擬常曲率黎曼流形中極小子流形的Pinching定理

李明圖，裴瑞昌

（天水師范學院 數學與統計學院，甘肅 天水 741000）

子流形的內蘊量的拼擠性質可有效獲取子流形的同胚結構，是當前子流形理論研究的熱點之一。文獻[1] 應用積分公式證明了常曲率黎曼流形Sn+p(1)中的極小子流形中，全測地子流形的分布是孤立的。文獻[2]進一步研究后得到了距離全測地子流形最近的極小子流形，有

文獻[3]給出了擬常曲率黎曼流形的定義。即若n+p維完備黎曼流形Nn+p的黎曼曲率張量的分量為如下形式

顯見，擬常曲率黎曼流形是常曲率黎曼流形的推廣。特別的，當取a=1 且b=0 時，Nn+p就表示n+p維單位球面Sn+p(1)。

文獻[4-6]研究了局部對稱黎曼流形中的極小子流形，先后得到了一些重要的拼擠結果。假設擬常曲率黎曼流形是局部對稱的，文獻[7-10]探討了擬常曲率黎曼流形中的極小子流形，證明了這類子流形所具有的關于第二基本形式模長的平方σ的若干拼擠性質，或者建立了相應的Simons 型積分不等式和Yau 型積分不等式。在此基礎上，本文考慮了局部對稱擬常曲率黎曼流形中的緊致極小子流形?，F利用記號Γ(TM) 表示子流形Mn上的全體光滑切向量場作成的集合，在ξ∈Γ(TM)的假設下，得到了定理1，本文結論推廣了定理A 的結論。

1 預備知識

文中約定各指標的變程為

在Nn+p上選取標準正交標架場{e1,e2,…,en+p}，使得限制在Mn上時，{e1,e2,…,en} 與Mn相切，法于Mn。于是，擬常曲率黎曼流形Nn+p的黎曼曲率張量的分量可以取如下形式[3]

于是，由文獻[11-12]可知，單位向量ξ可以分解為

若Mn極小，則有H=0，從而

定義1若黎曼流形Nn+p的（0，4）型黎曼曲率張量場KABCD的協變導數為零，即KABCD;E=0，則稱Nn+p是局部對稱的黎曼流形[13]。

設外圍空間Nn+p是局部對稱的，由文獻[13]知

進而，利用式（9）可得

又由式（3）得到恒等式

給式（11）兩邊同乘以任意實數λ，移項后結合式（10），便有

將式（13）（14）（15）代入式（12），合并整理可得：對任意實數λ，有

已知矩陣Sαβ=(tr(HαHβ))是p階對稱方陣，可以通過適當選取標架場{en+1,en+2,…,en+p}，使其對角化，得

由式（1）得到

2 主要定理及其證明

定理1設Mn是局部對稱擬常曲率黎曼流形Nn+p中的n維緊致極小子流形，ξ∈Γ(TM) 若Mn的第二基本形式的模長的平方σ滿足

則Mn必為下述兩種情況之一：

（i）σ=0，Mn是全測地子流形，同時，Mn為擬常曲率黎曼流形且局部對稱。

同時，還有

其中和分別表示光滑函數a和b在Mn上的限制。由ξ∈Γ(TM)得到，ξ在Mn上的限制ξ|Mn為Mn上的單位向量函數。因此，Mn是擬常曲率的。

又因為Nn+p是局部對稱黎曼流形，即

得到Rijkl;m=0。由此可知，Mn是局部對稱的。