考慮滑移效應的體外預應力波形鋼腹板梁橋的應力增量

楊美良,樊林杰,袁以鑫,劉陽帆

（長沙理工大學 土木工程學院，長沙 410114）

波形鋼腹板梁橋是近年來興起的一種橋梁形式，因其優越的性能而引起廣泛關注。最早的法國建成的Cognac橋[1]，有效減小了大跨度橋梁的自重荷載。與傳統的PC箱梁橋相比，波形鋼腹板箱梁橋結構自重小，能顯著降低腹板對上下翼緣板的約束作用，大幅度提高底板的有效預應力，在全球得到普遍推廣。

目前，研究者已在波形鋼腹板梁橋抗彎[2]、抗剪[3]、疲勞[4]、動力特性[5-6]等方面取得了一定的成果，但對于應力增量的涉及相對較少，且大多數是基于傳統的PC箱梁橋，幾種比較典型的方法分別是黏結折減系數法[7]、基于截面配筋率指標建立回歸公式法[8]、基于變形的計算方法[9-10]和基于能量法[11-12]的計算方法。Antoine等[7]采用黏結折減系數法對預應力混凝土結構進行了研究，得到了考慮剪切變形的應力增量計算公式。Harajli等[13]建立了非線性有限元模型，進行參數擬合，分析體外預應力梁的“二次效應”影響和預應力筋的應力增量。Kim等[14]建立了適用于計算后張法體外預應力連續梁的非線性模型，并將計算出的彎矩分布結果與試驗結果進行對比分析，驗證了模型的正確性。劉曉剛等[8]采用基于截面配筋指標建立回歸公式的方法，進行了無黏結預應力筋應力增量的研究。通過將大量參數進行對比分析，構建了組合結構屈服時應力增量的計算方法。杜進生等[10]開展了關于塑性鉸區長度的研究，提出了基于結構變形的應力變化分析方法，并進行了大量的試驗梁對比，但并未給出體外預應力筋極限應力的計算公式。劉釗等[11]從能量法的角度入手，推出了結構處在正常使用階段時預應力筋應力增量的解析解公式。蘇儉[12]考慮典型布筋形式與荷載工況，利用能量法推導了體外預應力筋的應力增量解析計算公式，其中考慮了剪切變形的影響。劉玲[15]等進行了6根體外預應力加固混凝土簡支梁的試驗研究，研究了混凝土強度、跨高比、有效預應力、受拉區普通鋼筋的數量等參數對預應力筋應力增量的影響。杜進生等[16]基于理論分析和數值模擬，研究了波形鋼腹板組合梁破壞時塑性鉸的長度變化，但并沒有提出波形鋼腹板組合梁體外預應力筋應力增量的計算公式。徐榮橋等[17]基于ABAQUS軟件的自定義單元，編寫了一個自定義有限元單元，較好地模擬了體外預應力筋的實際情況，能計入滑移效應產生的影響，并基于此構建了應力增量的計算公式，但這是基于傳統PC箱梁橋的理論，并不能完全適用于波形鋼腹板組合梁橋，后續還需進行針對性的研究。

在現有的體外預應力筋應力增量研究方面，大部分是基于傳統PC箱梁橋，針對波形鋼腹板組合梁橋建立的應力增量研究鮮有報道。筆者在現有波形鋼腹板梁橋試驗的基礎上，結合Euler-Bernoulli理論，通過預應力筋的變形和結構整體變形的幾何關系，推導了考慮滑移效應的體外預應力筋應力增量的計算公式，將公式計算結果與試驗梁和Ansys數值模型的結果進行對比，以證明本文理論的適用性。

1 考慮滑移的應力增量模型

考慮一簡支梁，結合折線布筋形式，建立簡化計算模型，如圖1所示，同時對預應力筋做如下假定：

1）在外力作用下，組合梁和體外預應力筋均處于線彈性工作狀態，未發生屈曲破壞。

2）未發生剪切滑移時，結構還遵循“擬平截面假定”。

3）考慮鋼腹板剪切作用對梁體結構變形產生的影響。

4）忽略預應力筋在錨固端和轉向塊處的摩擦力，簡化受力分析。

設預應力筋端點的初始位置為（xi,yi）(i=1、2、3、4)，形狀為三折線。

如圖1所示，預應力筋線形簡化為三折線形式。為簡化計算過程及公式，定義各段為第i段（頂點為i和i+1）（i=1、2、3），則第i段變形前的長度為

圖1 計算簡圖Fig.1 Calculation diagram

如果頂點i的位移用（ui,vi）表示，那么第i段預應力筋發生變形后的總長度可以表示為

展開式（2）并消去高階小量，化簡后可得

其中：θi為第i段預應力筋與x軸之間的夾角，即

根據幾何關系，可以得到整根預應力筋在發生變形后的伸長量為

式（5）是通過解得預應力筋在錨固端和轉向塊處的位移，得到結構整體變形后推導的預應力筋伸長量計算公式。有了伸長量表達式，就能夠得到預應力筋在結構變形后的應力、應變增量的表達式分別為

其中：Ls和Es分別表示預應力筋的總長度和彈性模量。根據梁理論，用組合梁的撓度和轉角來表示預應力筋在轉向塊處的位移，可以得到

其中：ei是轉向塊與中性軸的偏心距（見圖1）；Ψ(xi)是梁的轉角；ω(xi)是梁的撓度。如果采用Euler-Bernoulli梁理論，那么Ψ(xi)=ω′(xi)。此時，把式（8）代入式（6）、式（7）中，就可以得到Euler-Bernoulli梁理論中預應力筋的應力增量表達式為

因此，得到一個關于撓度的應力增量公式。后續只需求得組合梁的撓度公式，將其代入式（9）中，即可得到預應力筋的應力增量。

2 理論分析

2.1 跨中撓度計算

波形鋼腹板組合梁主要的力學特征是：“混凝土頂、底板受彎，鋼腹板受剪”。因此，進行撓度的推導時，將同時考慮兩種作用的影響：混凝土頂、底板產生的彎曲變形；鋼腹板的剪切變形。

在推導兩點對稱加載情況下（圖2）的撓度公式時，一般是先考慮只有一個集中荷載作用時的情況，然后通過疊加原理，得到對稱加載時的撓度公式。因此，只需進行集中荷載F下（圖3）的撓度公式推導，通過疊加計算，即可求得兩點對稱加載情況下的撓度公式。

圖2 兩點對稱加載時的計算簡圖Fig.2 Calculation diagram for two-point symmetrical loading

圖3 集中力F作用時的計算簡圖Fig.3 Calculation diagram when the concentrated force F is applied

集中荷載F作用下，組合梁所受的剪力和彎矩表達式可以表示為

式 中：F為 外 荷 載；a為 圖2中 集 中 力F與 梁 端 的 距離；L為簡支梁跨徑。

波形鋼腹板的剪切模量采用Johnson等[18]建立的有效剪切模量Ge的計算公式

式中：a、b、α的具體尺寸見圖4；Ge為鋼板的抗剪彈性模量。

圖4 波形鋼腹板示意圖Fig.4 Sketch of corrugated steel webs

假設只受剪力時，組合梁撓曲線上任一點處的斜率等于該點所在截面的剪應變，那么可得

式中：ω1為簡支梁在剪力作用下的撓度；A為豎向抗剪面積，A=2ht，可參見文獻[19]，h為鋼腹板豎向高度；t為鋼腹板板厚；Q(x)為剪力；k為剪切系數，此時取k=0。

將式（11）代入式（13）中，可得到組合梁因發生剪切變形而產生的撓度ω1。

設波形鋼腹板組合梁彎矩引起的撓度為ω2，可得

式中：Ec為混凝土板彈性模量；Ic為混凝土板對形心軸的慣性矩。

將式（11）代入式（15）中，可得

根據疊加原理，將式（14）和式（16）按圖2所示 進行計算，得到兩點對稱加載時組合梁的撓度公式

2.2 應力增量求解

得到撓度之后，根據式（9）、式（10）和式（17）可進行應力增量的求解。三折線布筋時，對稱荷載作用下

可對應力增量求解公式進行化簡

3 數值模型

為了比較驗證，依據文獻[20]的模型數據和材料設計要求，通過有限元軟件Ansys，建立波形鋼腹板組合梁全橋數值模型。模擬波形鋼腹板組合梁從開始加載到喪失承載能力的受力全過程。

3.1 試驗模型數據

以文獻[20]的試驗參數為基礎，簡化計算模型，進行預應力筋應力增量的求解。模型梁長4.4 m，寬1.525 m，共設有4道橫隔板。體外預應力鋼筋為2?15.24鋼絞線，抗拉強度標準值fpk=1 860 MPa；頂、底板普通鋼筋設計強度為210 MPa，?6 mm的光圓鋼筋，橫向和縱向間距均為100 mm。具體尺寸和布置形式等見圖5。

圖5 模型截面尺寸（單位：mm）Fig.5 Model section size(Unit:mm)

波形鋼腹板厚度為4 mm，細部尺寸見圖6，其中：a為直板段寬度；b為斜板段水平寬度；C為斜板段寬度。

圖6 波形鋼腹板尺寸（單位：mm）Fig.6 Dimensions of corrugated steel web(Unit:mm)

文獻[20]中，模型試驗梁加載前需進行撓度、應變和錨下有效預應力測點布置。撓度測點布置在支座和頂板；在頂、底板和波形鋼腹板均設置應變測點；試驗采用普通鋼絞線和智能預應力鋼絞線。智能預應力鋼絞線內部布置3個光柵測點。同時，在試驗梁的張拉端和錨固端均設置錨下有效預應力測點。

體外預應力筋采用單端張拉，張拉力均為120 kN，一次性張拉到位。

試驗梁利用反力架做支撐，采用千斤頂進行分級加載，加載方式為兩點對稱加載。當試驗荷載小于110 kN時，采用每級10 kN的荷載增量加載；當荷載達到110 kN時，采用每級5 kN的荷載增量加載，直至梁體塑性破壞。

3.2 材料單元和本構關系

數值模型由混凝土頂底板、頂底板普通鋼筋、波形鋼腹板、橫隔板、支座處鋼墊塊、加載端分配梁和體外預應力筋幾部分組成。

在Ansys眾多實體單元中，空間實體8節點單元Solid65是專門為鋼筋混凝土材料開發的，可進行非線性處理，具有拉碎和壓碎的性能，可模擬鋼筋混凝土的開裂、壓碎、塑性變形和徐變。因此，混凝土頂、底板選用Solid65實體單元。

波形鋼腹板用殼單元Shell93模擬，能考慮剪切變形帶來的影響。橫隔板采用Solid45單元，同時，為了避免應力集中，在錨固端和轉向塊處將彈性模量增加到10倍，相當于使其彈性模量無窮大，達到剛體的效果。普通鋼筋選用能同時承受拉應力和壓應力的Link8單元。

體外預應力筋選用只能單向受拉或者單向壓縮的Link10單元，通過添加初應變的方式實現預應力筋的張拉。同時，采用Combin39單元來模擬體外預應力筋在轉向塊位置的滑移效應[21]。

3.3 模型建立和網格劃分

建立實體模型時，通過體分割法建立普通鋼筋形成分離式模型，模型建成后，鋼筋與混凝土為共節點，可以共同工作，不需要通過耦合來聯系在一起。波形鋼腹板與頂、底板之間的連接也通過體分割法，在兩者連接處形成共節點。在支座處和加載處用實體單元建立墊塊，增大其彈性模量，達到模擬成剛體的效果，消除加載不均衡和不對稱等因素對計算結果的影響。支座處鋼墊塊與底板、分配梁與頂板分別施加約束，保證墊塊與底板、分配梁與頂板是一個整體。

在進行網格劃分時，根據波形鋼腹板的形狀進行，保持預應力筋、混凝土和波形鋼腹板的劃分方式相同，保證節點的一致性，能更好地完成布爾運算。

為分析滑移效應對應力增量的影響，共建立兩個對比模型。模型一中，預應力筋在轉向塊和錨固端處用Combin39單元與混凝土粘結，以模擬滑移效應。模型二中，預應力筋在轉向塊和錨固端處與混凝土進行結點耦合操作，模擬成剛體，沒有相對滑移。有限元整體模型如圖7所示。

圖7 有限元模型圖Fig.7 Finite element model diagram

3.4 計算結果及分析

求解過程中，通過荷載步和荷載子步的設置，實現加載梁處逐級加載。直到結構壓應力或混凝土壓應變超出承載范圍而發生破壞為止。提取模型運行后的計算結果，得到跨中截面撓度值和預應力筋的應力值，對比分析文獻[20]中試驗結果和數值計算結果（圖8、圖9）。

圖8 跨中截面荷載-撓度曲線Fig.8 Mid-span section load-deflection curve

圖9 有效預應力-荷載曲線Fig.9 Effective prestress-load curve

分析結果表明：模型值與試驗值相差不大，驗證了模型分析的準確性，較好地擬合了實際情況。從圖8、圖9中可以看出，曲線有明顯的三階段變化，分別對應模型梁從開始加載到破壞過程中的3個階段：彈性階段、開裂階段和塑性階段。

彈性階段：當荷載小于100 kN時，結構處于線彈性受力范圍，底板尚未出現裂縫，此時力筋應力變化很小。

開裂階段：當荷載增大到100 kN時，底板混凝土出現開裂，結構進入開裂階段，結構剛度明顯減小。但由于底板混凝土較薄，受拉區普通鋼筋沒有屈服，還處于線彈性受力范圍，所以結構整體撓度變化很小，應力增量的變化也較小。

塑性階段：當荷載增大到150 kN后，底板鋼筋開始屈服，結構剛度持續降低，進入塑性階段。結構整體撓度變化和應力增量增長速度顯著加快。

當體外預應力筋仍處于彈性受力階段時，圖8所示荷載—撓度曲線大致呈線性增長關系，只有在力筋達到非線性段后，才變為曲線。此時結構整體撓度迅速增大，直至頂板被壓碎，模型梁因失去承載能力而破壞。

對比模型一、二的曲線可以發現，考慮滑移效應時，結構整體撓度變形和應力增量增大，承載能力降低。說明滑移效應對應力增量的影響較為明顯，不能忽略，在設計時應考慮其影響。

對比荷載—撓度曲線和有效預應力—荷載曲線可以發現，Ansys建模得到的結果和試驗所得結果雖有誤差，但吻合情況良好，相差不大。說明Ansys模型較好地模擬了試驗梁從開始加載到發生破壞的受力全過程。

4 理論公式驗證

對比分析理論計算結果、模型結果和試驗測試結果（見表1）。

表1 計算結果、模型結果和試驗結果對比Table 1 Comparison of calculation results,model results and test results

分析表1可知：

1）推導公式的計算值與文獻[20]的試驗值相比，誤差不超過5%，處于允許范圍。計算值與模型值擬合程度較好，驗證了公式的適用性。

2）分析模型一、二可知，考慮預應力筋在轉向塊處的滑移效應時，得到的應力增量比不考慮時的結果偏大，且更為接近試驗值。說明力筋的滑移效應帶來的影響不能忽視，后續研究中應考慮此因素。

為進一步驗證公式的適用性，參考同樣布筋形式和加載形式下的模型梁數據，對文獻[22]和文獻[23]的數據進行理論的驗證計算，并進行對比（見表2）。

表2 計算值和試驗值對比分析Table 2 Comparative analysis of calculated value and test value

分析表2可得：與試驗值相比，公式的計算值偏低，但處于允許范圍，且誤差不大。表明公式計算所得的應力增量與實際情況吻合良好。

5 結論

1）在考慮預應力筋在轉向塊處滑移效應的影響工況下，得出結構變形與力筋伸長量之間的理論關系。并結合Euler-Bernoulli梁理論進行簡化，推導出適用于波形鋼腹板體外預應力筋的應力增量計算公式，將其應用于已有的試驗，對公式進行驗證，所得誤差較小，證明其有一定的適用性。

2）建立的Ansys模型模擬了試驗梁從開始加載到結構破壞的全過程。結果表明，模型計算得到的應力增量與撓度近似正相關。在引入滑移效應的影響后，模型的整體變形和應力增量增大，承載能力降低。

3）有限元計算結果表明，以混凝土板開裂和頂底板受拉區普通鋼筋屈服為分界點，組合梁的受彎破壞過程經歷了彈性階段、開裂階段和破壞階段。