具有基數約束的多階段均值-半方差可信性投資組合優化

張 鵬, 崔淑琳, 李璟欣

(華南師范大學 經濟與管理學院, 廣東 廣州 510006)

0 引言

MARKOWITZ[1]提出了均值-方差投資組合選擇模型。傳統上,概率論是一個分析投資組合選擇不確定性的主要工具。然而,如果沒有足夠的歷史數據,假設風險資產的收益為模糊變量更合理。模糊投資組合選擇已在許多文獻中被提出,諸如VERCHER等[2],MOHEBBI和NAJAFI[3],JIN等[4]分別提出了幾種多階段模糊投資組合選擇模型;LIU和ZHANG[5]提出了多階段可能性投資組合優化模型。但以上模型中的可能性測度不滿足自對偶性。為了彌補可能性理論的缺陷,LIU和LIU[6]提出了具有自對偶性的可信性理論。此后,學者們將可信性理論運用于投資組合研究中,如HUANG[7]構建了可信性均值-半方差投資組合模型。GUPTA等[8]探究了多階段均值-半絕對偏差-偏度可信性投資組合選擇模型。

現有的模型大多以Markowitz的均值-方差模型為框架,同時考慮一些現實約束,如基數約束和閾值約束?？紤]交易成本,管理由大量資產組成的投資組合顯然是不可取的。具有基數約束的Markowitz投資組合模型及其拓展模型在過去十幾年里已被深入研究。特別是從計算的角度,一些研究者提出了精確解的方法,如BERTSIMAS和 SHIODA[9],LE THI和MOEINI[10]。由于精確解法只能夠解決決策變量較少的情況,因此,許多學者提出了啟發式算法求解,如LEUNG和WANG[11],YAMAN和DALKILIC[12]。事實上,標準Makowitz模型是凸二次規劃問題,而具有基數約束的Markowitz模型是混合整數二次規劃問題,屬于NP完全問題。

現實生活中投資者可以將自己的財富在不同時期重新分配,因此,實際投資活動是動態且連續的。JIN等[4]構建了多階段均值-方差-流動性投資組合模型;LIU和LIU[6]提出了多階段均值-方差可信性投資組合模型。張鵬等[13]提出了多階段均值-半方差隨機投資組合模型。

本文引入了具有交易成本、借貸約束、交易量限制以及基數約束,構建了具有現實約束的多階段均值-半方差可信性投資組合模型,并提出離散近似迭代算法求解。最后,用一個具體的算例驗證了模型和算法的有效性。

1 預備知識

設ξ為隸屬度函數μ的一個模糊變量,u和x是實數。對于任何給定的集合B(ξ∈B),可能性、必要性和可信性測度分別定義為:

其中可信性測度滿足自對偶性,Cr{ξ≤r}+Cr{ξ≥r}=1。

定義1[6]設ξ是一個模糊變量。則ξ的期望值定義為:

(1)

定理1[6]設ξ和η是相互獨立的模糊變量,λ和μ是兩個實數。則

E(λξ+μη)=λE(ξ)+μE(η)

(2)

定義2[7]設ξ的期望值為e,(ξ-e)-=min{ξ-e,0},則ξ的可信性半方差為:

(3)

定理2令ξ和η為期望值有限且相互獨立的模糊變量,λ和μ為非負實數,則:

SV(λξ+μη)=λ2SV(ξ)+μ2SV(η)

(4)

定理3設ξ=(a,α,β)是一個三角模糊數。則ξ的可信性期望值和可信性半方差為:

(5)

(6)

2 多階段投資組合模型

假設證券市場上存在風險資產和無風險資產可供投資。投資者將初始財富W1配置于n+1種資產,并在T期結束時使其財富最大化。假設每個階段風險資產的收益率為三角模糊變量。符號及說明如表1所示。

表1 符號及說明

2.1 收益、風險和基數約束

假設第t階段風險資產i的收益率Rit=(ait,αit,βit)是三角模糊變量,采用V型函數來刻畫交易成本,xt的凈回報率為:

(7)

第t+1期的初始財富為:

(8)

投資組合的可信性半方差可以表示為:

(9)

多階段投資組合模型的閾值約束可以表示為:lit≤xit≤uit。

θ表示投資者的風險厭惡系數(0≤θ≤1)。θ越大,表示投資者厭惡風險程度越大。假設(1-θ)和θ分別為rNt和SVt(xt)的偏好系數,則投資者效用函數可表示為:

(10)

2.2 多階段投資組合優化基本模型

投資者希望在整個T期的效用最大化。具有現實約束的多階段投資組合模型為:

(11)

約束條件(a)是財富動態轉移方程;約束條件(b)表示無風險資產的投資比例超過給定下界;約束條件(c)表示xt中非零風險資產的數量不能超過K;約束條件(d)為xit的閾值約束。

3 求解算法

第t階段的狀態變量Wt按由小到大分成4等分,則在每個時期均有5個離散狀態變量值。模型(11)可以近似轉化為多階段加權有向圖,如圖1。有向圖的階段數即投資期數,第t階段目標函數值和狀態變量的離散值分別由多階段加權有向圖第t階段的權重和點表示。本文運用HEIDERGOTT等[14]的極大代數法求上述多階段有向賦權圖的最長路徑。

圖1 多階段有向賦權圖

3.1 離散近似迭代法

離散近似迭代法的具體步驟:

步驟1確定第t(t=2,…,T+1)階段的離散狀態變量:

假設投資者只考慮在第t階段使投資組合的半方差最小化:

(12)

假設投資者希望第t階段投資組合期望收益最大化:

(13)

步驟2確定有向賦權圖的權重。

步驟3計算多階段加權有向圖的最長路徑。

多階段加權有向圖的最長路徑F(1)的第一次迭代可以得到如下:

(14)

步驟4離散近似迭代法的第k+1次迭代具體描述如下:

步驟4.3可得第k+1次迭代F(k+1)的最長路徑和另一個可行解如下:

(15)

如果|F(k+1)-F(k)|≤10-6,則最長路徑F(k+1)的最優解也是模型(11)的近似最優解。否則返回步驟2。

3.2 離散近似迭代法的收斂性

定理4離散近似迭代法是收斂的。

則可得第k次迭代F(k)的多階段加權有向圖的最長路徑如下:

(16)

定理證畢。

4 算例

假設投資者從上海證券交易所選擇30支股票投資。股票代碼分別為S1,…,S30。以W1=1為初期財富進行5期投資,其財富在每個時期的開始可以調整。假定每個時期的收益,風險和30支股票的流動率分別用三角模糊數表示。本文以2006年4月至2015年3月的歷史數據為樣本,并以每3個月為一個周期進行處理。用VERCHER等[2]計算每個階段資產收益率的三角可能性分布。

表2 當θ=0.5,K=6時的最優解

表3 當θ=0.5,K=8時的最優解

當θ=0.5,K=6時,第1階段最優化投資策略投資者分別以20%,20%,20%,20%,20%,20%,-20%,0%的比例分配其初始財富于資產1、資產13、資產17、資產19、資產24 、資產28、無風險資產和30支股票中的其他資產。從表2中也可以得到第2階段,第3階段,第4階段,第5階段的最優投資策略。最終可用財富為2.0396。當θ=0.5,K=8,最終可用財富為2.2268。從表2和表3可以看出,當K=6和8時,最優解中大部分資產相同。當θ=0.5,K=0,1,…,9時,得到的最終可用財富如表4所示。由表4可知,K=8與K≥9的最優解相同。當K∈[0,8]時,投資組合中非零風險資產數量越多,最終財富越大,它反映了在投資組合優化中所需資產數量的影響。

當K=7,θ=0.1,…,0.9,1時,可得到的最終財富如表5所示。

表4 當θ=0.5,K=0,1,…,9時的最終財富

表5 當K=7,θ=0,0.1,…,0.9,1時的最終財富

從表5中可以看出,當0.1≤θ≤0.6時,最終財富相同;當0.6<θ≤1時,偏好系數θ越大,最終財富越小,它反映了在投資組合優化中偏好系數θ的影響。

5 結論

本文考慮了模糊環境下的多階段投資組合優化問題。文章使用可信性均值和半方差分別度量多階段投資組合的收益和風險。提出了具有交易成本、借貸約束、閾值約束和基數約束的多階段均值-半方差投資組合模型,給出了離散近似迭代法進行求解,并證明了其收斂性。最后,以一個具體例子來證明模型和算法的有效性。