 391.72

A

1008?9497（2023）01?063?06

2021?09?10.

湖南省自然科學基金資助項目（2021JJ30373）；國家自然科學基金資助項目（12101225）.

李軍成（1982—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-1904-4068，男，博士，教授，主要從事計算機輔助幾何設計及其應用研究，E-mail：lijuncheng82@126.com.