萬飛
本章是在小學數學“圖形與幾何”知識基礎上的進一步探究,是初中幾何學習的入門知識。下面,我們以幾個常見問題為載體,借助數學思想方法的滲透,幫助同學們更好地攻克本章的幾個難點。
問題一:與線段中點有關的分類討論
例1 在一條直線上有A、B、C三個點,M為AB的中點,N為BC的中點,若AB=a,BC=b,試用a、b的代數式表示MN的長度。
【解析】因為題目沒有給出圖形,畫出線段AB后,點C的位置不明確,所以要分點C在線段AB上、點C在線段AB的延長線上、點C在線段BA的延長線上這三種情況進行討論。
解:①如圖1,點C在線段AB上,MN=MB-NB=?(a-b)。
②如圖2,點C在AB的延長線上,MN=MB+NB=?(a+b)。
③如圖3,點C在BA的延長線上,MN=NB-MB=?(b-a)。
綜上:MN的長度為?(a-b)或?(a+b)或?(b-a)。
問題二:角度計算中的分類討論
例2 已知∠AOB=60°,∠AOB=3∠AOC,射線OD平分∠BOC,求∠COD的度數。
【解析】本題同樣沒有給出圖形,因此不知道OC在∠AOB內還是∠AOB外,所以需要分類討論。
解:①如圖4,OC在∠AOB內,此時,∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-20°=40°,所以∠COD=?∠BOC=20°。
②如圖5,OC在∠AOB外,此時,∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+20°=80°,所以∠COD=?∠BOC=40°。
綜上:∠COD的度數為20°或40°。
在沒有給出圖形的題目中,一般會有多種情況,需要分類討論。上面兩題可放在一起用類比的思想進行研究,難點在于怎樣準確地畫出所有圖形。
問題三:互余、互補概念辨析
例3 下列說法中,哪些是正確的?請說明理由。
(1)互余且相等的兩個角各是45°;
(2)一個角的余角一定小于這個角的補角;
(3)如果∠1+∠2=∠3,那么∠1的余角與∠2的余角的和等于∠3的余角;
(4)如果∠1+∠2=∠3,那么∠1的余角與∠2的余角的和等于∠3的補角。
【解析】(1)45°+45°=90°,正確;
(2)設這個角為α,則它的余角為90°-α,補角為180°-α,補角比余角大90°,正確;
(3)∠1的余角為90°-∠1,∠2的余角為90°-∠2,∠1的余角與∠2的余角之和為180°-∠1-∠2=180°-(∠1+∠2)=180°-∠3,錯誤;
(4)由(3)的解析可知結論正確。
綜上:(1)(2)(4)正確。
互為余角、互為補角是指兩個角之間的數量關系,不涉及位置關系,所以只要借助數量關系判斷即可。緊扣定義還可以知道,1個角或超過2個角不存在互余或互補關系。
問題四:時針、分針的夾角
例4 時鐘在9點20分時,時針和分針的夾角為_______°。
【解析】借助鐘的表面我們可以知道,分針每分鐘轉6°,時針每分鐘轉0.5°。9點時,時針與分針的夾角為90°。20分鐘后,分針從數字12開始轉了120°,時針從數字9開始轉了10°。此題可借助圖形,利用數形結合的數學思想進行研究。
解:9點時,時針和分針的夾角為90°,到9點20分時,分針轉了20×6°=120°,時針轉了20×0.5°=10°,此時它們的夾角為:360°-120°-90°+10°=160°。
華羅庚曾經說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休?!彼?,在解決幾何問題時,我們一定要多思考、多畫圖,借助數形結合或分類討論等思想方法,做到不漏解、不多解。
(作者單位:江蘇省無錫市高新區金橋外國語學校)