一類三維三次系統極限環的新下界

劉桔坤，黃文韜，劉宏普

(1.桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004；2. 廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541006)

極限環問題是微分方程定性理論中非常重要的熱點領域。1900年巴黎世界數學家大會，德國數學家Hilber提出著名的23個數學難題，其中第16個問題的后半部分就是尋求n次實平面微分自治系統極限環數目的最小上界以及這些極限環的相對位置。這一問題吸引了眾多學者關注，也取得了很多優秀研究成果。然而這個問題的解決非常困難，即使n=2的情形仍沒有得到解決。近幾十年來，尋求平面系統能產生極限環個數的最大下界問題有很多研究成果[1-6]。近年來，三維系統的研究也取得了一些研究成果，如文獻[7]構造一類具有3個極限環的三維Lotka-Volterra競爭系統；文獻[8]研究一類三維n(n>1)次系統，并且證明這類系統至少存在n2個極限環；文獻[9]證明三維二次系統在單個奇點周圍至少存在7個極限環；隨后文獻[10]將這個結果改進至10個極限環；文獻[11]研究一類具有2個對稱奇點的三維二次系統，證明在這2個奇點周圍至少存在10個極限環；文獻[12]研究一類具有Z3對稱的三維二次系統，證明在3個奇點周圍存在具有(4,4,4)分布的12個極限環；文獻[13]證明一類三維二次系統在2個對稱奇點周圍存在具有(6,6)分布的12個極限環。目前，關于三維三次系統極限環的結果相對較少，文獻[14]提出一種三維微分系統奇點量的遞推算法，并采用該算法研究一類三維三次系統，得到系統可分支出5個極限環；文獻[15]證明一類三維三次Kolmogorov系統在正平衡點(1,1,1)處可分支出5個小振幅極限環；文獻[16]將這個結果改進至7個極限環；文獻[17]研究一類三維三次ELS(extended Lorenz system)系統，得到系統在3個孤立的平衡點處各存在1個極限環。

本文研究如下一類三維實系統的極限環分支問題：

(1)

證明系統(1)有16個極限環，得到三維三次系統極限環個數的一個新下界。

1 預備知識

先敘述需要的一些知識(詳見文獻[14])?？紤]以下三維實系統：

(2)

式中x、y、u、d、t、Ajkl、Bjkl、djkl∈R,k、j、l∈N。

對系統(2)，存在中心流形u=u(x,y),可表示為如下關于x和y的多項式級數

u=u(x,y)=x2+y2+h.o.t.,

式中h.o.t.為高階項。

引入變換

系統(2)可化為如下系統：

(3)

引理1[14]對系統(3)，令c110=1,c101=c011=c200=c020=0,ckk0=0,k=2,3,…那么可以唯一地逐項確定如下形式級數

使得

式中μm是系統(3)在原點的第m個奇點量。當α≠β或α=β,γ≠0時,cαβγ可由以下遞推公式確定，

對每一個正整數m,μm可由下面遞推公式確定，

當α<0或β<0或γ<0或γ=0,α=β時，有cα,β,γ=0。

引理2[14]對任意正整數k,系統(2)的第k個焦點量v2k+1(2π)和系統(3)的第k個奇點量μk滿足等價關系v2k+1(2π)～iπμk。

引理3[11]對系統(2)，若在條件c*下原點是一個n階細焦點，并且

那么系統(2)的原點可以分支出n個極限環。

2 主要結果

易知系統(1)關于平面XOU對稱，且有2個對稱奇點(0,1,1)、(0,-1,1)。由對稱性，僅就奇點(0,1,1)討論。引入平移變換x1=x,y1=y-1,u1=u-1,代入系統(1)得到如下系統：

(4)

相應地，系統(1)的平衡點(0,1,1)變成系統(4)的原點。

再通過變換z=x1+iy1,w=x1-iy1,u2=u1,T=it,系統(4)化為如下系統(5)

由引理1，借助計算機代數軟件，計算系統(5)原點的奇點量，得到定理1。

定理1系統(5)原點的前8階奇點量為

情形1 若c17=0,則

μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=0。

式中：

F1=-20 960-576 495c17+22 218a3c17-886 144a5c17-93 564b16c17-289 340c17c3,

F2=38 913 088+11 225 789 614c17+9 850 427 480a5c17+263 071 844 256c172+30 728 488 635b16c172+

627 334 964 750a5c172+315 624 818 600a52c172+27 345 269 250a5b16c172+29 178 720b16c17+

4 066 298 620c17c3+205 262 417 620c172c3+214 392 807 200a5c172c3+7 975 989 450b16c172c3+

36 147 246 200c172c32,

F3=-355 974 829 793 661 101 632+3 315 404 756 119 259 258 420c17c3-

22 390 970 288 312 684 331 000c172c32+1 145 662 044 538 954 645 920b16c17-

820 755 201 041 988 537 461 194c172+570 839 670 037 146 542 404 485b16c172+

9 631 555 088 136 199 494 150a5b16c172-118 062 559 688 188 506 600 914 250a5c173-

1 956 711 824 169 040 245 100 950b16c173+718 703 192 174 636 311 387 875b162c173-

678 082 272 715 194 958 520a5c17+214 355 485 871 217 085 122 000a5c172c3+

2 801 127 021 628 092 489 150b16c172c3-8 775 317 955 632 496 616 530 000a5c173c3+

2 751 250 117 933 061 595 454 500b16c173c3-2 728 460 204 692 456 931 190 000c173c32+

8 028 915 274 201 903 177 824 000a5b16c173-41 651 961 992 469 620 963 242 500c173c3-

70 972 031 251 036 267 236 617 850c173+758 798 200 400 096 777 877 020c172c3+

3 040 820 285 709 409 899 908 800a5c172+74 021 654 281 639 387 262 314c17,

F4、F5、F6分別是關于a3、a5、b16、c3、c17的6次、8次、9次多項式，且其項數分別為40、80、139，詳情可通過鏈接https:∥pan.baidu.com/s/1f9eWxoNgMcBJJSoc5sDt4Q(提取碼：hfun)查看。在計算每個μk時，已令μk-1=0,k=2,…,8。

定理2系統(5)的前8階奇點量為0當且僅當a17=c17=0。

證明首先證明充分性。將a17=0,c17=0代入定理1的前8個奇點量的表達式，顯然有μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=0。

GroebnerBasis [{F1,F2,F3,F4,F5,F6},{a3,a5,b16,c3,c17}]={1},

即F1=F2=F3=F4=F5=F6=0沒有公共根。因此在情形2下，系統(5)的前8個奇點量不可能同時為零。綜上，定理2得證。

定理3對系統(4)，當a17=0,c17=0時，曲面Γ:u1=0是一個不變代數曲面，它定義了一個全局中心流形，并且在該中心流形上，原點是系統的中心(即系統(1)的奇點(0,1,1)、(0,-1,1)為a17=0,c17=0時的中心)。

證明若a17=0,c17=0，則系統(4)化簡為：

(6)

由文獻[13]可知，對如下系統

(7)

式中：P(x1,y1,u1)、Q(x1,y1,u1)、R(x1,y1,u1)的次數均不超過k,多項式方程F(x1,y1,u1)=0為系統(7)的不變代數曲面當且僅當

(8)

首先從l=1開始搜索，證明F(x1,y1,u1)的存在性。對l=1，令F(x1,y1,u1)=ax1+by1+cu1,將F(x1,y1,u1)以及余因子K(x1,y1,u1)代入式(8)，比較同次冪系數，可得到下面代數方程組：

-ah4=0, -bh4-ah7=0, -aa4-ch4-ah8=0, -ah5-bh7=0, -a-bh0=0,b-bh1-ah2=0,

解以上代數方程組得到a=0,b=0,c=1,故Dardoux多項式F(x1,y1,u1)=u1,因此曲面Γ:u1=0為系統(6)的一個不變代數曲面。下面證明曲面Γ:u1=0是系統(6)的一個中心流形。首先，計算函數F(x1,y1,u1)=u1在原點的梯度，也就是曲面Γ:u1=0在原點的法向量，得到F(0,0,0)=(0,0,1)。又由于中心流形在原點處的切空間是由e1=(0,-1,0),e2=(1,0,0)這2個向量張成的，而F(0,0,0)·e1=0,F(0,0,0)·e2=0。因此，曲面Γ:u1=0是系統(6)的一個中心流形，即可停止對Fl(l≥2)的搜索。最后，需要證明在中心流形Γ:u1=0上，系統(6)的原點是中心。當u1=0時，系統(6)化簡為如下系統

(9)

易知系統(9)關于y軸對稱，由對稱原理[18]可知系統(9)的原點是一個中心。綜上，定理3得證。

接下來討論系統(1)從奇點(0,1,1)分支的極限環的最大數目。首先考慮系統(5)原點的細奇點階數。由定理1和定理2可得以下定理4。

定理4系統(5)的原點是8階細奇點當且僅當下列條件滿足

(10)

借助計算機代數軟件，得到滿足F1=F2=F3=F4=F5=0的16組實數解，其中一組解為

(11)

通過計算，

由引理3可得以下結果。

定理5對系統(1)，當系數滿足條件(10)時，奇點(0,1,1)為8階細焦點，并且系統(1)參數經過合適的擾動，在奇點(0,1,1)處可分支出8個極限環。因此，系統(1)在2個奇點(0,1,1)和(0,-1,1)附近存在16個極限環，呈8-8分布。

3 結語

本文研究一類三維三次系統的中心和極限環分支問題。通過符號計算和數值計算，得到系統2個對稱奇點(0,1,1)、(0,-1,1)成為中心的一組充要條件，并導出這2個奇點同時成為8階細焦點的條件，進而證明系統至少存在16個小振幅極限環。據作者所知，這是目前三維三次系統關于極限環個數的最好結果。